微分を用いた1変数の準凸関数の判定
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が準凸関数であることは、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in I,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :f\left(
\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \leq \max \left\{
f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\}
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、定義にもとづいて関数が準凸であることを示す作業は煩雑になりがちです。
関数\(f\)が\(C^{1}\)級である場合、すなわち\(f\)が微分可能であるとともに導関数\(f^{\prime }\)が連続である場合、それが準凸関数であることを以下のように特徴づけることができます。
f\left( x_{1}\right) \Rightarrow \left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime
}\left( x_{1}\right) \leq 0\right] \end{equation*}が成り立つことは、\(f\)は準凸関数であるための必要十分条件である。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} _{++}\)は区間です。\(f\)は自然対数関数であるため\(C^{2}\)級であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{x} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。そこで、\begin{equation*}
f\left( x_{2}\right) \leq f\left( x_{1}\right)
\end{equation*}を満たす点\(x_{1},x_{2}\in I\)を任意に選びます。\(f\)は狭義単調増加であるため、このとき、\begin{equation}x_{2}\leq x_{1} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。すると、\begin{eqnarray*}
\left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) &=&\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1}}\quad \because \left( 1\right) \\
&\leq &0\quad \because x_{1}>0\text{および}\left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より\(f\)は準凸関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。\(f\)は多項式関数であるため\(C^{2}\)級であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =3x^{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。そこで、\begin{equation*}
f\left( x_{2}\right) \leq f\left( x_{1}\right)
\end{equation*}を満たす点\(x_{1},x_{2}\in I\)を任意に選びます。\(f\)は狭義単調増加であるため、このとき、\begin{equation}x_{2}\leq x_{1} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。すると、\begin{eqnarray*}
\left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) &=&\left(
x_{2}-x_{1}\right) \cdot 3x^{2}\quad \because \left( 1\right) \\
&\leq &0\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より\(f\)は準凸関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。\(f\)は多項式関数であるため\(C^{2}\)級であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =2 \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。そこで、\begin{equation*}
f\left( x_{2}\right) \leq f\left( x_{1}\right)
\end{equation*}を満たす点\(x_{1},x_{2}\in I\)を任意に選びます。\(f\)は狭義単調増加であるため、このとき、\begin{equation}x_{2}\leq x_{1} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。すると、\begin{eqnarray*}
\left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) &=&\left(
x_{2}-x_{1}\right) \cdot 2\quad \because \left( 1\right) \\
&\leq &0\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より\(f\)は準凸関数です。
先の命題は区間上に定義された\(C^{1}\)級の関数が準凸であるための必要十分条件を与えているため、与えられた関数が準凸でないことを示す際にも利用できます。具体的には、区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内部\(I^{i}\)において\(C^{1}\)級である一方で、\begin{equation*}\exists x_{1}\in I^{i},\ \exists x_{2}\in I:\left[ f\left( x_{2}\right) \leq
f\left( x_{1}\right) \wedge \left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime
}\left( x_{1}\right) >0\right]
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)は準凸関数ではありません。
\sin \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}に注目します。定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。正弦関数は\(C^{2}\)級であり、導関数\(\sin ^{\prime }\left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\sin ^{\prime }\left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めます。2つの点\(\pi ,-\pi \in \mathbb{R} \)に注目すると、\begin{equation*}\sin \left( \pi \right) =\sin \left( -\pi \right)
\end{equation*}である一方で、\begin{equation*}
\left( -\pi -\pi \right) \cdot \cos \left( \pi \right) >0
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より\(\sin \left( x\right) \)は準凸関数ではありません。
微分を用いた1変数の準凹関数の判定
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が準凹関数であることは、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in I,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\min
\left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} \leq f\left(
\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。準凸関数に関する先の議論において不等号の向きを逆にすればそのまま準凹関数に関する議論になります。したがって、\(C^{1}\)級（連続微分可能）の関数が準凹関数であることを以下のような形で特徴づけられます。
f\left( x_{1}\right) \Rightarrow \left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime
