イェンゼンの不等式を用いた準凸関数の特徴づけ
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が準凸関数であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in I,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :f\left(
\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \leq \max \left\{
f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\}
\end{equation*}が成り立つということです。
自然数\(k\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、さらに区間上に存在する\(k\)個の点\(x_{1},\cdots ,x_{k}\in I\)と、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,k\right\} :\lambda
_{i}\geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}=1
\end{eqnarray*}を満たす\(k\)個のスカラー\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{k}\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\(f\)が準凸関数である場合には以下の不等式\begin{equation*}f\left( \sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}x_{i}\right) \leq \max_{1\leq i\leq
k}f\left( x_{i}\right)
\end{equation*}が必ず成り立ちます。これが準凸関数に関するイェンゼンの不等式です。
逆に、イェンゼンの不等式から関数の準凸性が導かれるため以下を得ます。
_{i}\geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}=1
\end{eqnarray*}を満たす\(k\)個のスカラー\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{k}\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation*}f\left( \sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}x_{i}\right) \leq \max_{1\leq i\leq
k}f\left( x_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が準凸関数であるための必要十分条件である。
k}f\left( x_{i}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( \frac{x_{1}+\cdots +x_{k}}{k}\right) \leq \max_{1\leq i\leq
k}f\left( x_{i}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、準凸関数\(f\)に関しては、定義域上の点\(x_{1},\cdots ,x_{k}\)を任意に選んだとき、\(x_{1},\cdots ,x_{k}\)の平均に対して\(f\)が与える値は、\(x_{1},\cdots ,x_{k}\)に対して\(f\)が与える値の最大値以下になります。
イェンゼンの不等式を用いた準凹関数の特徴づけ
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が準凹関数であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in I,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\min
\left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} \leq f\left(
\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。
自然数\(k\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、さらに区間上に存在する\(k\)個の点\(x_{1},\cdots ,x_{k}\in I\)と、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,k\right\} :\lambda
_{i}\geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}=1
\end{eqnarray*}を満たす\(k\)個のスカラー\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{k}\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\(f\)が準凹関数である場合には以下の不等式\begin{equation*}\min_{1\leq i\leq k}f\left( x_{i}\right) \leq f\left( \sum_{i=1}^{k}\lambda
_{i}x_{i}\right)
\end{equation*}が必ず成り立ちます。これが準凹関数に関するイェンゼンの不等式です。
逆に、イェンゼンの不等式から関数の準凹性が導かれるため以下を得ます。
_{i}\geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}=1
\end{eqnarray*}を満たす\(k\)個のスカラー\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{k}\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation*}\min_{1\leq i\leq k}f\left( x_{i}\right) \leq f\left( \sum_{i=1}^{k}\lambda
_{i}x_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が準凹関数であるための必要十分条件である。
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\min_{1\leq i\leq k}f\left( x_{i}\right) \leq f\left( \frac{x_{1}+\cdots
+x_{k}}{k}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、準凹関数\(f\)に関しては、定義域上の点\(x_{1},\cdots ,x_{k}\)を任意に選んだとき、\(x_{1},\cdots ,x_{k}\)の平均に対して\(f\)が与える値は、\(x_{1},\cdots ,x_{k}\)に対して\(f\)が与える値の最小値以上になります。
イェンゼンの不等式を用いた準線型関数の特徴づけ
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が準線型関数であるものとします。つまり、\(f\)は準凸関数かつ準凹関数であるということです。定義より、\(f\)が準線型関数であることは、
\begin{equation*}
\forall x_{1},x_{2}\in I,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\min
\left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} \leq f\left(
\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \leq \max \left\{
f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
先に示した諸命題を用いると以下が導かれます。
_{i}\geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}=1
\end{eqnarray*}を満たす\(k\)個のスカラー\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{k}\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation*}\min_{1\leq i\leq k}f\left( x_{i}\right) \leq f\left( \sum_{i=1}^{k}\lambda
_{i}x_{i}\right) \leq \max_{1\leq i\leq k}f\left( x_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が準線型関数であるための必要十分条件である。
演習問題
k}\left\vert x_{i}\right\vert
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
M &=&\max_{1\leq i\leq k}x_{i}
\end{eqnarray*}と定めるとき、\begin{equation*}
e^{m}\leq e^{\frac{x_{1}+\cdots +x_{k}}{k}}\leq e^{M}
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\max_{x\in \left[ a,b\right] }f\left( x\right) =\max \left\{ f\left(
a\right) ,f\left( b\right) \right\}
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
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