半空間（閉半空間）
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における超平面とは、法線ベクトル\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)から、\begin{equation*}H\left( \boldsymbol{a},c\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}=c\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合です。
超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)が与えられれば、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)を2つの領域に分割できます。1つ目は、\begin{equation*}H^{+}\left( \boldsymbol{a},c\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}\geq c\right\}
\end{equation*}であり、これを超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)の上半空間（halfspace above \(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)）と呼びます。2つ目は、\begin{equation*}H^{-}\left( \boldsymbol{a},c\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}\leq c\right\}
\end{equation*}であり、これを超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)の下半空間（halfspace below \(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)）と呼びます。上半空間と下半空間を総称して半空間（halfspace）や閉半空間（closedhalfspace）などと呼びます。
空間と超平面および半空間の間には以下の関係が成り立ちます。
&&\left( b\right) \ H\left( \boldsymbol{a},c\right) \subset H^{+}\left(
\boldsymbol{a},c\right) \\
&&\left( c\right) \ H\left( \boldsymbol{a},c\right) \subset H^{-}\left(
\boldsymbol{a},c\right) \\
&&\left( d\right) \ H\left( \boldsymbol{a},c\right) =H^{+}\left( \boldsymbol{a},c\right) \cap H^{-}\left( \boldsymbol{a},c\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。
つまり、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)は超平面を境に上半空間と下半空間に分割されますが、上半空間と下半空間は互いに素ではなく、両者の交わりは超平面と一致するということです。
H^{+}\left( a,c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ ax\geq c\right\} =\left[ \frac{c}{a},+\infty \right) \\
H^{-}\left( a,c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ ax\leq c\right\} =\left( -\infty ,\frac{c}{a}\right] \end{eqnarray*}と定義されます。\(\mathbb{R} \)における超平面は点です。数直線\(\mathbb{R} \)は超平面\(H\left( a,c\right) \)に相当する点によって、上半空間\(H^{+}\left( a,c\right) \)に相当する区間と、下半空間\(H^{-}\left( a,c\right) \)に相当する区間に分割されます。
H^{+}\left( \boldsymbol{a},c\right) &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right)
\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}\geq c\right\} \\
H^{-}\left( \boldsymbol{a},c\right) &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right)
\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}\leq c\right\}
\end{eqnarray*}と定義されます。\(\mathbb{R} ^{2}\)における超平面は直線です。平面\(\mathbb{R} ^{2}\)は超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)に相当する直線によって、上半空間\(H^{+}\left( \boldsymbol{a},c\right) \)に相当する領域と、下半空間\(H^{-}\left( \boldsymbol{a},c\right) \)に相当する領域に分割されます。
\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}=c\right\} \\
H^{+}\left( \boldsymbol{a},c\right) &=&\left\{ \left(
x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}\geq c\right\} \\
H^{-}\left( \boldsymbol{a},c\right) &=&\left\{ \left(
x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}\leq c\right\}
\end{eqnarray*}と定義されます。\(\mathbb{R} ^{3}\)における超平面は平面です。空間\(\mathbb{R} ^{3}\)は超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)に相当する平面によって、上半空間\(H^{+}\left( \boldsymbol{a},c\right) \)に相当する領域と、下半空間\(H^{-}\left( \boldsymbol{a},c\right) \)に相当する領域に分割されます。
開半空間
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)は超平面を境に上半空間と下半空間に分割されることが明らかになりました。ただし、上半空間と下半空間は互いに素ではなく、両者の交わりは超平面と一致します。したがって、上半空間から超平面を除き、下半空間から超平面を除けば、互いに素な\(\mathbb{R} ^{n}\)の2つの部分集合が得られます。さらに、それらに超平面を加えれば、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)を互いに素な3つの部分集合に分割できます。具体的には以下の通りです。
