拡大実数値をとる1変数の準凸関数・準凹関数

実数値をとる1変数の準凸関数の拡大実数値拡張

区間上に定義された関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が準凸関数であることは、\begin{equation*}
\forall x_{1},x_{2}\in I,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :f\left(
\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \leq \max \left\{
f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\}
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、以上の定義において\(f\)は区間\(I\)上においてのみ定義されており、なおかつ\(f\)は有限な実数だけを値としてとり得る状況を想定しています。場合によっては、\(f\)の定義域を以下のルールのもとで\(\mathbb{R} \)全体に拡張することにより分析が容易になります。

区間上に定義された準凸関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して以下の拡大実数\begin{equation*}\widetilde{f}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x\right) & \left( if\ x\in I\right) \\
+\infty & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash I\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を値として定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\widetilde{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}が定義可能です。つまり、もとの準凸関数\(f\)の定義域である区間\(I\)上の点に対して\(\widetilde{f}\)は\(f\)が定める値をそのまま定め、\(I\)に属さない\(\mathbb{R} \)上の点に対して\(\widetilde{f}\)は正の無限大\(+\infty \)を定めることにより、定義域を\(I\)から\(\mathbb{R} \)へ拡張するということです。このような拡大実数値関数\(\widetilde{f}\)をもとの準凸関数\(f\)の拡大実数値拡張（extended-value extension of \(f\)）と呼びます。

誤解の恐れがない場合には、準凸関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張もまた、\begin{equation*}f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}で表記します。以降ではこの慣例にしたがいます。

準凸関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が与えられたとき、これもまた以下の性質\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :f\left( \lambda x_{1}+\left(
1-\lambda \right) x_{2}\right) \leq \max \left\{ f\left( x_{1}\right)
,f\left( x_{2}\right) \right\}
\end{equation*}を満たします。ただし、ここでの演算および大小関係は拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)における演算と大小関係であることに注意してください。

拡大実数値をとる1変数の準凸関数から得られる実数値の準凸関数

区間上に定義され、実数だけを値としてとる準凸関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、その拡大実数値拡張\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)は以下の性質\begin{equation}\forall x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :f\left( \lambda x_{1}+\left(
1-\lambda \right) x_{2}\right) \leq \max \left\{ f\left( x_{1}\right)
,f\left( x_{2}\right) \right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすことが明らかになりました。以上を踏まえた上で、逆に、拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が\(\left( 1\right) \)を満たす場合には、\(f\)を準凸関数（quasi-convex function）と呼びます。

では、拡大実数値をとる準凸関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が与えられた場合、その定義域を何らかの区間\(I\subset \mathbb{R} \)に制限することにより、実数だけを値としてとる準凸関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を生成できるのでしょうか。

拡大実数値をとる準凸関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)に対して、\(f\)が実数を値としてとり得る変数の値からなる集合を、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) <+\infty \right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)の有効領域（effective domain）と呼びます。

拡大実数値をとる準凸関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が有限な実数を値としてとる場合、すなわち、\begin{equation*}\exists x\in \mathbb{R} :f\left( x\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)を真準凸関数（proper quasi-convex function）と呼びます。真準凸関数を特徴づける先の条件は、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) \not=\phi
\end{equation*}と必要十分です。つまり、有効領域が非空であるような準凸関数を真準凸関数と呼ぶということです。逆に、準凸関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が真準凸関数でない場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\mathrm{dom}\left( f\right) =\phi
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)を広義準凸関数（improper quasi-convex function）と呼びます。

拡大実数値をとる準凸関数の有効領域は必ず区間です。

拡大実数値をとる準凸関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)の有効領域\(\mathrm{dom}\left( f\right) \)は区間であるため、\(f\)の定義域を\(\mathbb{R} \)から\(\mathrm{dom}\left( f\right) \)に縮小することにより、区間上に定義された実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \mathrm{dom}\left( f\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が得られます。この関数\(f\)は準凸関数になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in \mathrm{dom}\left( f\right) ,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right)
x_{2}\right) \leq \max \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right)
\right\}
\end{equation*}が成り立ちます。

先の命題の逆もまた成立します。つまり、拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)に対して、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in \mathrm{dom}\left( f\right) ,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right)
x_{2}\right) \leq \max \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right)
\right\}
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は準凸関数であることが保証されます。

