産業連関表と産業連関分析

産業連関表

合計\(n\)個の産業から構成される経済を想定します。それぞれの産業は自身を含めた国内の諸産業および海外から調達した中間投入物を利用して財・サービスを生産し、それを国内や海外へ販売します。

産業\(i\)に分類される国内企業が、産業\(j\)に分類される国内および海外の企業から調達した中間投入額を、\begin{equation*}x_{ij}
\end{equation*}で表記するのであれば、産業\(i\)の国内企業による中間投入額の合計は、\begin{equation*}\sum_{j=1}^{n}x_{ij}=x_{i1}+x_{i2}+\cdots +x_{in}
\end{equation*}となります。産業\(i\)では国内企業だけをカウントしているのに対し、産業\(j\)では国内外の企業をカウントしていることに注意してください。国内企業は中間投入物を海外から輸入する状況が起こり得るからです。産業\(i\)の国内企業による生産額の合計を、\begin{equation*}Y_{i}
\end{equation*}で表記するのであれば、産業\(i\)の国内企業による付加価値の合計は、\begin{equation*}v_{i}=Y_{i}-\sum_{j=1}^{n}x_{ij}
\end{equation*}となります。このとき、以下の関係\begin{equation*}
Y_{i}=\sum_{j=1}^{n}x_{ij}+v_{i}
\end{equation*}が成り立ちます。

以下の表を各産業について縦方向に見ると、その産業に分類される国内企業による中間投入の内訳および生産した付加価値を把握できます。それらの合計が国内生産額です。表中では「粗付加価値」となっていますが、これは固定資本減耗を控除する前の付加価値を表します。

産業\(i\)が産業\(j\)から調達した中間投入額が\(x_{ij}\)であることは、産業\(i\)に属する国内企業が産業\(j\)に属する国内外の企業から中間投入物を\(x_{ij}\)だけ購入したことを意味します。言い換えると、産業\(j\)に属する国内外の企業が産業\(i\)に属する国内企業に対して中間投入物を\(x_{ij}\)だけ販売したということです。したがって、産業\(j\)に属する国内外の企業が国内の諸産業に供給した中間投入額の合計は、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{n}x_{ij}=x_{1j}+x_{2j}+\cdots +x_{nj}
\end{equation*}となります。これを産業\(j\)に対する中間需要と呼びます。また、産業\(j\)に属する国内外の企業が供給する財・サービスに対して国内において消費・投資・在庫・輸出の形で消費される分を産業\(j\)に対する最終需要と呼び、\begin{equation*}d_{j}
\end{equation*}で表記します。ここで注意すべきは、産業\(j\)に対する中間需要\(\sum_{i=1}^{n}x_{ij}\)や最終需要\(d_{j}\)は産業\(j\)に属する国内外の企業が供給する財・サービスに対するものであり、その供給主体は国内企業だけではないということです。つまり、産業\(j\)に属する国内企業が供給する中間需要と最終需要の合計は、\begin{equation*}Y_{j}
\end{equation*}である一方で、産業\(j\)に属する国内外の企業が供給する中間需要と最終需要の合計は、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{n}x_{ij}+d_{j}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
Y_{j}<\sum_{i=1}^{n}x_{ij}+d_{j}
\end{equation*}が成り立つ場合には国内企業の供給だけでは全体の需要を満たすことができず、ゆえに、差額に相当する、\begin{equation*}
i_{j}=\left( \sum_{i=1}^{n}x_{ij}+d_{j}\right) -Y_{j}>0
\end{equation*}については、これを海外企業が生産した分を輸入することによりまかなっています。このとき、以下の関係\begin{equation*}
Y_{j}=\sum_{i=1}^{n}x_{ij}+d_{j}-i_{j}
\end{equation*}が成り立ちます。

以下の表を各産業について横方向に見ると、その産業に対する中間需要の内訳と最終需要および輸入を把握できます。中間需要と最終需要の和から輸入を差し引けば、先の理由により、その産業に属する国内企業による国内生産額が得られます。

以上の表を産業連関表（input-output table）と呼びます。産業連関表を縦方向に読めば各産業の費用構成を把握でき、横方向に読めば各産業の販路構成を把握できます。

例（産業連関表）

2つの産業から構成される経済を想定します。産業\(1\)に属する国内企業は、産業\(1\)から中間投入物を\(10\)（その中の\(1\)は輸入）調達し、産業\(2\)から中間投入物を\(20\)（その中の\(3\)は輸入）調達した上で、付加価値を\(70\)生み出しているものとします。この場合、産業\(1\)の国内生産額は\(100\)です。また、産業\(2\)に属する国内企業は、産業\(1\)から中間投入物を\(30\)（その中の\(4\)は輸入）調達し、産業\(2\)から中間投入物を\(40\)（その中の\(8\)は輸入）調達した上で、付加価値を\(130\)生み出しているものとします。この場合、産業\(2\)の国内生産額は\(200\)です。ここまでのデータを産業関連表に記入すると以下を得ます。ただし、括弧内の数字は輸入額です。