法線ベクトル\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、超平面と半空間はそれぞれ、\begin{eqnarray*}H\left( \boldsymbol{a},c\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}=c\right\} \\
H^{+}\left( \boldsymbol{a},c\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}\geq c\right\} \\
H^{-}\left( \boldsymbol{a},c\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}\leq c\right\}
\end{eqnarray*}と定義されます。以上を踏まえると、上半空間\(H^{+}\left( \boldsymbol{a},c\right) \)から超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)の点を除くことにより得られる集合は、\begin{equation*}H^{++}\left( \boldsymbol{a},c\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}>c\right\}
\end{equation*}ですが、これを超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)の上開半空間（open halfspace above \(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)）と呼びます。一方、下半空間\(H^{-}\left( \boldsymbol{a},c\right) \)から超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)の点を除くことにより得られる集合は、\begin{equation*}H^{− −}\left( \boldsymbol{a},c\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}<c\right\}
\end{equation*}ですが、これを超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)の下開半空間（open halfspace below \(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)）と呼びます。上開半空間と下開半空間を総称して開半空間（open halfspace）と呼びます。
空間と超平面および半開空間の間には以下の関係が成り立ちます。
&&\left( b\right) \ H\left( \boldsymbol{a},c\right) \cap H^{++}\left(
\boldsymbol{a},c\right) =\phi \\
&&\left( c\right) \ H\left( \boldsymbol{a},c\right) \cap H^{− −}\left(
\boldsymbol{a},c\right) =\phi \\
&&\left( d\right) \ H^{++}\left( \boldsymbol{a},c\right) \cap H^{− −}\left(
\boldsymbol{a},c\right) =\phi
\end{eqnarray*}が成り立つ。
つまり、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)は超平面と上開半区間と下開半区間に分割されるとともに、これら3つの集合は互いに素であるということです。
H^{++}\left( a,c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ ax>c\right\} =\left( \frac{c}{a},+\infty \right) \\
H^{− −}\left( a,c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ ax<c\right\} =\left( -\infty ,\frac{c}{a}\right)
\end{eqnarray*}と定義されます。\(\mathbb{R} \)における超平面は点です。数直線\(\mathbb{R} \)は超平面\(H\left( a,c\right) \)に相当する点と上開半空間\(H^{++}\left( a,c\right) \)に相当する区間および下開半空間\(H^{− −}\left( a,c\right) \)に相当する区間に分割されます。これら3つの集合は互いに素です。
H^{++}\left( \boldsymbol{a},c\right) &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right)
\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}>c\right\} \\
H^{− −}\left( \boldsymbol{a},c\right) &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right)
\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}<c\right\}
\end{eqnarray*}と定義されます。\(\mathbb{R} ^{2}\)における超平面は直線です。平面\(\mathbb{R} ^{2}\)は超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)に相当する直線と上開半空間\(H^{+-}\left( \boldsymbol{a},c\right) \)に相当する領域および下開半空間\(H^{− −}\left( \boldsymbol{a},c\right) \)に相当する領域に分割されます。これら3つの集合は互いに素です。
\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}=c\right\} \\
H^{++}\left( \boldsymbol{a},c\right) &=&\left\{ \left(
x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}>c\right\} \\
H^{− −}\left( \boldsymbol{a},c\right) &=&\left\{ \left(
x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}<c\right\}
\end{eqnarray*}と定義されます。\(\mathbb{R} ^{3}\)における超平面は平面です。空間\(\mathbb{R} ^{3}\)は超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)に相当する平面と上開半空間\(H^{++}\left( \boldsymbol{a},c\right) \)に相当する領域および下開半空間\(H^{− −}\left( \boldsymbol{a},c\right) \)に相当する領域に分割されます。これら3つの集合は互いに素です。
超平面と半区間の位置関係
