IS-LMモデルにおける政府支出乗数（有効政府支出乗数）

単純政府支出乗数

閉鎖経済における財市場の均衡条件は、\begin{equation*}
Y=C\left( Y\right) +I\left( r\right) +G
\end{equation*}であり、貨幣市場の均衡条件は、\begin{equation*}
\frac{M}{P}=L\left( Y,r\right)
\end{equation*}です。ただし、\(Y\)は国民所得を表す内生変数であり、\(r\)は市場利子率を表す内生変数です。また、\(C\left( Y\right) \)は消費関数であり、\(I\left(r\right) \)は投資関数であり、\(G\)は政府支出を表す外生変数です。さらに、\(M\)はマネーサプライを表す外生変数であり、\(P\)は物価を表す外生変数であり、\(L\left(Y,r\right) \)は実質貨幣乗数関数です。

貨幣市場を考慮せず、財市場の均衡だけを問題とする場合には利子率\(r\)が定数となり、ゆえに投資\(I\left( r\right) \)は外生変数になります。そこで、財市場の均衡だけを問題とする場合には投資を外生変数\(I\)として表記します。この場合、財市場を均衡させる均衡国民所得は、以下の条件\begin{equation*}Y^{IS}=C\left( Y^{IS}\right) +I+G
\end{equation*}を満たす国民所得\(Y^{IS}\)として定義されます。

以上の状況において、政府支出を\(\Delta G\)だけ変化させた場合に均衡国民所得が\(\Delta Y\)だけ変化するならば、すなわち、\begin{equation*}Y^{IS}+\Delta Y=C\left( Y^{IS}+\Delta Y\right) +I+G+\Delta G
\end{equation*}が成り立つ場合には、政府支出乗数は、\begin{equation*}
\frac{\Delta Y}{\Delta G}
\end{equation*}となります。これは財市場の均衡だけを考慮した場合の政府支出乗数であり、貨幣市場の均衡を考慮していません。そこで、これを単純政府支出乗数（simple government expenditure multiplier）と呼ぶこととします。

消費関数としてケインズ型消費関数\begin{equation*}
C\left( Y\right) =c_{0}+c_{1}\left( Y-T\right)
\end{equation*}を採用する状況を想定します。ただし、\(T\geq 0\)は所得税を表す外生変数であり、\(c_{0},c_{1}\in \mathbb{R} \)は\(c_{0}>0\)かつ\(0<c_{1}<1\)を満たす定数です。この場合、財市場の均衡条件\begin{equation*}Y^{IS}=C\left( Y^{IS}\right) +I+G
\end{equation*}は以下の条件\begin{equation*}
Y^{IS}=c_{0}+c_{1}\left( Y^{IS}-T\right) +I+G
\end{equation*}と必要十分であるため、これを解くことにより、均衡国民所得\(Y^{IS}\)を、\begin{equation*}Y^{IS}=\frac{1}{1-c_{1}}\left( c_{0}-c_{1}T+I+G\right)
\end{equation*}と特定できます。この場合、単純政府支出乗数は、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial Y^{IS}}{\partial G} &=&\frac{\partial }{\partial G}\left[
\frac{1}{1-c_{1}}\left( c_{0}-c_{1}T+I+G\right) \right] \\
&=&\frac{1}{1-c_{1}}
\end{eqnarray*}となります。

限界消費性向\(c_{1}\)は定数であるため政府支出乗数\(\frac{1}{1-c_{1}}\)もまた定数であり、これは限界貯蓄性向\(1-c_{1}\)の逆数と一致します。しかも\(0<c_{1}<1\)より、\begin{equation*}1<\frac{1}{1-c_{1}}
\end{equation*}が成り立ちます。以上の事実は、政府支出\(G\)がどのような水準であったとしても、そこを出発点とした上で、その他の条件を一定とした上で\(G\)だけを1単位増やした場合、それよりも多い均衡国民所得の増加\(\frac{1}{1-c_{1}}\)が実現することを意味します。