以上の2つの命題を踏まえると以下を得ます。

実数値をとる1変数の凹関数の拡大実数値拡張

区間上に定義された関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が凹関数であることは、\begin{equation*}
\forall x_{1},x_{2}\in I,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\min
\left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} \leq f\left(
\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、以上の定義において\(f\)は区間\(I\)上においてのみ定義されており、なおかつ\(f\)は有限な実数だけを値としてとり得る状況を想定しています。場合によっては、\(f\)の定義域を以下のルールのもとで\(\mathbb{R} \)全体に拡張することにより分析が容易になります。

区間上に定義された準凹関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して以下の拡大実数\begin{equation*}\widetilde{f}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x\right) & \left( if\ x\in I\right) \\
-\infty & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash I\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を値として定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\widetilde{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\}
\end{equation*}が定義可能です。つまり、もとの準凹関数\(f\)の定義域である区間\(I\)上の点に対して\(\widetilde{f}\)は\(f\)が定める値をそのまま定め、\(I\)に属さない\(\mathbb{R} \)上の点に対して\(\widetilde{f}\)は負の無限大\(-\infty \)を定めることにより、定義域を\(I\)から\(\mathbb{R} \)へ拡張するということです。このような拡大実数値関数\(\widetilde{f}\)をもとの準凹関数\(f\)の拡大実数値拡張（extended-value extension of \(f\)）と呼びます。

誤解の恐れがない場合には、準凹関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張もまた、\begin{equation*}f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\}
\end{equation*}で表記します。以降ではこの慣例にしたがいます。

準凹関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)が与えられたとき、これもまた以下の性質\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\min \left\{ f\left( x_{1}\right)
,f\left( x_{2}\right) \right\} \leq f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda
\right) x_{2}\right)
\end{equation*}を満たします。ただし、ここでの演算および大小関係は拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)における演算と大小関係であることに注意してください。

拡大実数値をとる1変数の準凹関数から得られる実数値の準凹関数

区間上に定義され、実数だけを値としてとる準凹関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、その拡大実数値拡張\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)は以下の性質\begin{equation}\forall x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\min \left\{ f\left( x_{1}\right)
,f\left( x_{2}\right) \right\} \leq f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda
\right) x_{2}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすことが明らかになりました。以上を踏まえた上で、逆に、拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)が\(\left( 1\right) \)を満たす場合には、\(f\)を準凹関数（quasi-concave function）と呼びます。

では、拡大実数値をとる準凹関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)が与えられた場合、その定義域を何らかの区間\(I\subset \mathbb{R} \)に制限することにより、実数だけを値としてとる準凹関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を生成できるのでしょうか。

拡大実数値をとる準凹関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)に対して、\(f\)が実数を値としてとり得る変数の値からなる集合を、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)の有効領域（effective domain）と呼びます。

拡大実数値をとる準凹関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)が有限な実数を値としてとる場合、すなわち、\begin{equation*}\exists x\in \mathbb{R} :f\left( x\right) >-\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)を真準凹関数（proper quasi-concave function）と呼びます。真準凹関数を特徴づける先の条件は、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) \not=\phi
\end{equation*}と必要十分です。つまり、有効領域が非空であるような準凹関数を真準凹関数と呼ぶということです。逆に、準凹関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)が真準凹関数でない場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\mathrm{dom}\left( f\right) =\phi
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)を広義準凹関数（improper quasi-concave function）と呼びます。

拡大実数値をとる準凹関数の有効領域は必ず区間です。

拡大実数値をとる準凹関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)の有効領域\(\mathrm{dom}\left( f\right) \)は区間であるため、\(f\)の定義域を\(\mathbb{R} \)から\(\mathrm{dom}\left( f\right) \)に縮小することにより、区間上に定義された実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \mathrm{dom}\left( f\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が得られます。この関数\(f\)は準凹関数になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in \mathrm{dom}\left( f\right) ,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\min \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right)
\right\} \leq f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

先の命題の逆もまた成立します。つまり、拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)に対して、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in \mathrm{dom}\left( f\right) ,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\min \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right)
\right\} \leq f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は準凹関数であることが保証されます。

以上の2つの命題を踏まえると以下を得ます。

拡大実数値をとる準凸関数と準凹関数の関係

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\left( -f\right) \left( x\right) =-f\left( x\right)
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\begin{equation*}
-f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\}
\end{equation*}が定義可能です。\(f\)が準凸関数であることと\(-f\)が準凹関数であることは必要十分であり、\(f\)が準凹関数であることと\(-f\)が準凸関数であることは必要十分です。

演習問題