}\left( x_{1}\right) \geq 0\right] \end{equation*}が成り立つことは、\(f\)は準凹関数であるための必要十分条件である。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} _{++}\)は区間です。\(f\)は自然対数関数であるため\(C^{2}\)級であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{x} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。そこで、\begin{equation*}
f\left( x_{2}\right) \geq f\left( x_{1}\right)
\end{equation*}を満たす点\(x_{1},x_{2}\in I\)を任意に選びます。\(f\)は狭義単調増加であるため、このとき、\begin{equation}x_{2}\geq x_{1} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。すると、\begin{eqnarray*}
\left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) &=&\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1}}\quad \because \left( 1\right) \\
&\geq &0\quad \because x_{1}>0\text{および}\left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より\(f\)は準凹関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。\(f\)は多項式関数であるため\(C^{2}\)級であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =3x^{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。そこで、\begin{equation*}
f\left( x_{2}\right) \geq f\left( x_{1}\right)
\end{equation*}を満たす点\(x_{1},x_{2}\in I\)を任意に選びます。\(f\)は狭義単調増加であるため、このとき、\begin{equation}x_{2}\geq x_{1} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。すると、\begin{eqnarray*}
\left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) &=&\left(
x_{2}-x_{1}\right) \cdot 3x^{2}\quad \because \left( 1\right) \\
&\geq &0\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より\(f\)は準凹関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。\(f\)は多項式関数であるため\(C^{2}\)級であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =2 \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。そこで、\begin{equation*}
f\left( x_{2}\right) \geq f\left( x_{1}\right)
\end{equation*}を満たす点\(x_{1},x_{2}\in I\)を任意に選びます。\(f\)は狭義単調増加であるため、このとき、\begin{equation}x_{2}\geq x_{1} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。すると、\begin{eqnarray*}
\left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) &=&\left(
x_{2}-x_{1}\right) \cdot 2\quad \because \left( 1\right) \\
&\geq &0\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より\(f\)は準凹関数です。
先の命題は区間上に定義された\(C^{1}\)級の関数が準凹であるための必要十分条件を与えているため、与えられた関数が準凹でないことを示す際にも利用できます。具体的には、区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内部\(I^{i}\)において\(C^{1}\)級である一方で、\begin{equation*}\exists x_{1}\in I^{i},\ \exists x_{2}\in I:\left[ f\left( x_{2}\right) \geq
f\left( x_{1}\right) \wedge \left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime
}\left( x_{1}\right) <0\right]
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)は準凹関数ではありません。
\sin \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}に注目します。定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。正弦関数は\(C^{2}\)級であり、導関数\(\sin ^{\prime }\left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\sin ^{\prime }\left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めます。2つの点\(\pi ,-\pi \in \mathbb{R} \)に注目すると、\begin{equation*}\sin \left( \pi \right) =\sin \left( -\pi \right)
\end{equation*}である一方で、\begin{equation*}
\left( \pi -\left( -\pi \right) \right) \cdot \cos \left( -\pi \right) <0
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より\(\sin \left( x\right) \)は準凹関数ではありません。
微分を用いた拡大実数値をとる1変数の準凸関数の判定
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が準凸関数であることは、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :f\left( \lambda x_{1}+\left(
1-\lambda \right) x_{2}\right) \leq \max \left\{ f\left( x_{1}\right)
,f\left( x_{2}\right) \right\}
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。\(f\)の有効領域は、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) <+\infty \right\}
\end{equation*}と定義されるとともに、\(f\)が準凸関数である場合には\(\mathrm{dom}\left( f\right) \)は区間になります。特に、\begin{equation*}\exists x\in \mathbb{R} :f\left( x\right) <+\infty
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\mathrm{dom}\left( f\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つ場合には\(f\)を真準凸関数と呼びます。
拡大実数値をとる準凸関数に関しても実数値関数の場合と同様の命題が成り立ちます。
\forall x_{2}\in \mathrm{dom}\left( f\right) :\left[ f\left( x_{2}\right) \leq
f\left( x_{1}\right) \Rightarrow \left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime
}\left( x_{1}\right) \leq 0\right] \end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が準凸関数であるための必要十分条件である。
\begin{array}{cc}
\ln \left( x\right) & \left( if\ x>0\right) \\
