錐の定義と具体例

錐の定義

ユークリッド空間の部分集合\(C\subset \mathbb{R} ^{n}\)が以下の性質\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in C,\ \forall \lambda \geq 0:\lambda \boldsymbol{x}\in C
\end{equation*}を満たす場合には、すなわち、\(C\)が非負のスカラー倍について閉じている場合には、\(C\)を錐（cone）と呼びます。

以上の定義ではスカラー\(\lambda \)が非負である状況を想定していますが、幾何学的には\(\lambda \)を正とする流儀もあります。本稿では\(\lambda \)として非負の実数を採用します。

集合\(C\subset \mathbb{R} ^{n}\)が錐であることは、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in C,\ \forall \lambda \geq 0:\lambda \boldsymbol{x}\in C
\end{equation*}が成り立つこととして定義されるため、\(C\)が錐でないことは、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{x}\in C,\ \exists \lambda \geq 0:\lambda \boldsymbol{x}\not\in C
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(C\)に属する何らかのベクトルの非負のスカラー倍をとると\(C\)からはみ出てしまうということです。

錐の幾何学的解釈

非空の錐\(C\subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられた状況を想定します。この場合には\(\boldsymbol{x}\in C\)が存在しますが、\(0\)は非負のスカラーであるため、錐の定義より、\begin{equation*}0\boldsymbol{x}\in C
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{0}\in C
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、非空の錐はゼロベクトルを要素として持ちます。

非空の錐\(C\)の要素である非ゼロベクトル\(\boldsymbol{x}\in C\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)を任意に選ぶと、原点\(\boldsymbol{0}\in \mathbb{R} ^{n}\)が始点であり\(\boldsymbol{x}\)が方向ベクトルであるような半直線\begin{equation*}L\left( \boldsymbol{0},\boldsymbol{x}\right) =\left\{ \lambda \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \lambda \geq 0\right\}
\end{equation*}が得られます。錐\(C\)に属するそれぞれの非ゼロベクトル\(\boldsymbol{x}\)について先のような半直線をとった上で、それらの和集合\begin{equation*}\bigcup\limits_{\boldsymbol{x}\in C\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\}
}L\left( \boldsymbol{0},\boldsymbol{x}\right) =\bigcup\limits_{\boldsymbol{x}\in C\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} }\left\{ \lambda \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \lambda \geq 0\right\}
\end{equation*}をとります。この和集合にゼロベクトルを加えることにより得られる集合はもとの錐\(C\)と一致します。つまり、\begin{eqnarray*}C &=&\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \cup \bigcup\limits_{\boldsymbol{x}\in
C\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} }L\left( \boldsymbol{0},\boldsymbol{x}\right) \\
&=&\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \cup \bigcup\limits_{\boldsymbol{x}\in
C\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} }\left\{ \lambda \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \lambda \geq 0\right\}
\end{eqnarray*}が成り立つということです。

半直線\(L\left( \boldsymbol{0},\boldsymbol{x}\right) \)の方向ベクトル\(\boldsymbol{x}\)は非ゼロベクトルである必要がありますが、定式化の簡便さのため\(\boldsymbol{x}\)がゼロベクトルであるような半直線を導入すると、\begin{eqnarray*}L\left( \boldsymbol{0},\boldsymbol{0}\right) &=&\left\{ \lambda \boldsymbol{0}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \lambda \geq 0\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{0}\right\}
\end{eqnarray*}となるため、先の関係を簡潔に、\begin{eqnarray*}
C &=&\bigcup\limits_{\boldsymbol{x}\in C}L\left( \boldsymbol{0},\boldsymbol{x}\right) \\
&=&\bigcup\limits_{\boldsymbol{x}\in C}\left\{ \lambda \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \lambda \geq 0\right\}
\end{eqnarray*}と表現できます。

半直線\(L\left( \boldsymbol{0},\boldsymbol{x}\right) \)は原点を始点とした方向を表す概念であるため、以上の事実は、錐\(C\)とは原点を始点とした方向の集まりに相当する概念であることを意味します。

錐と凸集合の関係

錐は凸集合であるとは限りません。以下の例より明らかです。

凸集合は錐であるとは限りません。以下の例より明らかです。

錐のスカラー倍は錐

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(C\)が錐である場合、任意のスカラー\(\lambda \in \mathbb{R} \)について、\(C\)のスカラー\(\lambda \)倍\begin{equation*}\lambda C=\left\{ \lambda \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{x}\in C\right\}
\end{equation*}もまた錐になることが保証されます。

錐どうしの共通部分は錐

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族\(\left\{ C_{i}\right\}_{i\in I}\)の要素\(C_{i}\)がいずれも錐である場合、共通部分\begin{equation*}\bigcap\limits_{i\in I}C_{i}
\end{equation*}もまた錐になることが保証されます。

以上の事実は、個々の制約条件が錐として表現される場合、「すべての制約条件が満たされる」という制約条件もまた錐であることを意味します。

錐どうしの和集合は錐

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族\(\left\{ C_{i}\right\}_{i\in I}\)の要素\(C_{i}\)がいずれも錐である場合、和集合\begin{equation*}\bigcup\limits_{i\in I}C_{i}
\end{equation*}もまた錐になることが保証されます。

以上の事実は、個々の制約条件が錐として表現される場合、「少なくとも1つの制約条件が満たされる」という制約条件が錐であることを意味します。

演習問題