凸錐の定義
ユークリッド空間の部分集合\(C\subset \mathbb{R} ^{n}\)が錐であることの定義を改めて確認すると、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in C,\ \forall \lambda \geq 0:\lambda \boldsymbol{x}\in C
\end{equation*}となります。つまり、錐は非負のスカラー倍について閉じています。また、\(C\)が錐である場合には、\begin{equation*}C=\bigcup\limits_{\boldsymbol{x}\in C}\left\{ \lambda \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \lambda \geq 0\right\}
\end{equation*}と表せます。つまり、原点が始点であり方向ベクトルが\(C\)に属するベクトルであるような半直線をすべて集めれば\(C\)が得られます。錐とは原点を始点とした方向の集まりであるということです。
錐は方向の集まりにすぎず、それらの方向は独立しているため、錐に属する方向を自由に選ぶことができます。つまり、原点から伸びている方向を任意に選んで集めれば錐が得られます。一方、錐\(C\)に属する方向どうしの凸結合もまた\(C\)に属することが保証されている場合には、すなわち、錐が凸集合である場合には、そのような錐を凸錐（convex cone）と呼びます。
改めて定義すると、ユークリッド空間の部分集合\(C\subset \mathbb{R} ^{n}\)が凸錐であることとは、\(C\)が錐かつ凸集合であること、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in C,\ \forall \lambda \geq
0:\lambda \boldsymbol{x}\in C \\
&&\left( b\right) \ \forall \boldsymbol{x}_{1}\in C,\ \forall \boldsymbol{x}_{2}\in C,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda \boldsymbol{x}_{1}+\left( 1-\lambda \right) \boldsymbol{x}_{2}\in C
\end{eqnarray*}がともに成り立つこととして定義されます。
\end{equation*}と定義されますが、これは凸錐です（演習問題）。
\end{equation*}と定義されますが、これは凸錐です（演習問題）。
&&\left( b\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in V \\
&&\left( c\right) \ \forall \lambda \in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in V:\lambda \boldsymbol{x}\in V
\end{eqnarray*}が成り立つということです。部分空間は凸錐です（演習問題）。
\end{equation*}は凸錐です（演習問題）。
\end{equation*}が成り立つとともに、\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\in \mathbb{R} ^{n}\)と\(\lambda \in \left[ 0,1\right] \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\lambda \boldsymbol{x}_{1}+\left( 1-\lambda \right) \boldsymbol{x}_{2}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立つからです。
凸錐とは凸集合であるような錐であるため、凸集合ではない集合や錐ではない集合は凸錐ではありません。
まずは、凸集合ではない錐を提示します。
\end{equation*}は錐ですが凸集合ではありません（演習問題）。
続いて、錐ではない凸集合を提示します。
\end{equation*}は凸集合ですが錐ではありません（演習問題）。錐ではないことは凸錐ではないことも意味するため、これは凸錐ではない凸集合の例でもあります。
錐結合を用いた凸錐の表現
ユークリッド空間上の有限個の点\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{k}\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、スカラー\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{k}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\lambda _{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +\lambda _{k}\boldsymbol{x}_{k}
\end{equation*}という形で表される\(\mathbb{R} ^{n}\)の点を\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{k}\)の線型結合（linear combination）と呼びます。特に、スカラー\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda_{k}\in \mathbb{R} \)が以下の条件\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,k\right\} :\lambda _{i}\geq 0
\end{equation*}を満たす場合には、つまり、すべてのスカラーが非負である場合には、線型結合のことを錐結合（conical combination）と呼びます。
\boldsymbol{y} &=&\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}の錐結合は、\(\lambda _{1}\geq 0\)かつ\(\lambda _{2}\geq 0\)を満たすスカラー\(\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}\lambda _{1}\boldsymbol{x}+\lambda _{2}\boldsymbol{y} &=&\lambda _{1}\left(
x_{1},x_{2}\right) +\lambda _{2}\left( y_{1},y_{2}\right) \quad \because
\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\text{の定義} \\
&=&\left( \lambda _{1}x_{1},\lambda _{1}x_{2}\right) +\left( \lambda
_{2}y_{1},\lambda _{2}y_{2}\right) \quad \because \text{ベクトルのスカラー倍の定義} \\
