LM曲線の定義と性質

LM曲線の定義

貨幣市場における需要が貨幣需要関数\begin{equation*}
L=L\left( Y,i\right)
\end{equation*}として表現され、供給が実質マネーサプライ\begin{equation*}
\frac{M}{P}
\end{equation*}として表現されているものとします。ただし、\begin{eqnarray*}
Y &:&\text{国民所得（内生変数）} \\
i &:&\text{名目利子率（内生変数）} \\
L\left( Y,i\right) &:&\text{実質貨幣需要関数} \\
M &:&\text{名目マネーサプライ（外生変数）} \\
P &:&\text{物価（外生変数）}
\end{eqnarray*}です。貨幣市場の均衡条件は、\begin{equation*}
\frac{M}{P}=L
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{M}{P}=L\left( Y,i\right)
\end{equation*}と表現されます。貨幣市場の均衡条件を満たす国民所得\(Y\)と名目利子率\(i\)からなる組\(\left( Y,i\right) \)をすべて集めることにより得られる集合は、\begin{equation*}\left\{ \left( Y,i\right) \ |\ \frac{M}{P}=L\left( Y,i\right) \right\}
\end{equation*}ですが、これをLM曲線（LM curve）と呼びます。

LM曲線の L は「Liquidity Preference（流動性選好）」の頭文字ですが、これは貨幣に対する需要を表す用語です。一方、M は「Money Supply（貨幣供給）」の頭文字です。LM曲線が表現する均衡条件は流動性選好（貨幣需要）と貨幣供給が一致するというものであるため、これをLM曲線と呼びます。

LM曲線の陰関数

LM曲線を規定する貨幣市場の均衡条件\begin{equation*}
\frac{M}{P}=L\left( Y,i\right)
\end{equation*}は2つの変数\(Y,r\)に関する方程式であり、このままでは\(Y\)と\(i\)の関係を読み取るのは困難です。この方程式を\(i\)について解いて\(i=f\left( Y\right) \)とすることができるのであれば（方程式の陰関数\(f\)を特定する）、\(Y\)と\(i\)の関係を容易に読み取ることができます。以上の目標を達成するために、貨幣需要関数\(L\left( Y,i\right) \)の形状を具体的に指定します。

貨幣需要関数\(L\left( Y,i\right) \)を、\begin{equation*}L\left( Y,i\right) =kY-hi+L_{0}
\end{equation*}と定めます。貨幣需要は取引需要と予備的需要および投機的需要の和として定義されますが、貨幣の取引需要と予備的需要は国民所得\(Y\)に関する狭義単調増加関数であるため、\begin{equation*}\frac{\partial L\left( Y,i\right) }{\partial Y}=\frac{\partial }{\partial Y}\left( kY-hi+L_{0}\right) =k>0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(k\in \mathbb{R} \)は正の定数です。また、貨幣の投機的需要は名目利子率\(i\)に関する狭義単調減少関数であるため、\begin{equation*}\frac{\partial L\left( Y,i\right) }{\partial i}=\frac{\partial }{\partial i}\left( kY-hi+L_{0}\right) =-h<0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
h>0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(h\in \mathbb{R} \)は正の実数です。さらに、\begin{equation*}L\left( 0,0\right) =L_{0}>0
\end{equation*}と定めます。つまり、\(L_{0}\in \mathbb{R} \)もまた正の定数ですが、これは国民所得\(Y\)と名目利子率\(i\)がともにゼロであるという状況においても発生する貨幣需要の基準値を表す定数です。

以上を踏まえると、LM曲線を規定する貨幣市場均衡条件は、\begin{eqnarray*}
\frac{M}{P}=L\left( Y,i\right) &\Leftrightarrow &\frac{M}{P}=kY-hi+L_{0} \\
&\Leftrightarrow &hi=kY+L_{0}-\frac{M}{P} \\
&\Leftrightarrow &i=\frac{k}{h}Y+\frac{1}{h}\left( L_{0}-\frac{M}{P}\right)
\quad \because h>0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
i=\frac{k}{h}Y+\frac{1}{h}\left( L_{0}-\frac{M}{P}\right)
\end{equation*}と必要十分です。したがって、LM曲線は、\begin{equation*}
\left\{ \left( Y,i\right) \ |\ i=\frac{k}{h}Y+\frac{1}{h}\left( L_{0}-\frac{M}{P}\right) \right\}
\end{equation*}となります。

