超平面による集合と点の狭義分離
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における超平面とは、法線ベクトル\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)から、\begin{equation*}H\left( \boldsymbol{a},c\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}=c\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合です。超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)が与えられれば空間\(\mathbb{R} ^{n}\)を開半空間\begin{eqnarray*}H^{++}\left( \boldsymbol{a},c\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}>c\right\} \\
H^{− −}\left( \boldsymbol{a},c\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}<c\right\}
\end{eqnarray*}へと分割できます。空間\(\mathbb{R} ^{n}\)は超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)と上半空間\(H^{++}\left( \boldsymbol{a},c\right) \)と下半空間\(H^{− −}\left( \boldsymbol{a},c\right) \)に分割されます。これらの集合は互いに素です。
ユークリッド空間上の集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)と点\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)および超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)が与えられたとき、開上半空間\(H^{++}\left( \boldsymbol{a},c\right) \)と開下半空間\(H^{− −}\left( \boldsymbol{a},c\right) \)のどちらか一方が集合\(X\)を部分集合として含むとともに、開上半空間と開下半空間のうち\(X\)を部分集合として含まないほうが点\(\boldsymbol{y}\)を要素として含む場合には、すなわち、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ X\subset H^{++}\left( \boldsymbol{a},c\right) \wedge
\boldsymbol{y}\in H^{− −}\left( \boldsymbol{a},c\right) \\
&&\left( b\right) \ X\subset H^{− −}\left( \boldsymbol{a},c\right) \wedge
\boldsymbol{y}\in H^{++}\left( \boldsymbol{a},c\right)
\end{eqnarray*}のどちらか一方が成り立つ場合には、集合\(X\)と点\(\boldsymbol{y}\)は超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)によって狭義分離される（strictly separated）または強分離されるなどと言います。開半空間の定義より、先の2つの条件を、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \left( \forall \boldsymbol{x}\in X:\boldsymbol{a}\cdot
\boldsymbol{x}>c\right) \wedge \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{y}<c \\
&&\left( b\right) \ \left( \forall \boldsymbol{x}\in X:\boldsymbol{a}\cdot
\boldsymbol{x}<c\right) \wedge \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{y}>c
\end{eqnarray*}とそれぞれ表現することもできます。
\(\mathbb{R} ^{2}\)における超平面は直線です。上図中の直線に相当する超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)に注目します。上半空間\(H^{+}\left( \boldsymbol{a},c\right) \)から超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)を除いた領域が開上半空間\(H^{++}\left( \boldsymbol{a},c\right) \)であり、下半空間\(H^{-}\left( \boldsymbol{a},c\right) \)から超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)を除いた領域が開下半空間\(H^{− −}\left( \boldsymbol{a},c\right) \)です。上図から明らかであるように、\(X\)は\(H^{++}\left( \boldsymbol{a},c\right) \)の部分集合である一方で\(\boldsymbol{y}\)は\(H^{− −}\left( \boldsymbol{a},c\right) \)の要素であるため、\(X\)と\(\boldsymbol{y}\)は\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)によって狭義分離されています。
\(\mathbb{R} ^{2}\)における超平面は直線です。集合\(X\)は閉集合ではなく境界点を要素として持ちません。つまり、\(X\)はその内部\(X^{i}\)と一致し、その全体が開上半空間\(H^{++}\left( \boldsymbol{a},c\right) \)に含まれているため\(X\)は\(H^{++}\left( \boldsymbol{a},c\right) \)の部分集合です。同時に\(\boldsymbol{y}\)は\(H^{− −}\left( \boldsymbol{a},c\right) \)の要素であるため、\(X\)と\(\boldsymbol{y}\)は\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)によって狭義分離されています。
集合と点は超平面によって狭義分離可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\(\mathbb{R} ^{2}\)における超平面は直線です。\(\mathbb{R} ^{2}\)上のいかなる直線によっても集合\(X\)と点\(\boldsymbol{y}\)を狭義分離することはできません。具体例として、上図中の直線に相当する超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)に注目すると、点\(\boldsymbol{y}\)は開下半空間\(H^{− −}\left( \boldsymbol{a},c\right) \)の点である一方で集合\(X\)は開上半空間\(H^{++}\left( \boldsymbol{a},c\right) \)の部分集合ではありません。他の任意の超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)についても同様です。したがって、この集合\(X\)と点\(\boldsymbol{y}\)はいかなる超平面によっても狭義分離できません。この例は、集合とその境界点は超平面によって狭義分離できないことを示唆しています。
\(\mathbb{R} ^{2}\)における超平面は直線です。\(\mathbb{R} ^{2}\)上のいかなる直線によっても集合\(X\)と点\(\boldsymbol{y}\)を狭義分離できません。具体例として、上図中の直線に相当する超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)に注目すると、点\(\boldsymbol{y}\)は開下半空間\(H^{− −}\left( \boldsymbol{a},c\right) \)の要素であるものの、集合\(X\)は開上半空間\(H^{++}\left( \boldsymbol{a},c\right) \)の部分集合ではありません。他の任意の超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)についても同様です。したがって、この集合\(X\)と点\(\boldsymbol{y}\)はいかなる超平面によっても狭義分離できません。この例は、集合とその内点は超平面によって狭義分離できないことを示唆しています。