&=&\left( \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}y_{1},\lambda _{1}x_{2}+\lambda
_{2}y_{2}\right) \quad \because \text{ベクトルの和の定義}
\end{eqnarray*}と表されます。また、3つの点\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{x} &=&\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2} \\
\boldsymbol{y} &=&\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2} \\
\boldsymbol{z} &=&\left( z_{1},z_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}のアフィン結合は、\(\lambda _{1}\geq 0\)かつ\(\lambda _{2}\geq 0\)かつ\(\lambda _{3}\geq 0\)を満たすスカラー\(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}\lambda _{1}\boldsymbol{x}+\lambda _{2}\boldsymbol{y}+\lambda _{3}\boldsymbol{z} &=&\lambda _{1}\left( x_{1},x_{2}\right) +\lambda _{2}\left(
y_{1},y_{2}\right) +\lambda _{3}\left( z_{1},z_{2}\right) \quad \because
\boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\text{の定義}
\\
&=&\left( \lambda _{1}x_{1},\lambda _{1}x_{2}\right) +\left( \lambda
_{2}y_{1},\lambda _{2}y_{2}\right) +\left( \lambda _{3}z_{1},\lambda
_{3}z_{2}\right) \quad \because \text{ベクトルのスカラー倍の定義} \\
&=&\left( \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}y_{1}+\lambda _{3}z_{1},\lambda
_{1}x_{2}+\lambda _{2}y_{2}+\lambda _{3}z_{2}\right) \quad \because \text{ベクトルの和の定義}
\end{eqnarray*}と表されます。
ユークリッド空間の部分集合\(C\subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、その2つの要素\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\in C\)を任意に選びます。このとき、これらの任意の錐結合が\(C\)の要素になることは、すなわち、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}_{1}\in C,\ \forall \boldsymbol{x}_{2}\in C,\ \forall
\lambda _{1}\geq 0,\ \forall \lambda _{2}\geq 0:\lambda _{1}\boldsymbol{x}_{1}+\lambda _{2}\boldsymbol{x}_{2}\in C
\end{equation*}が成り立つことは、\(C\)が凸錐であるための必要十分条件です。つまり、凸錐とは錐結合について閉じた集合です。
\lambda _{1}\geq 0,\ \forall \lambda _{2}\geq 0:\lambda _{1}\boldsymbol{x}_{1}+\lambda _{2}\boldsymbol{x}_{2}\in C
\end{equation*}が成り立つことは、\(C\)が凸錐であるための必要十分条件である。
凸錐の幾何学的解釈
非空の凸錐\(C\subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられた状況を想定します。この場合には\(\boldsymbol{x}\in C\)が存在しますが、\(C\)は錐であるため、非負のスカラーである\(0\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}0\boldsymbol{x}\in C
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{0}\in C
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、非空の凸錐はゼロベクトルを要素として持ちます。
\end{equation*}が成り立つ。
非空な凸錐\(C\)の要素である2つの非ゼロベクトル\(x_{1},x_{2}\in C\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)を任意に選ぶと、原点\(\boldsymbol{0}\in \mathbb{R} ^{n}\)が始点であるような2つの半直線\begin{eqnarray*}L\left( \boldsymbol{0},\boldsymbol{x}_{1}\right) &=&\left\{ \lambda _{1}\boldsymbol{x}_{1}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \lambda _{1}\geq 0\right\} \\
L\left( \boldsymbol{0},\boldsymbol{x}_{2}\right) &=&\left\{ \lambda _{2}\boldsymbol{x}_{2}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \lambda _{2}\geq 0\right\}
\end{eqnarray*}が得られます。この2つの半直線によって挟まれた領域は、\begin{equation*}
X=\left\{ \lambda _{1}\boldsymbol{x}_{1}+\lambda _{2}\boldsymbol{x}_{2}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \lambda _{1},\lambda _{2}\geq 0\right\}
\end{equation*}ですが、これは上図の青い領域です。\(C\)は凸錐であるため、\begin{equation*}X\subset C
\end{equation*}が成り立ちます。以上より、凸錐\(C\)に属する2つの方向を任意に選んだとき、それらに挟まれる任意の方向もまた\(C\)に属することが明らかになりました。
凸錐の特徴づけ