+\infty & \left( if\ x\leq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の有効領域は、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =\left( 0,+\infty \right)
\end{equation*}であり、その相対的内部は、\begin{equation*}
\mathrm{ri}\left( \mathrm{dom}\left( f\right) \right) =\left( 0,+\infty \right)
\end{equation*}です。\(f\)は\(\left( 0,+\infty \right) \)上で\(C^{1}\)級であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left( 0,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 0,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{x} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。そこで、\begin{equation*}
f\left( x_{2}\right) \leq f\left( x_{1}\right)
\end{equation*}を満たす点\(x_{1},x_{2}\in \left( 0,+\infty\right) \)を任意に選びます。\(f\)は狭義単調増加であるため、このとき、\begin{equation}x_{2}\leq x_{1} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。すると、\begin{eqnarray*}
\left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) &=&\left(
x_{2}-x_{1}\right) \cdot \frac{1}{x_{1}}\quad \because \left( 1\right) \\
&\leq &0\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は\(\left( 0,+\infty\right) \)上で準凸関数です。したがって先の命題より、もとの拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)もまた準凸です。
微分を用いた拡大実数値をとる1変数の準凹関数の判定
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)が準凹関数であることは、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\min \left\{ f\left( x_{1}\right)
,f\left( x_{2}\right) \right\} \leq f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda
\right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。\(f\)の有効領域は、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) >-\infty \right\}
\end{equation*}と定義されるとともに、\(f\)が準凹関数である場合には\(\mathrm{dom}\left( f\right) \)は区間になります。特に、\begin{equation*}\exists x\in \mathbb{R} :f\left( x\right) >-\infty
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\mathrm{dom}\left( f\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つ場合には\(f\)を真準凹関数と呼びます。
拡大実数値をとる準凹関数に関しても実数値関数の場合と同様の命題が成り立ちます。
\forall x_{2}\in \mathrm{dom}\left( f\right) :\left[ f\left( x_{2}\right) \geq
f\left( x_{1}\right) \Rightarrow \left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime
}\left( x_{1}\right) \geq 0\right] \end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が準凹関数であるための必要十分条件である。
\begin{array}{cc}
-\ln \left( x\right) & \left( if\ x>0\right) \\
-\infty & \left( if\ x\leq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の有効領域は、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =\left( 0,+\infty \right)
\end{equation*}であり、その相対的内部は、\begin{equation*}
\mathrm{ri}\left( \mathrm{dom}\left( f\right) \right) =\left( 0,+\infty \right)
\end{equation*}です。\(f\)は\(\left( 0,+\infty \right) \)上で\(C^{1}\)級であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left( 0,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 0,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =-\frac{1}{x} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。そこで、\begin{equation*}
f\left( x_{2}\right) \geq f\left( x_{1}\right)
\end{equation*}を満たす点\(x_{1},x_{2}\in \left( 0,+\infty\right) \)を任意に選びます。\(f\)は狭義単調減少であるため、\begin{equation}x_{2}\leq x_{1} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。すると、\begin{eqnarray*}
\left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) &=&-\left(
x_{2}-x_{1}\right) \cdot \frac{1}{x_{1}}\quad \because \left( 1\right) \\
&\geq &0\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は\(\left( 0,+\infty\right) \)上で準凹数です。したがって先の命題より、もとの拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)もまた準凹です。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が準凸関数かつ準凹関数であることを微分を用いて示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が準凸関数かつ準凹関数であることを微分を用いて示してください。
\end{equation*}として表されるものとします。\(f\)が準凸関数かつ準凹関数であることを微分を用いて示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は準凸関数である一方で準凹関数ではないことを微分を用いて示してください。
x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) +f\left(
x_{1}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことは\(f\)が凸関数であるための必要十分条件であり、\begin{equation}\forall x_{1}\in I^{i},\ \forall x_{2}\in I:\left[ f\left( x_{2}\right) \leq
f\left( x_{1}\right) \Rightarrow \left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime
}\left( x_{1}\right) \leq 0\right] \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことは\(f\)が準凸関数であるための必要十分条件です。凸関数は準凸関数であるため、\(\left( 1\right) \)が成り立つ場合には\(\left(2\right) \)もまた成り立つはずです。これを証明してください。
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