\(\mathbb{R} ^{2}\)における超平面は直線です。\(\mathbb{R} ^{2}\)上のいかなる直線によっても集合\(X\)と点\(\boldsymbol{y}\)を狭義分離できません。具体例として、上図中の直線に相当する超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)に注目すると、点\(\boldsymbol{y}\)は開下半空間\(H^{− −}\left( \boldsymbol{a},c\right) \)の要素であるものの、集合\(X\)は開上半空間\(H^{++}\left( \boldsymbol{a},c\right) \)の部分集合ではありません。他の任意の超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)についても同様です。したがって、この集合\(X\)と点\(\boldsymbol{y}\)はいかなる超平面によっても狭義分離できません。この例は、非凸集合と点は超平面によって狭義分離できないことを示唆しています。
狭義分離超平面定理
先の例が示唆するように、ユークリッド空間上の集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)が凸集合ではない場合や、点\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)が問題としている集合\(X\)の内点や境界点である場合などには、集合\(X\)と点\(\boldsymbol{y}\)はいかなる超平面によっても狭義分離できない可能性があります。逆に、集合\(X\)が凸集合であり、なおかつ点\(\boldsymbol{y}\)が問題としている凸集合\(X\)の内点や境界点ではない場合には、すなわち\(\boldsymbol{y}\)が凸集合\(X\)の外点である場合には、集合\(X\)と点\(\boldsymbol{y}\)は何らかの超平面によって狭義分離されるとまで言えるのでしょうか。この問いに答えるのが以下の命題です。これを狭義分離超平面定理（strictly separating hyperplane theorem）と呼びます。
H^{− −}\left( \boldsymbol{a},c\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{y}>c\wedge \left( \forall \boldsymbol{x}\in
X:\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}<c\right)
\end{equation*}を満たす法線ベクトル\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)が存在する。
上の命題の結論\begin{equation*}
\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{y}>c\wedge \left( \forall \boldsymbol{x}\in
X:\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}<c\right)
\end{equation*}を1つにまとめると、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in X:\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}<\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{y}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in X:\boldsymbol{a}\cdot \left( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right) <0
\end{equation*}となります。これは、非空な凸集合\(X\)の外点\(\boldsymbol{y}\)が与えられたとき、その点から集合\(X\)上の点\(\boldsymbol{x}\)へ伸びる任意のベクトル\(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\)との角度が鈍角になるようなベクトル\(\boldsymbol{a}\)が存在するという主張です。
先の命題では\(X\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の非空な凸集合であるとともに\(\boldsymbol{y}\)が\(X\)の外点であることを要求しています。一方、\(X\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の非空な凸集合であるとともに閉集合である場合には、\(\boldsymbol{y}\)が\(X\)の外点であるという条件を\(\boldsymbol{y}\not\in X\)に置き換えることができます。なぜなら、\(X\)が閉集合であるとともに\(\boldsymbol{y}\not\in X\)である場合、\(\boldsymbol{y}\in X^{c}\)であるとともに\(X^{c}\)は開集合になり、したがって、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( y\right) \subset X^{c}
\end{equation*}が成り立ちますが、以上の事実は\(\boldsymbol{y}\)が\(X\)の外点であることを意味するからです。
H^{− −}\left( \boldsymbol{a},c\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{y}>c\wedge \left( \forall \boldsymbol{x}\in
X:\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}<c\right)
\end{equation*}を満たす法線ベクトル\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)が存在する。
ちなみに、\(y\)が満たすべき条件として\(\boldsymbol{y}\not\in X\)を採用する場合、\(X\)が閉集合であるという条件は必須になります。以下の例より明らかです。
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y>0\right\}
\end{equation*}と、以下の点\begin{equation*}
\left( 0,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}に注目します。\(X\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の非空な凸集合ですが閉集合ではありません。また、\begin{equation*}\left( 0,0\right) \not\in X
\end{equation*}が明らかに成り立ちます。さらに、\(X\)と\(\left(0,0\right) \)を狭義分離する超平面は存在しません（演習問題）。
狭義分離超平面定理の言い換え
先の命題において存在が保証される法線ベクトル\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)を踏まえた上で、新たな法線ベクトル\(\boldsymbol{a}^{\prime }\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)とスカラー\(c^{\prime }\in \mathbb{R} \)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{a}^{\prime } &=&-\boldsymbol{a} \\
c^{\prime } &=&-c
\end{eqnarray*}と定義します。この新たな法線ベクトル\(\boldsymbol{a}^{\prime }\)とスカラー\(c\)のもとでの超平面は、\begin{equation*}H\left( \boldsymbol{a}^{\prime },c^{\prime }\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}^{\prime }\cdot \boldsymbol{x}=c^{\prime }\right\}