\(Y\)と\(i\)の立場を逆にすると、\begin{eqnarray*}i=\frac{k}{h}Y+\frac{1}{h}\left( L_{0}-\frac{M}{P}\right) &\Leftrightarrow &\frac{k}{h}Y=i-\frac{1}{h}\left( L_{0}-\frac{M}{P}\right) \\
&\Leftrightarrow &Y=\frac{h}{k}i-\frac{1}{k}\left( L_{0}-\frac{M}{P}\right)
\quad \because k>0
\end{eqnarray*}となるため、LM曲線を規定する貨幣市場均衡条件は、\begin{equation*}
Y=\frac{h}{k}i-\frac{1}{k}\left( L_{0}-\frac{M}{P}\right)
\end{equation*}とも必要十分です。したがって、LM曲線を、\begin{equation*}
\left\{ \left( Y,i\right) \ |\ Y=\frac{h}{k}i-\frac{1}{k}\left( L_{0}-\frac{M}{P}\right) \right\}
\end{equation*}と表現することもできます。

LM曲線は右上がりの曲線

貨幣需要関数を、\begin{equation*}
L\left( Y,i\right) =kY-hi+L_{0}
\end{equation*}と特定する場合、LM曲線を規定する貨幣市場均衡条件は、\begin{equation*}
i=\frac{k}{h}Y+\frac{1}{h}\left( L_{0}-\frac{M}{P}\right)
\end{equation*}と必要十分であることが明らかになりました。つまり、縦軸に\(i\)をとり横軸に\(Y\)をとる場合、LM曲線は縦軸切片が\(\frac{1}{h}\left( L_{0}-\frac{M}{P}\right) \)であり傾きが\(\frac{k}{h}\)であるような直線として描かれます。ただし、\(k>0\)かつ\(h>0\)より、\begin{equation*}\frac{k}{h}>0
\end{equation*}となるため、LM曲線は右上がりの直線です（下図）。以上の事実は、国民所得が\(1\)単位増加した場合、貨幣市場を再び均衡させるためには名目利子率を\(\frac{k}{h}\)だけ上昇させる必要があることを意味します。言い換えると、名目利子率が\(1\)単位上昇した場合、貨幣市場を再び均衡させるためには国民所得を\(\frac{h}{k}\)だけ増やす必要があります。

LM曲線が右下がりであることは、より一般的な状況のもとでも導出可能です。LM曲線を規定する貨幣市場均衡条件\begin{equation*}
\frac{M}{P}=L\left( Y,i\right)
\end{equation*}において国民所得\(Y\)を\(\Delta Y\)だけ変化させてもなお均衡を維持するために名目利子率\(i\)を\(\Delta i\)だけ変化させる必要があるのであれば以下の関係\begin{equation*}\frac{M}{P}=L\left( Y+\Delta Y,i+\Delta i\right)
\end{equation*}が成り立ちます。LM曲線が右上がりであることは、以下の関係\begin{eqnarray*}
\Delta Y &>&0\Leftrightarrow \Delta i>0 \\
\Delta Y &<&0\Leftrightarrow \Delta i<0
\end{eqnarray*}が成り立つこととして表現されます。なぜ、このような関係が成り立つのでしょうか。順番に解説します。

貨幣市場の均衡を条件を満たす\(\left( Y,i\right) \)を出発点とします。つまり、\begin{equation}\frac{M}{P}=L\left( Y,i\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。国民所得\(Y\)だけが\(\Delta Y>0\)だけ増加した状況を想定します。貨幣需要関数\(L\left( Y,i\right) \)は\(Y\)に関する増加関数であるため、\begin{equation*}L\left( Y+\Delta Y,i\right) >L\left( Y,i\right)
\end{equation*}を得ます。これと\(\left(1\right) \)より、\begin{equation}\frac{M}{P}<L\left( Y+\Delta Y,i\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。貨幣市場を再び均衡させるために必要な名目利子率\(i\)の変化が\(\Delta i\)ですが、貨幣需要関数\(L\left( Y,i\right) \)は\(i\)に関する減少関数であるため、\(\left( 2\right) \)の右辺を減らすためには\(\Delta i>0\)である必要があります。その結果、\begin{equation*}\frac{M}{P}=L\left( Y+\Delta Y,i+\Delta i\right)
\end{equation*}となり、貨幣市場は再び均衡します。以上より、\begin{equation*}
\Delta Y>0\Rightarrow \Delta i>0
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。逆向きの議論より、\begin{equation*}
\Delta i>0\Rightarrow \Delta Y>0
\end{equation*}もまた成り立つことが示されるため、\begin{equation*}
\Delta Y>0\Leftrightarrow \Delta i>0
\end{equation*}が成り立つことが明らかになります。同様の議論より、\begin{equation*}
\Delta Y<0\Leftrightarrow \Delta i<0
\end{equation*}が成り立つことも明らかになります。以上より、LM曲線が右上がりであることが明らかになりました。