産業\(1\)が供給する中間需要は\(40\)ですが、その中の\(5\)は輸入によってまかなわれています。また、産業\(1\)が供給する最終需要は\(70\)（その中の\(5\)は輸入）であるものとします。産業\(2\)が供給する中間需要は\(60\)ですが、その中の\(11\)は輸入によってまかなわれています。また、産業\(2\)が供給する最終需要は\(160\)（その中の\(9\)は輸入）であるものとします。ここまでのデータを産業関連表に記入すると以下を得ます。ただし、括弧内の数字は輸入額です。

産業連関分析（投入係数とレオンチェフ逆行列）

産業連関表が与えられている状況を想定します。

まずは産業連関表の各列を縦方向に見ます。産業\(j\)の国内生産額は\(Y_{j}\)ですが、そのためには産業\(i\)から中間投入物を\(x_{ij}\)だけ調達する必要があります。したがって、産業\(j\)が生産物を1単位生産するために必要な産業\(i\)からの中間投入額は、\begin{equation*}a_{ij}=\frac{x_{ij}}{Y_{j}}
\end{equation*}ですが、これを投入係数（input coefficient）と呼びます。任意の2つの産業の組合せに関する投入係数を計算することにより、以下の行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\frac{x_{11}}{Y_{1}} & \frac{x_{12}}{Y_{2}} & \cdots & \frac{x_{1n}}{Y_{n}}
\\
\frac{x_{21}}{Y_{1}} & \frac{x_{22}}{Y_{2}} & \cdots & \frac{x_{2n}}{Y_{n}}
\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{x_{n1}}{Y_{1}} & \frac{x_{n2}}{Y_{2}} & \cdots & \frac{x_{nn}}{Y_{n}}\end{pmatrix}\end{equation*}が得られますが、これを投入係数行列（input coefficients matrix）と呼びます。

産業連関表の各行を横方向に見ると、以下の連立方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x_{11}+x_{12}+\cdots +x_{1n}+d_{1}-m_{1}=Y_{1} \\
x_{21}+x_{22}+\cdots +x_{2n}+d_{2}-m_{2}=Y_{2} \\
\vdots \\
x_{n1}+x_{n2}+\cdots +x_{nn}+d_{n}-m_{n}=Y_{n}\end{array}\right.
\end{equation*}が得られます。投入係数の定義\(a_{ij}=\frac{x_{ij}}{Y_{i}}\)を踏まえた上で変形すると、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}Y_{1}+a_{12}Y_{2}+\cdots +a_{1n}Y_{n}+d_{1}-m_{1}=Y_{1} \\
a_{21}Y_{1}+a_{22}Y_{2}+\cdots +a_{2n}Y_{n}+d_{2}-m_{2}=Y_{2} \\
\vdots \\
a_{n1}Y_{1}+a_{n2}Y_{2}+\cdots +a_{nn}Y_{n}+d_{n}-m_{n}=Y_{n}\end{array}\right.
\end{equation*}となります。さらにこれを行列表記すると、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
Y_{1} \\
Y_{2} \\
\vdots \\
Y_{n}\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
d_{1} \\
d_{2} \\
\vdots \\
d_{n}\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
m_{1} \\
m_{2} \\
\vdots \\
m_{n}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
Y_{1} \\
Y_{2} \\
\vdots \\
Y_{n}\end{array}\right)
\end{equation*}を得ます。ここで、\begin{eqnarray*}
A &=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}
\\
Y &=&\left(
\begin{array}{c}
Y_{1} \\
Y_{2} \\
\vdots \\
Y_{n}\end{array}\right) \\
D &=&\left(
\begin{array}{c}
d_{1} \\
d_{2} \\
\vdots \\
d_{n}\end{array}\right) \\
M &=&\left(
\begin{array}{c}
m_{1} \\
m_{2} \\
\vdots \\
m_{n}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}と表記することにより、\begin{equation*}
AY+D-M=Y
\end{equation*}を得ます。これを変形すると、\begin{equation*}
AY-Y=M-D
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( A-I\right) Y=M-D
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( I-A\right) Y=D-M
\end{equation*}を得ます。ただし、\(I\)は\(n\)次の単位行列です。したがって、\(I-A\)が正則である場合には、その逆行列\(\left( I-A\right) ^{-1}\)が存在するとともに、\begin{equation}Y=\left( I-A\right) ^{-1}\left( D-E\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。この逆行列\begin{equation*}
\left( I-A\right) ^{-1}
\end{equation*}をレオンチェフ逆行列（Leontief inverse matrix）と呼びます。