有効政府支出乗数

これまでは貨幣市場を考慮せず、財市場の均衡だけを問題としていました。では、財市場と貨幣市場の同時均衡を考慮した場合、すなわち、IS-LMモデルを想定した場合、政府支出乗数はどのように変化するのでしょうか。

同時均衡\(\left( Y^{\ast },r^{\ast }\right) \)のもとでは財市場と貨幣市場がともに均衡するため、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{l}
Y^{\ast }=C\left( Y^{\ast }\right) +I\left( r^{\ast }\right) +G \\
\frac{M}{P}=L\left( Y^{\ast },r^{\ast }\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立ちます。以上の状況において、政府支出を\(\Delta G\)だけ変化させた場合に均衡国民所得が\(\Delta Y\)だけ変化し、均衡利子率が\(\Delta r\)だけ変化するならば、すなわち、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{l}
Y^{\ast }+\Delta Y=C\left( Y^{\ast }+\Delta Y\right) +I\left( r^{\ast
}+\Delta r\right) +G+\Delta G \\
\frac{M}{P}=L\left( Y^{\ast }+\Delta Y,r^{\ast }+\Delta r\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ場合には、政府支出乗数は、\begin{equation*}
\frac{\Delta Y}{\Delta G}
\end{equation*}となります。これは財市場と貨幣市場の同時均衡を考慮した場合の政府支出乗数です。そこで、これを有効政府支出乗数（effective government expenditure multiplier）と呼ぶこととします。

消費関数としてケインズ型消費関数\begin{equation*}
C\left( Y\right) =c_{0}+c_{1}\left( Y-T\right)
\end{equation*}を採用します。ただし、\(T\geq 0\)は所得税を表す外生変数であり、\(c_{0},c_{1}\in \mathbb{R} \)は\(c_{0}>0\)かつ\(0<c_{1}<1\)を満たす定数です。また、投資関数として、\begin{equation*}I\left( r\right) =i_{0}-i_{1}r
\end{equation*}を採用します。ただし、\(i_{0},i_{1}\in \mathbb{R} \)は\(i_{0}>0\)かつ\(i_{1}>0\)を満たす定数です。さらに、貨幣需要関数として、\begin{equation*}L\left( Y,r\right) =kY-hr+L_{0}
\end{equation*}を採用します。ただし、\(k,h,L_{0}\in \mathbb{R} \)は\(k>0\)かつ\(h>0\)かつ\(L_{0}>0\)を満たす定数です。この場合、財市場と貨幣市場の同時均衡条件\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{l}
Y^{\ast }=C\left( Y^{\ast }\right) +I\left( r^{\ast }\right) +G \\
\frac{M}{P}=L\left( Y^{\ast },r^{\ast }\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}は以下の条件\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
Y^{\ast }=c_{0}+c_{1}\left( Y^{\ast }-T\right) +i_{0}-i_{1}r^{\ast }+G \\
\frac{M}{P}=kY^{\ast }-hr^{\ast }+L_{0}\end{array}\right.
\end{equation*}と必要十分であるため、これを解くことにより、同時均衡\(\left(Y^{\ast },r^{\ast }\right) \)を、\begin{eqnarray*}Y^{\ast } &=&\frac{h\left( c_{0}-c_{1}T+i_{0}+G\right) -i_{1}\left( L_{0}-\frac{M}{P}\right) }{ki_{1}+h\left( 1-c_{1}\right) } \\
r^{\ast } &=&\frac{k\left( c_{0}-c_{1}T+i_{0}+G\right) +\left( L_{0}-\frac{M}{P}\right) \left( 1-c_{1}\right) }{ki_{1}+h\left( 1-c_{1}\right) }
\end{eqnarray*}と特定できます。この場合、有効政府支出乗数は、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial Y^{\ast }}{\partial G} &=&\frac{\partial }{\partial G}\left[
\frac{h\left( c_{0}-c_{1}T+i_{0}+G\right) -i_{1}\left( L_{0}-\frac{M}{P}\right) }{ki_{1}+h\left( 1-c_{1}\right) }\right] \\
&=&\frac{h}{ki_{1}+h\left( 1-c_{1}\right) } \\
&=&\frac{1}{\frac{ki_{1}}{h}+1-c_{1}} \\
&=&\frac{1}{1-c_{1}+\frac{ki_{1}}{h}}
\end{eqnarray*}となります。