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(C\)が凸錐である場合には、\(C\)の2つの点の任意の錐結合が\(C\)の要素になるだけでなく、\(C\)の任意個の点の任意の錐結合もまた\(C\)の要素になります。ただし、\(C\)の点の錐結合は\(C\)の有限個の点に対して定義される概念であることを踏まえると、これは、自然数\(k\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、さらに\(k\)個の点\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{k}\in C\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,k\right\} :\lambda _{i}\geq 0
\end{equation*}を満たす任意のスカラー\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{k}\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\lambda _{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +\lambda _{k}\boldsymbol{x}_{k}\in C
\end{equation*}が成り立つという主張になります。\(C\)が凸錐である場合には以上の条件が成り立つということです（演習問題）。
逆に、任意の自然数\(k\)について、\(k\)個の任意の\(C\)の点の錐結合が\(C\)の要素である場合、その特殊ケースとして、\(2\)個の任意の\(C\)の点の錐結合は\(C\)の要素になりますが、これは\(C\)が凸錐であることの定義に他なりません。したがって以下を得ます。
ユークリッド空間の部分集合\(C\subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、自然数\(k\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、さらに\(k\)個の点\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{k}\in C\)を任意に選ぶ。これらの点の任意の錐結合が\(C\)の要素であることは、\(C\)が凸錐であるための必要十分条件である。
凸錐のスカラー倍は凸錐
凸集合のスカラー倍は凸集合であり、錐のスカラー倍は錐であるため、凸錐のスカラー倍もまた錐です。つまり、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(C\)が凸錐である場合、任意のスカラー\(\lambda \in \mathbb{R} \)について、\(C\)のスカラー\(\lambda \)倍\begin{equation*}\lambda C=\left\{ \lambda \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{x}\in C\right\}
\end{equation*}もまた凸錐になることが保証されます。
\end{equation*}もまた凸錐である。
凸錐どうしの共通部分は凸錐
凸集合どうしの共通部分は凸集合であり、錐どうしの共通部分は錐であるため、凸錐どうしの共通部分もまた錐です。つまり、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族\(\left\{ C_{i}\right\}_{i\in I}\)の要素\(C_{i}\)がいずれも凸錐である場合、共通部分\begin{equation*}\bigcap_{i\in I}C_{i}
\end{equation*}もまた凸錐になることが保証されます。
以上の事実は、個々の制約条件が凸錐として表現される場合、「すべての制約条件が満たされる」という制約条件もまた凸錐であることを意味します。
\end{equation*}もまた凸錐である。
凸錐どうしの和集合は凸錐であるとは限らない
錐どうしの和集合は錐ですが、凸集合どうしの和集合は凸集合であるとは限らないため、凸錐どうしの和集合は錐である一方で凸集合であるとは限りません。つまり、つまり、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族\(\left\{ C_{i}\right\}_{i\in I}\)の要素\(C_{i}\)がいずれも凸錐である場合、和集合\begin{equation*}\bigcup_{i\in I}C_{i}
\end{equation*}は凸錐であるとは限りません。以下の例より明らかです。
C_{2} &=&\left\{ \left( 0,t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\geq 0\right\}
\end{eqnarray*}に注目します。つまり、\(C_{1}\)は\(x\)軸の非負の部分であり、\(C_{2}\)は\(y\)軸の非負の部分です。\(C_{1}\)と\(C_{2}\)はともに凸錐ですが、和集合\begin{equation*}C_{1}\cup C_{2}
\end{equation*}は凸錐ではありません（演習問題）。
演習問題
\end{equation*}と定義されますが、これが凸錐であることを示してください。
\end{equation*}が凸錐であることを示してください。
\end{equation*}が凸錐であることを示してください。
\end{equation*}が凸錐であることを示してください。
\end{equation*}は錐である一方で凸集合ではないことを示してください。
\end{equation*}は凸集合である一方で錐ではないことを示してください。
L=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=1\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{2}\)においてアフィン集合である一方で凸錐ではないことを示してください。
&&\left( b\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in V \\
&&\left( c\right) \ \forall \lambda \in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in V:\lambda \boldsymbol{x}\in V
\end{eqnarray*}が成り立つということです。部分空間が凸錐であることを示してください。
C_{2} &=&\left\{ \left( 0,t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\geq 0\right\}
\end{eqnarray*}はともに凸錐である一方で、和集合\begin{equation*}
C_{1}\cup C_{2}
\end{equation*}は凸錐ではないことを示してください。
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