以上の方程式\(\left( 1\right) \)を用いることにより、どこかの需要が変化した際に、各産業の国内生産額がどれくらい変化するかを予測できます。具体例を挙げると、最終需要（輸出を含む）が、\begin{equation*}\Delta D=\left(
\begin{array}{c}
\Delta d_{1} \\
\Delta d_{2} \\
\vdots \\
\Delta d_{n}\end{array}\right)
\end{equation*}だけ変化した場合、それに伴う国内生産額の変化を、\begin{equation*}
\Delta Y=\left(
\begin{array}{c}
\Delta Y_{1} \\
\Delta Y_{2} \\
\vdots \\
\Delta Y_{n}\end{array}\right)
\end{equation*}で表記するのであれば、\(\left( 1\right) \)より、両者の間には以下の関係\begin{equation*}\Delta Y=\left( I-A\right) ^{-1}\Delta D
\end{equation*}が成り立ちます。

例（レオンチェフ逆行列）

以下の産業連関表が与えられているものとします。

投入係数行列は、\begin{eqnarray*}
A &=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
\frac{x_{11}}{Y_{1}} & \frac{x_{12}}{Y_{2}} \\
\frac{x_{21}}{Y_{1}} & \frac{x_{22}}{Y_{2}}\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
\frac{10}{100} & \frac{30}{200} \\
\frac{20}{100} & \frac{40}{200}\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
0.1 & 0.15 \\
0.2 & 0.2\end{pmatrix}\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
I-A &=&\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
0.1 & 0.15 \\
0.2 & 0.2\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
0.9 & -0.15 \\
-0.2 & 0.8\end{pmatrix}\end{eqnarray*}となります。行列式の値は、\begin{eqnarray*}
\left\vert I-A\right\vert &=&\begin{vmatrix}
0.9 & -0.15 \\
-0.2 & 0.8\end{vmatrix}
\\
&=&0.69 \\
&\not=&0
\end{eqnarray*}を満たすため\(I-A\)は正則行列であり、したがってその逆行列\(\left( I-A\right)^{-1}\)が存在します。便宜のために、\begin{equation*}B=I-A
\end{equation*}と表記した場合、\(B\)のそれぞれの成分の余因子は、\begin{eqnarray*}B_{11} &=&\left( -1\right) ^{2}\cdot 0.8=0.8 \\
B_{12} &=&\left( -1\right) ^{3}\cdot \left( -0.2\right) =0.2 \\
B_{21} &=&\left( -1\right) ^{3}\cdot \left( -0.15\right) =0.15 \\
B_{22} &=&\left( -1\right) ^{4}\cdot 0.9=0.9
\end{eqnarray*}であるため、\(I-A\)の余因子行列は、\begin{equation*}\begin{pmatrix}
B_{11} & B_{21} \\
B_{12} & B_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0.8 & 0.15 \\
0.2 & 0.9\end{pmatrix}\end{equation*}です。したがって、レオンチェフ逆行列は、\begin{eqnarray*}
\left( I-A\right) ^{-1} &=&\frac{1}{\left\vert I-A\right\vert }\begin{pmatrix}
B_{11} & B_{21} \\
B_{12} & B_{22}\end{pmatrix}
\\
&=&\frac{1}{0.69}\begin{pmatrix}
0.8 & 0.15 \\
0.2 & 0.9\end{pmatrix}
\\
&\approx &\begin{pmatrix}
1.159 & 0.217 \\
0.289 & 1.304\end{pmatrix}\end{eqnarray*}となります。検算を行います。実際、\begin{eqnarray*}
\left( I-A\right) ^{-1}\left( D-E\right) &=&\frac{1}{0.69}\begin{pmatrix}
0.8 & 0.15 \\
0.2 & 0.9\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
70-10 \\
160-20\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
100 \\
200\end{array}\right) \\
&=&Y
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
Y=\left( I-A\right) ^{-1}\left( D-E\right)
\end{equation*}が成立しています。さて、産業\(1\)の輸出が\(20\)だけ増加した状況を想定します。輸出は最終需要に含まれるため、\begin{equation*}\Delta D=\left(
\begin{array}{c}
20 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}である状況を想定するということです。この場合、\begin{eqnarray*}
\Delta Y &=&\left( I-A\right) ^{-1}\Delta D \\
&=&\frac{1}{0.69}\begin{pmatrix}
0.8 & 0.15 \\
0.2 & 0.9\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
20 \\
0\end{array}\right) \\
&\approx &\left(
\begin{array}{c}
23.19 \\
5.80\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を得ます。

演習問題

問題（産業連関業）

3つの産業から構成される閉鎖経済に関する産業連関表が以下のように与えられているものとします。空欄を埋めて表を完成させてください。

問題（産業連関分析）

2つの産業から構成される閉鎖経済に関する産業連関表が以下のように与えられているものとします。

産業\(1\)の輸出が\(15\)だけ増加したとき、産業\(2\)の国内生産額はどれだけ増加するか特定してください。