\(c_{1},k,i_{1},h\)は定数であるため有効政府支出乗数\(\frac{1}{1-c_{1}+\frac{ki_{1}}{h}}\)もまた定数です。さらに、\begin{equation*}c_{1}>\frac{ki_{1}}{h}
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{eqnarray*}
1-\left( 1-c_{1}+\frac{ki_{1}}{h}\right) &=&c_{1}-\frac{ki_{1}}{h} \\
&>&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
1>1-c_{1}+\frac{ki_{1}}{h}
\end{equation*}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{1-c_{1}+\frac{ki_{1}}{h}} &>&\frac{1}{1} \\
&=&1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
1<\frac{1}{1-c_{1}+\frac{ki_{1}}{h}}
\end{equation*}を得ます。以上の事実は、\(c_{1}\)が\(\frac{ki_{1}}{h}\)よりも大きい場合には、政府支出\(G\)がどのような水準であったとしても、そこを出発点とした上で、その他の条件を一定とした上で\(G\)だけを1単位増やした場合、それよりも多い均衡国民所得の増加\(\frac{1}{1-c_{1}+\frac{ki_{1}}{h}}\)が実現することを意味します。

単純政府支出乗数と有効政府支出乗数の比較

消費関数と投資関数および貨幣需要関数として、\begin{eqnarray*}
C\left( Y\right) &=&c_{0}+c_{1}\left( Y-T\right) \\
I\left( r\right) &=&i_{0}-i_{1}r \\
L\left( Y,r\right) &=&kY-hr+L_{0}
\end{eqnarray*}を採用する場合、財市場の均衡だけを考慮した単純政府支出乗数は、\begin{equation*}
\frac{\partial Y^{IS}}{\partial G}=\frac{1}{1-c_{1}}
\end{equation*}である一方で、財市場と貨幣市場の同時均衡を考慮した有効政府支出乗数は、\begin{equation*}
\frac{\partial Y^{\ast }}{\partial G}=\frac{1}{1-c_{1}+\frac{ki_{1}}{h}}
\end{equation*}であることが明らかになりました。両者を比較すると、\(\frac{ki_{1}}{h}>0\)ゆえに、\begin{equation*}\frac{1}{1-c_{1}+\frac{ki_{1}}{h}}<\frac{1}{1-c_{1}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{\partial Y^{\ast }}{\partial G}<\frac{\partial Y^{IS}}{\partial G}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、単純政府支出乗数は有効政府支出乗数を上回ります。なぜでしょうか。

同時均衡\(\left( Y^{\ast },r^{\ast }\right) \)を出発点とした上で政府支出\(G\)を\(\Delta G>0\)だけ増やす場合、有効需要が\(\Delta G\)だけ増加するため財市場は超過需要になります。つまり、\begin{equation*}Y^{\ast }<C\left( Y^{\ast }\right) +I\left( r^{\ast }\right) +G+\Delta G
\end{equation*}が成り立つということです。財市場における超過需要に対応するため企業は増産し、国民所得\(Y\)が増加します。財市場の均衡だけを考慮する場合、話はここで終了であり、単純政府支出乗数によって\(Y\)の増分が決定されます。一方、貨幣市場を考慮する場合、\(Y\)の増加によって貨幣需要\(L\left(Y,r\right) \)は増加するため貨幣市場は超過需要になります。つまり、\begin{equation*}\frac{M}{P}<L\left( Y^{\ast }+\Delta Y,r^{\ast }\right)
\end{equation*}が成り立ちます。貨幣市場では超過需要が発生しているため人々は債券を売却し、その結果、債券価格が下落し、それが利子率\(r\)を上昇させます。\(r\)の上昇は投資\(I\left(r\right) \)を減少させるため（クラウディングアウト）、先の有効需要の増分\(\Delta G\)の一部が相殺されてしまいます。そのため、有効政府支出乗数の値は単純政府支出乗数よりも小さくなります。

