確認テスト II（凸集合）

2つの異なる非ゼロベクトル\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)に対して、\(\boldsymbol{b}\)よりも\(\boldsymbol{a}\)に近い場所にある点からなる集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right\Vert \leq \left\Vert
\boldsymbol{x}-\boldsymbol{b}\right\Vert \right\}
\end{equation*}が超平面であることを証明してください。

以下の問いに答えてください（各10点）。

1. 非ゼロベクトル\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)と実数\(c,d\in \mathbb{R} \)から定義される以下の集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ c\leq \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}\leq d\right\} \end{equation*}が凸集合であることを示してください。
2. 実数\(c_{1},\cdots ,c_{n},d_{1},\cdots ,d_{n}\in \mathbb{R} \)から定義される以下の集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :c_{i}\leq x_{i}\leq d_{i}\right\}
   \end{equation*}が凸集合であることを示してください。
3. 集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)と点\(\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{n}\)から定義される以下の集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall \boldsymbol{a}\in A:\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{b}\right\Vert \leq \left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right\Vert\right\}
   \end{equation*}が凸集合であることを示してください。

法線ベクトル\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)を共有する平行な2つの超平面\begin{eqnarray*}H\left( \boldsymbol{a},c_{1}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}=c_{1}\right\} \\
H\left( \boldsymbol{a},c_{2}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}=c_{2}\right\}
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。ただし、\(c_{1},c_{2}\in \mathbb{R} \)です。これらの超平面の間の距離が、\begin{equation*}\frac{\left\vert c_{1}-c_{2}\right\vert }{\left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert }
\end{equation*}であることを証明してください。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m+n}\)の部分集合\(A,B\)が凸集合である場合、以下の集合\begin{equation*}C=\left\{ \left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right) \in \mathbb{R} ^{m+n}\ |\ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{m}\wedge \boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}\wedge \left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in A\wedge \left(
\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) \in B\right\}
\end{equation*}もまた凸集合であることを示してください。

以下の問いに答えてください。

1. 凸集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)から定義される以下の集合\begin{equation*}S_{\varepsilon }=\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},A\right) \leq \varepsilon \right\} \end{equation*}が凸集合であることを示してください。ただし、\(d\left( \boldsymbol{x},A\right) \)は点\(\boldsymbol{x}\)と集合\(A\)の間の距離であり、\begin{equation*}d\left( \boldsymbol{x},A\right) =\inf \left\{ \left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right\Vert \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{a}\in A\right\}
   \end{equation*}と定義されます。
2. 凸集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)から定義される以下の集合\begin{equation*}S_{-\varepsilon }=\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{x}\right) \subset A\right\} \end{equation*}が凸集合であることを示してください。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{x}\right) \)は中心が\(\boldsymbol{x}\)であり半径が\(\varepsilon \)であるような近傍であり、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert <\varepsilon
   \right\}
   \end{equation*}と定義されます。