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)が与えられたとき、半空間や半閉空間の定義より、任意の点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下の関係\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \boldsymbol{x}\in H\left( \boldsymbol{a},c\right)
\Leftrightarrow \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}=c \\
&&\left( b\right) \ \boldsymbol{x}\in H^{+}\left( \boldsymbol{a},c\right)
\Leftrightarrow \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}\geq c \\
&&\left( c\right) \ \boldsymbol{x}\in H^{-}\left( \boldsymbol{a},c\right)
\Leftrightarrow \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}\leq c \\
&&\left( d\right) \ \boldsymbol{x}\in H^{++}\left( \boldsymbol{a},c\right)
\Leftrightarrow \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}>c \\
&&\left( e\right) \ \boldsymbol{x}\in H^{− −}\left( \boldsymbol{a},c\right)
\Leftrightarrow \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}<c
\end{eqnarray*}が成り立つため、与えられた点\(\boldsymbol{x}\)が属する空間を判定するためには内積\(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}\)とスカラー\(c\)を比較することが基本的な方針になります。ただ、以下の命題を用いて判定することもできます。
\Leftrightarrow \boldsymbol{a}\cdot \left( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{0}\right) =0 \\
&&\left( b\right) \ \boldsymbol{x}\in H^{+}\left( \boldsymbol{a},c\right)
\Leftrightarrow \boldsymbol{a}\cdot \left( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{0}\right) \geq 0 \\
&&\left( c\right) \ \boldsymbol{x}\in H^{-}\left( \boldsymbol{a},c\right)
\Leftrightarrow \boldsymbol{a}\cdot \left( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{0}\right) \leq 0 \\
&&\left( d\right) \ \boldsymbol{x}\in H^{++}\left( \boldsymbol{a},c\right)
\Leftrightarrow \boldsymbol{a}\cdot \left( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{0}\right) >0 \\
&&\left( e\right) \ \boldsymbol{x}\in H^{− −}\left( \boldsymbol{a},c\right)
\Leftrightarrow \boldsymbol{a}\cdot \left( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{0}\right) <0
\end{eqnarray*}が成り立つ。
以上の命題より、超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)の法線ベクトル\(\boldsymbol{a}\)と超平面上の点\(\boldsymbol{x}_{0}\)が与えられたとき、任意の点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)について以下の関係\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \boldsymbol{x}\in H\left( \boldsymbol{a},c\right)
\Leftrightarrow \boldsymbol{a}\text{と}\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{0}\text{のなす角が直角} \\
&&\left( b\right) \ \boldsymbol{x}\in H^{+}\left( \boldsymbol{a},c\right)
\Leftrightarrow \boldsymbol{a}\text{と}\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{0}\text{のなす角が直角または鋭角} \\
&&\left( c\right) \ \boldsymbol{x}\in H^{-}\left( \boldsymbol{a},c\right)
\Leftrightarrow \boldsymbol{a}\text{と}\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{0}\text{のなす角が直角または鈍角} \\
&&\left( d\right) \ \boldsymbol{x}\in H^{++}\left( \boldsymbol{a},c\right)
\Leftrightarrow \boldsymbol{a}\text{と}\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{0}\text{のなす角が鋭角} \\
&&\left( e\right) \ \boldsymbol{x}\in H^{− −}\left( \boldsymbol{a},c\right)
\Leftrightarrow \boldsymbol{a}\text{と}\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{0}\text{のなす角が鈍角}
\end{eqnarray*}が成り立つことが明らかになりました。つまり、与えられた点\(\boldsymbol{x}\)が属する空間を判定するためには、超平面上の点\(\boldsymbol{x}_{0}\)を任意に選んだ上で、それを始点とするベクトル\(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{0}\)と超平面の法線ベクトル\(\boldsymbol{a}\)がなす角の大きさを見ればよいということです。
半空間の表現の非一意性
閉半空間および開半空間は法線ベクトル\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}H^{+}\left( \boldsymbol{a},c\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}\geq c\right\} \\