消費関数\(C\left( Y\right) \)と投資関数\(I\left( r\right) \)と貨幣需要関数\(L\left( Y,r\right) \)の形状を特定しない一般的な状況においても同様の主張が成り立ちます。ただし、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ 0<\frac{dC\left( Y\right) }{dY}<1 \\
&&\left( b\right) \ \frac{dI\left( r\right) }{dr}<0 \\
&&\left( c\right) \ \frac{\partial L\left( Y,r\right) }{\partial Y}>0 \\
&&\left( d\right) \ \frac{\partial L\left( Y,r\right) }{\partial r}<0
\end{eqnarray*}が成り立つものとします。\(\left( a\right) \)は限界消費性向が\(0\)より大きく\(1\)より小さいことを意味し、\(\left( b\right) \)は投資関数が利子率に関する減少関数であることを意味し、\(\left( c\right) ,\left( d\right) \)は貨幣需要関数が国民所得に関する増加関数であり利子率に関する減少関数であることを意味します。

財市場の均衡だけを考える場合、利子率\(r\)は定数とみなされます。財市場の均衡条件\begin{equation*}Y=C\left( Y\right) +I\left( r\right) +G
\end{equation*}を\(G\)について微分すると、\begin{eqnarray*}\frac{dY}{dG} &=&\frac{d}{dG}\left[ C\left( Y\right) +I\left( r\right) +G\right] \\
&=&\frac{dC\left( Y\right) }{dG}+\frac{dI\left( r\right) }{dG}+\frac{dG}{dG}
\\
&=&\frac{dC\left( Y\right) }{dY}\cdot \frac{dY}{dG}+0+1\quad \because
I\left( r\right) \text{は定数} \\
&=&\frac{dC\left( Y\right) }{dY}\cdot \frac{dY}{dG}+1
\end{eqnarray*}を得るため、これを\(\frac{dY}{dG}\)について解きます。具体的には、\begin{equation*}\frac{dY}{dG}\left( 1-\frac{dC\left( Y\right) }{dY}\right) =1
\end{equation*}となるため、これと\(0<\frac{dC\left( Y\right) }{dY}<1\)より、\begin{equation*}\frac{dY}{dG}=\frac{1}{1-\frac{dC\left( Y\right) }{dY}}
\end{equation*}を得ます。以上より、単純政府支出乗数は、\begin{equation*}
\frac{\partial Y^{IS}}{\partial G}=\frac{1}{1-\frac{dC\left( Y\right) }{dY}}
\end{equation*}であることが明らかになりました。