\end{equation*}ですが、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{a}^{\prime }\cdot \boldsymbol{x}=c^{\prime } &\Leftrightarrow &-\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}=-c \\
&\Leftrightarrow &\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}=c
\end{eqnarray*}が成り立つため、\begin{equation*}
H\left( \boldsymbol{a}^{\prime },c^{\prime }\right) =H\left( \boldsymbol{a},c\right)
\end{equation*}を得ます。つまり、法線ベクトルとスカラーを\(\left( \boldsymbol{a},c\right) \)から\(\left( \boldsymbol{a}^{\prime },c^{\prime }\right) =\left( -\boldsymbol{a},-c\right) \)へ入れ替えても超平面としては変わらないということです。ただし、\(\boldsymbol{a}^{\prime }\ \left( =-\boldsymbol{a}\right) \)は\(\boldsymbol{a}\)とは逆向きのベクトルであるため、開上空間と開下空間は逆転します。つまり、\begin{eqnarray*}H^{++}\left( \boldsymbol{a}^{\prime },c^{\prime }\right) &=&H^{− −}\left(
\boldsymbol{a},c\right) \\
H^{− −}\left( \boldsymbol{a}^{\prime },c^{\prime }\right) &=&H^{++}\left(
\boldsymbol{a},c\right)
\end{eqnarray*}であるということです。
以上を踏まえた上で、先の命題の結論中の不等式の両辺をスカラー\(-1\)倍すると、\begin{equation*}-\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{y}<-c\wedge \left( \forall \boldsymbol{x}\in X:-\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}>c\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{a}^{\prime }\cdot \boldsymbol{y}<c^{\prime }\wedge \left(
\forall \boldsymbol{x}\in X:\boldsymbol{a}^{\prime }\cdot \boldsymbol{x}>c^{\prime }\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{y}\in H^{− −}\left( \boldsymbol{a}^{\prime },c^{\prime }\right)
\wedge X\subset H^{++}\left( \boldsymbol{a}^{\prime },c^{\prime }\right)
\end{equation*}を得ます。\(\left( \boldsymbol{a},c\right) \)が存在する場合には\(\left( \boldsymbol{a}^{\prime },c^{\prime }\right) =\left( -\boldsymbol{a},-c\right) \)もまた存在するため、先の命題を以下のように表現することもできます。
H^{++}\left( \boldsymbol{a},c\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{y}<c\wedge \left( \forall \boldsymbol{x}\in
X:\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}>c\right)
\end{equation*}を満たす法線ベクトル\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)が存在する。
先と同様の理由により、この命題を以下のように表現することもできます。
H^{++}\left( \boldsymbol{a},c\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{y}<c\wedge \left( \forall \boldsymbol{x}\in
X:\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}>c\right)
\end{equation*}を満たす法線ベクトル\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)が存在する。
狭義分離超平面定理の逆の主張
ユークリッド空間上の集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)が非空かつ凸な閉集合であるとともに点\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)が\(\boldsymbol{y}\not\in X\)を満たす場合には、\(X\)と\(\boldsymbol{y}\)を狭義分離する超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)が存在することが明らかになりましたが、その逆の主張もまた成り立ちます。つまり、\(X\)が非空かつ凸な閉集合である状況において\(X\)と\(\boldsymbol{y}\)を狭義分離する超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)が存在する場合には\(\boldsymbol{y}\not\in X\)であることが保証されます。実際、\(X\)と\(\boldsymbol{y}\)を狭義分離する超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)が存在する場合には、\begin{equation*}\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{y}>c\wedge \left( \forall \boldsymbol{x}\in
X:\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}<c\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、さらに\(y\in X\)を仮定すると、\begin{equation*}\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{y}>c\wedge \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{y}<c
\end{equation*}となり、矛盾が導かれるからです。したがって、狭義分離超平面定理を以下のように表現できます。
支持関数を用いた狭義分離超平面定理の解釈
狭義分離超平面定理の結論\begin{equation*}
\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{y}>c\wedge \left( \forall \boldsymbol{x}\in
X:\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}<c\right)
\end{equation*}を1つにまとめると、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in X:\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}<\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{y}
\end{equation*}となります。このとき、\(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}\)がとり得る値からなる集合は上に有界であるため、実数の連続性より、\begin{equation*}\sup_{x\in X}\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}
\end{equation*}が有限な実数として定まるとともに、\begin{equation*}