マネーサプライの変化がLM曲線に与える影響

貨幣需要関数を、\begin{equation*}
L\left( Y,i\right) =kY-hi+L_{0}
\end{equation*}と特定する場合、LM曲線を規定する貨幣市場均衡条件は、\begin{equation*}
i=\frac{k}{h}Y+\frac{1}{h}\left( L_{0}-\frac{M}{P}\right)
\end{equation*}と必要十分であることが明らかになりました。つまり、LM曲線は傾きが\(\frac{k}{h}\)であり縦軸切片が\(\frac{1}{h}\left( L_{0}-\frac{M}{P}\right) \)であるような右上がりの直線です。

マネーサプライ\(M\)を\(\Delta M\)だけ変化させると、新たなLM曲線が、\begin{equation*}i=\frac{k}{h}Y+\frac{1}{h}\left( L_{0}-\frac{M+\Delta M}{P}\right)
\end{equation*}として得られます。つまり、マネーサプライが\(\Delta M\)だけ変化すると、LM曲線の傾きは\(\frac{k}{h}\)のままで、縦軸切片だけが\(\frac{1}{h}\left( L_{0}-\frac{M+\Delta M}{P}\right) \)へと変化します。したがって、以下の関係\begin{eqnarray*}\Delta M &>&0\Rightarrow \text{LM曲線は右側へシフトする} \\
\Delta M &<&0\Rightarrow \text{LM曲線は左側へシフトする}
\end{eqnarray*}が成り立ちます（下図）。

以上の結論は一般の場合にも成立します。LM曲線を規定する貨幣市場均衡条件は、\begin{equation*}
\frac{M}{P}=L\left( Y,i\right)
\end{equation*}です。名目利子率\(i>0\)を任意に選んで固定します。そのような状況においてマネーサプライ\(M\)を\(\Delta M\)だけ増やすと、\begin{equation}\frac{M+\Delta M}{P}>L\left( Y,i\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。均衡を回復するために国民所得\(Y\)を\(\Delta Y>0\)だけ増やす状況を想定します。貨幣需要関数\(L\left( Y,i\right) \)は\(Y\)に関する増加関数であるため、\(\left( 1\right) \)より、何らかの\(\Delta Y>0\)のもとでは、\begin{equation*}\frac{M+\Delta M}{P}=L\left( Y+\Delta Y,i\right)
\end{equation*}が成り立ちます。以上の一連の議論の結論を整理すると、\begin{equation*}
\forall i>0,\ \exists \Delta Y>0:\frac{M+\Delta M}{P}=L\left( Y+\Delta
Y,i\right)
\end{equation*}となりますが、以上の事実は、マネーサプライを\(\Delta M>0\)だけ増やすとLM曲線が\(\Delta Y\)だけ右側へシフトすることを意味します。

以上の一連の議論より、\begin{equation*}
\Delta M>0\Rightarrow \text{LM曲線は右側へシフトする}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。同様の議論より、\begin{equation*}
\Delta M<0\Rightarrow \text{LM曲線は左側へシフトする}
\end{equation*}が成り立つことも明らかになります。以上より、マネーサプライ\(M\)の変化はLM曲線を左右へシフトさせることが明らかになりました。

物価の変化がLM曲線に与える影響

貨幣需要関数を、\begin{equation*}
L\left( Y,i\right) =kY-hi+L_{0}
\end{equation*}と特定する場合、LM曲線を規定する貨幣市場均衡条件は、\begin{equation*}
i=\frac{k}{h}Y+\frac{1}{h}\left( L_{0}-\frac{M}{P}\right)
\end{equation*}と必要十分であることが明らかになりました。つまり、LM曲線は傾きが\(\frac{k}{h}\)であり縦軸切片が\(\frac{1}{h}\left( L_{0}-\frac{M}{P}\right) \)であるような右上がりの直線です。