続いて、財市場と貨幣市場の同時均衡を考慮します。財市場の均衡条件\begin{equation*}
Y=C\left( Y\right) +I\left( r\right) +G
\end{equation*}を変数\(\left( Y,r,G\right) \)について全微分すると、十分小さい\(dY,dr,dG\)のもとでは、\begin{eqnarray*}dY &=&d\left[ C\left( Y\right) +I\left( r\right) +G\right] \\
&=&\frac{\partial \left[ C\left( Y\right) +I\left( r\right) +G\right] }{\partial Y}dY+\frac{\partial \left[ C\left( Y\right) +I\left( r\right) +G\right] }{\partial r}dr+\frac{\partial \left[ C\left( Y\right) +I\left(
r\right) +G\right] }{\partial G}dG \\
&=&\frac{dC\left( Y\right) }{dY}dY+\frac{dI\left( r\right) }{dr}dr+dG
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left( 1-\frac{dC\left( Y\right) }{dY}\right) dY-\frac{dI\left( r\right) }{dr}dr=dG \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。貨幣市場の均衡条件\begin{equation*}
\frac{M}{P}=L\left( Y,r\right)
\end{equation*}を変数\(\left( Y,r,G\right) \)について全微分すると、十分小さい\(dY,dr,dG\)のもとでは、\begin{eqnarray*}d\frac{M}{P} &=&dL\left( Y,r\right) \\
&=&\frac{\partial L\left( Y,r\right) }{\partial Y}dY+\frac{\partial L\left(
Y,r\right) }{\partial r}dr+\frac{\partial L\left( Y,r\right) }{\partial G}dG
\\
&=&\frac{\partial L\left( Y,r\right) }{\partial Y}dY+\frac{\partial L\left(
Y,r\right) }{\partial r}dr
\end{eqnarray*}となりますが、\(\frac{M}{P}\)は定数であることから\(d\frac{M}{P}=0\)であり、ゆえに、\begin{equation*}\frac{\partial L\left( Y,r\right) }{\partial Y}dY+\frac{\partial L\left(
Y,r\right) }{\partial r}dr=0
\end{equation*}を得ます。これと\(\frac{\partial L\left( Y,r\right) }{\partial r}<0\)より、\begin{equation}dr=-\frac{\frac{\partial L\left( Y,r\right) }{\partial Y}}{\frac{\partial
L\left( Y,r\right) }{\partial r}}dY \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(\left( 2\right) \)を\(\left(1\right) \)に代入すると、\begin{equation*}\left( 1-\frac{dC\left( Y\right) }{dY}\right) dY-\frac{dI\left( r\right) }{dr}\left( -\frac{\frac{\partial L\left( Y,r\right) }{\partial Y}}{\frac{\partial L\left( Y,r\right) }{\partial r}}dY\right) =dG
\end{equation*}を得ます。これを\(dY\)についてまとめると、\begin{equation*}\left[ \left( 1-\frac{dC\left( Y\right) }{dY}\right) -\frac{dI\left(
r\right) }{dr}\left( -\frac{\frac{\partial L\left( Y,r\right) }{\partial Y}}{\frac{\partial L\left( Y,r\right) }{\partial r}}\right) \right] dY=dG
\end{equation*}となるため、\begin{equation*}
\frac{dY}{dG}=\frac{1}{\left( 1-\frac{dC\left( Y\right) }{dY}\right) -\frac{dI\left( r\right) }{dr}\left( -\frac{\frac{\partial L\left( Y,r\right) }{\partial Y}}{\frac{\partial L\left( Y,r\right) }{\partial r}}\right) }
\end{equation*}を得ます。以上より、有効政府支出乗数は、\begin{equation*}
\frac{\partial Y^{\ast }}{\partial G}=\frac{1}{\left( 1-\frac{dC\left(
Y\right) }{dY}\right) -\frac{dI\left( r\right) }{dr}\left( -\frac{\frac{\partial L\left( Y,r\right) }{\partial Y}}{\frac{\partial L\left( Y,r\right)
}{\partial r}}\right) }
\end{equation*}であることが明らかになりました。

単純政府支出乗数が、\begin{equation*}
\frac{\partial Y^{IS}}{\partial G}=\frac{1}{1-\frac{dC\left( Y\right) }{dY}}
\end{equation*}である一方で、有効政府支出乗数は、\begin{equation*}
\frac{\partial Y^{\ast }}{\partial G}=\frac{1}{\left( 1-\frac{dC\left(
Y\right) }{dY}\right) -\frac{dI\left( r\right) }{dr}\left( -\frac{\frac{\partial L\left( Y,r\right) }{\partial Y}}{\frac{\partial L\left( Y,r\right)
}{\partial r}}\right) }
\end{equation*}であることが明らかになりました。両者の分母を比較します。\(\frac{dI\left( r\right) }{dr}<0\)かつ\(\frac{\partial L\left( Y,r\right) }{\partial Y}>0\)かつ\(\frac{\partial L\left(Y,r\right) }{\partial r}<0\)ゆえに、\begin{equation*}-\frac{dI\left( r\right) }{dr}\left( -\frac{\frac{\partial L\left(
Y,r\right) }{\partial Y}}{\frac{\partial L\left( Y,r\right) }{\partial r}}\right) >0
\end{equation*}であり、したがって、\begin{equation*}
\frac{1}{\left( 1-\frac{dC\left( Y\right) }{dY}\right) -\frac{dI\left(
r\right) }{dr}\left( -\frac{\frac{\partial L\left( Y,r\right) }{\partial Y}}{\frac{\partial L\left( Y,r\right) }{\partial r}}\right) }<\frac{1}{1-\frac{dC\left( Y\right) }{dY}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{\partial Y^{\ast }}{\partial G}<\frac{\partial Y^{IS}}{\partial G}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