\sup_{x\in X}\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}<\boldsymbol{a}\cdot
\boldsymbol{y}
\end{equation*}が成り立ちます。この意味を以下のように理解できます。
法線ベクトル\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)とベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)が与えられたとき、\(\boldsymbol{x}\)の\(\boldsymbol{a}\)へのベクトル射影は、\begin{equation*}\mathrm{proj}_{\boldsymbol{a}}\boldsymbol{x}=\frac{\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}}{\left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert ^{2}}\boldsymbol{a}
\end{equation*}として与えられるため、その大きさは、\begin{eqnarray*}
\left\Vert \mathrm{proj}_{\boldsymbol{a}}\boldsymbol{x}\right\Vert
&=&\left\Vert \frac{\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}}{\left\Vert
\boldsymbol{a}\right\Vert ^{2}}\boldsymbol{a}\right\Vert \\
&=&\frac{\left\vert \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}\right\vert }{\left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert ^{2}}\left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert \\
&=&\frac{\left\vert \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}\right\vert }{\left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert }
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left\vert \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}\right\vert =\left\Vert
\boldsymbol{a}\right\Vert \cdot \left\Vert \mathrm{proj}_{\boldsymbol{a}}\boldsymbol{x}\right\Vert
\end{equation*}を得ます。特に、\(\boldsymbol{a}\)と\(\boldsymbol{x}\)のなす角が鋭角である場合には\(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}>0\)であるため、\begin{equation*}\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}=\left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert
\cdot \left\Vert \mathrm{proj}_{\boldsymbol{a}}\boldsymbol{x}\right\Vert
\end{equation*}を得ます。つまり、内積\(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}\)の値は、\(X\)上のベクトル\(\boldsymbol{x}\)を法線ベクトル\(\boldsymbol{a}\)の方向に射影した場合の到達可能な長さを表しています。\(X\)上のすべてのベクトル\(\boldsymbol{x}\)について同様に\(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}\)を特定した上で、その中の上限\begin{equation*}\sup_{\boldsymbol{x}\in X}\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}
\end{equation*}をとれば、これは、\(X\)に属するすべてのベクトルを法線ベクトル\(\boldsymbol{a}\)の方向に射影した場合の到達可能な長さの上限を表しています。そのような中で、\begin{equation*}\sup_{\boldsymbol{x}\in X}\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}<\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{y}
\end{equation*}が成り立つこととは、\(X\)に属するどのベクトルを\(\boldsymbol{a}\)の方向に射影しても、\(\boldsymbol{y}\)を\(\boldsymbol{a}\)の方向に射影した場合の長さには及ばないことを意味します。したがって、この場合には\(X\)と\(\boldsymbol{y}\)を狭義に分離する超平面が存在します。
ちなみに、非空かつ凸な閉集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、それぞれの非ゼロベクトル\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)に対して、\begin{equation*}h_{X}\left( \boldsymbol{a}\right) =\sup_{\boldsymbol{x}\in X}\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}
\end{equation*}を定める関数\begin{equation*}
h_{X}:\mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を支持関数（support function）と呼びます。支持関数を用いると、先の命題を、\begin{equation*}
h_{X}\left( \boldsymbol{a}\right) <\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{y}
\end{equation*}と表現できますが、その直感的意味は先述の通りです。
演習問題
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y>0\right\}
\end{equation*}と、以下の点\begin{equation*}
\left( 0,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}に注目します。以下の問いに答えてください。
- \(X\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の非空な凸集合である一方で閉集合ではないことを示してください。
- \(\left( 0,0\right) \not\in X\)が成り立つことを示してください。
- \(X\)と\(\left( 0,0\right) \)を狭義分離する超平面が存在しないことを示してください。
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y\leq 1\wedge x\geq 0\wedge y\geq 0\right\}
\end{equation*}と、以下の点\begin{equation*}
\left( 1,1\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}に注目します。以下の問いに答えてください。
- \(X\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の非空かつ凸な閉集合であることを示してください。
- \(\left( 1,1\right) \not\in X\)であることを示してください。
- \(X\)と\(\left( 1,1\right) \)を狭義分離する超平面を具体的に1つ挙げてください。
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