物価\(P\)が\(\Delta P\)だけ変化すると、新たなLM曲線が、\begin{equation*}i=\frac{k}{h}Y+\frac{1}{h}\left( L_{0}-\frac{M}{P+\Delta P}\right)
\end{equation*}として得られます。つまり、物価が\(\Delta P\)だけ変化すると、LM曲線の傾きは\(\frac{k}{h}\)のままで、縦軸切片だけが\(\frac{1}{h}\left( L_{0}-\frac{M}{P+\Delta P}\right) \)へと変化します。したがって、以下の関係\begin{eqnarray*}\Delta P &>&0\Rightarrow \text{LM曲線は左側へシフトする} \\
\Delta P &<&0\Rightarrow \text{LM曲線は右側へシフトする}
\end{eqnarray*}が成り立ちます（下図）。

以上の結論は一般の場合にも成立します。LM曲線を規定する貨幣市場均衡条件は、\begin{equation*}
\frac{M}{P}=L\left( Y,i\right)
\end{equation*}です。名目利子率\(i>0\)を任意に選んで固定します。そのような状況において物価\(P\)を\(\Delta P\)だけ上昇すると、\begin{equation}\frac{M}{P+\Delta P}<L\left( Y,i\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。均衡を回復するために国民所得\(Y\)を\(\Delta Y<0\)だけ減らす状況を想定します。貨幣需要関数\(L\left( Y,i\right) \)は\(Y\)に関する増加関数であるため、\(\left( 1\right) \)より、何らかの\(\Delta Y<0\)のもとでは、\begin{equation*}\frac{M}{P+\Delta P}=L\left( Y+\Delta Y,i\right)
\end{equation*}が成り立ちます。以上の一連の議論の結論を整理すると、\begin{equation*}
\forall i>0,\ \exists \Delta Y>0:\frac{M}{P+\Delta P}=L\left( Y+\Delta
Y,i\right)
\end{equation*}となりますが、以上の事実は、価格が\(\Delta P>0\)だけ上昇するとLM曲線が\(\Delta Y\)だけ左側へシフトすることを意味します。

以上の一連の議論より、\begin{equation*}
\Delta P>0\Rightarrow \text{LM曲線は左側へシフトする}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。同様の議論より、\begin{equation*}
\Delta P<0\Rightarrow \text{LM曲線は右側へシフトする}
\end{equation*}が成り立つことも明らかになります。以上より、物価\(P\)の変化はLM曲線を左右へシフトさせることが明らかになりました。

流動性の罠のもとでのLM曲線

流動性の罠とは、市場利子率\(r\)が極めて低い水準（ゼロ付近、または歴史的な最低水準）に達すると、そこから先は貨幣需要曲線が水平になる現象を指します。つまり、\begin{equation*}\lim_{r\rightarrow 0}\left\vert \frac{\partial L\left( Y,r\right) }{\partial
r}\right\vert =+\infty
\end{equation*}が成り立つということです。貨幣需要関数を、\begin{equation*}
L\left( Y,r\right) =kY-hr+L_{0}
\end{equation*}と特定する場合、先の条件は、\begin{equation*}
\lim_{r\rightarrow 0}h=+\infty
\end{equation*}となります。この場合、LM曲線の傾き\(\frac{k}{h}\)について、\begin{equation*}\lim_{r\rightarrow 0}\frac{k}{h}=\frac{k}{\lim\limits_{r\rightarrow 0}h}=\frac{k}{+\infty }=0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、流動性の罠とは、\(r\)が極めて低い水準に達すると、そこから先はLM曲線が水平になる現象を指します。

水平線を左右にシフトさせても水平線のままであるため、流動性の罠が発生している状況では、マネーサプライを変化させてもLM曲線に変化は生じません。

古典派のもとでのLM曲線

古典派が採用する貨幣数量説のもとでは、貨幣需要関数は何らかの定数\(k>0\)を用いて、\begin{equation*}L\left( Y,i\right) =kY
\end{equation*}と表現されます。この場合、貨幣市場の均衡条件\begin{equation*}
\frac{M}{P}=L\left( Y,i\right)
\end{equation*}は、\begin{equation*}
\frac{M}{P}=kY
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
Y=\frac{M}{kP}
\end{equation*}となるため、LM曲線は、\begin{equation*}
\left\{ \left( Y,i\right) \ |\ Y=\frac{M}{kP}\right\}
\end{equation*}となります。したがって、縦軸に\(i\)をとり横軸に\(Y\)をとる場合、LM曲線は横軸切片が\(\frac{M}{kP}\)であるような垂直線として描かれます。古典派のケースではLM曲線が垂直線になるということです。

LM曲線が横軸切片が\(\frac{M}{kP}\)であるような垂直線である場合、マネーサプライ\(M\)の変化によってLM曲線は左右にシフトします。

演習問題