クラウディングアウトの効果を左右する要因

消費関数と投資関数および貨幣需要関数として、\begin{eqnarray*}
C\left( Y\right) &=&c_{0}+c_{1}\left( Y-T\right) \\
I\left( r\right) &=&i_{0}-i_{1}r \\
L\left( Y,r\right) &=&kY-hr+L_{0}
\end{eqnarray*}を採用する場合、財市場の均衡だけを考慮した単純政府支出乗数は、\begin{equation*}
\frac{\partial Y^{IS}}{\partial G}=\frac{1}{1-c_{1}}
\end{equation*}である一方で、財市場と貨幣市場の同時均衡を考慮した有効政府支出乗数は、\begin{equation*}
\frac{\partial Y^{\ast }}{\partial G}=\frac{1}{1-c_{1}+\frac{ki_{1}}{h}}
\end{equation*}です。したがって、政府支出乗数の分母に含まれる以下の値\begin{equation*}
\frac{ki_{1}}{h}>0
\end{equation*}が小さいほど、すなわち、\(k,i_{1}\)がより小さく\(h\)がより大きいほど\(\frac{\partial Y^{\ast }}{\partial G}\)は\(\frac{\partial Y^{IS}}{\partial G}\)に近づくため、クラウディングアウトによる総需要の押し下げ効果は小さくなります。それぞれの理由は以下の通りです。

定数\(i_{1}>0\)に関しては、\begin{eqnarray*}\frac{\partial I\left( r\right) }{\partial r} &=&\frac{\partial }{\partial r}\left( i_{0}-i_{1}r\right) \\
&=&-i_{1} \\
&<&0
\end{eqnarray*}であるため、\(i_{1}\)は投資の利子率に対する感度を表す指標です。政府支出\(G\)の拡大により国民所得\(Y\)が増加すると利子率\(r\)が上昇しますが、\(i_{1}\)が小さい場合には投資の減少幅が小さく済むため、総需要の押し下げ効果（クラウディングアウト）が弱まります。その結果、有効政府支出乗数は大きくなります。

定数\(k>0\)に関しては、\begin{eqnarray*}\frac{\partial L\left( Y,r\right) }{\partial Y} &=&\frac{\partial }{\partial
Y}\left( kY-hr+L_{0}\right) \\
&=&k \\
&>&0
\end{eqnarray*}であるため、\(k\)は所得の増加に対して貨幣の取引・予備的需要がどれだけ増加するかを表す指標です。政府支出\(G\)の拡大により国民所得\(Y\)が増加すると貨幣の取引・予備的需要が増加するため貨幣市場は超過需要になりますが、\(k\)が小さい場合には貨幣需要の増加幅が小さくなるため、貨幣市場における超過需要の幅が小さくて済みます。その結果、貨幣市場ではそれほど債券が売却されないため債券価格の下落幅が限定的であり、利子率の上昇幅も限定的なものに留まります。ゆえに、投資の減少幅が小さく済むため、総需要の押し下げ効果（クラウディングアウト）が弱まります。その結果、有効政府支出乗数は大きくなります。

定数\(h>0\)に関しては、\begin{eqnarray*}\frac{\partial L\left( Y,r\right) }{\partial r} &=&\frac{\partial }{\partial
r}\left( kY-hr+L_{0}\right) \\
&=&-h \\
&<&0
\end{eqnarray*}であるため、\(h\)は利子率の増加に対して貨幣の投機的需要がどれだけ減少するかを表す指標です。政府支出\(G\)の拡大により国民所得\(Y\)が増加すると貨幣の取引・予備的需要が増加します。貨幣市場が超過需要になると利子率\(r\)が上昇しますが、\(h\)が大きい場合には利子率が少し上がっただけで人々はすぐに貨幣を手放して債券を購入するため、貨幣市場における超過需要はすぐに解消され、利子率\(r\)の上昇幅が小さくて済みます。ゆえに、投資の減少幅が小さく済むため、総需要の押し下げ効果（クラウディングアウト）が弱まります。その結果、有効政府支出乗数は大きくなります。