H^{-}\left( \boldsymbol{a},c\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}\leq c\right\} \\
H^{++}\left( \boldsymbol{a},c\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}>c\right\} \\
H^{− −}\left( \boldsymbol{a},c\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}<c\right\}
\end{eqnarray*}と表現されますが、この表現は一意ではありません。実際、任意の正のスカラー\(\lambda >0\)に対して、\begin{eqnarray*}H^{+}\left( \boldsymbol{a},c\right) &=&H^{+}\left( \lambda \boldsymbol{a},\lambda c\right) \\
H^{-}\left( \boldsymbol{a},c\right) &=&H^{-}\left( \lambda \boldsymbol{a},\lambda c\right) \\
H^{++}\left( \boldsymbol{a},c\right) &=&H^{++}\left( \lambda \boldsymbol{a},\lambda c\right) \\
H^{− −}\left( \boldsymbol{a},c\right) &=&H^{− −}\left( \lambda \boldsymbol{a},\lambda c\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\boldsymbol{a},\lambda c\right) \\
&&\left( b\right) \ H^{-}\left( \boldsymbol{a},c\right) =H^{-}\left( \lambda
\boldsymbol{a},\lambda c\right) \\
&&\left( c\right) \ H^{++}\left( \boldsymbol{a},c\right) =H^{++}\left(
\lambda \boldsymbol{a},\lambda c\right) \\
&&\left( d\right) \ H^{− −}\left( \boldsymbol{a},c\right) =H^{− −}\left(
\lambda \boldsymbol{a},\lambda c\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。
スカラー\(\lambda \)が負の場合には半空間を規定する不等式の符号の向きが逆になるため以下を得ます。
\boldsymbol{a},\lambda c\right) \\
&&\left( b\right) \ H^{-}\left( \boldsymbol{a},c\right) =H^{+}\left( \lambda
\boldsymbol{a},\lambda c\right) \\
&&\left( c\right) \ H^{++}\left( \boldsymbol{a},c\right) =H^{− −}\left(
\lambda \boldsymbol{a},\lambda c\right) \\
&&\left( d\right) \ H^{− −}\left( \boldsymbol{a},c\right) =H^{++}\left(
\lambda \boldsymbol{a},\lambda c\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。
半空間は非空集合
半空間は非空集合です。
&&H^{-}\left( \boldsymbol{a},c\right) \\
&&H^{++}\left( \boldsymbol{a},c\right) \\
&&H^{− −}\left( \boldsymbol{a},c\right)
\end{eqnarray*}は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の非空集合である。
半空間は凸集合
半空間と開半空間は凸集合です。
法線ベクトル\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、半空間\begin{eqnarray*}H^{+}\left( \boldsymbol{a},c\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}\geq c\right\} \\
H^{-}\left( \boldsymbol{a},c\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}\leq c\right\} \\
H^{++}\left( \boldsymbol{a},c\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}>c\right\} \\
H^{− −}\left( \boldsymbol{a},c\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}<c\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} ^{n}\)上の凸集合である。
半空間はアフィン集合ではない
超平面は凸集合かつアフィン集合です。他方で、半区間は凸集合ですがアフィン集合ではありません。
H^{-}\left( \boldsymbol{a},c\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}\leq c\right\} \\
H^{++}\left( \boldsymbol{a},c\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}>c\right\} \\
H^{− −}\left( \boldsymbol{a},c\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}<c\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} ^{n}\)上のアフィン集合ではない。
1次不等式の解集合としての半空間
半空間は幾何学的対象として導入されることが多いですが、後に最適化理論や凸解析へ進むことを見据えると、半空間を1次不等式の解集合として理解しておくことも重要です。
法線ベクトル\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)から定義される半空間\begin{equation*}H^{+}\left( \boldsymbol{a},c\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}\geq c\right\}
\end{equation*}を規定する条件\begin{equation*}
\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}\geq c
\end{equation*}は、\(n\)個の変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)に関する1次不等式\begin{equation*}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}\geq c
\end{equation*}であるため、半空間\(H^{+}\left( \boldsymbol{a},c\right) \)はこの1次不等式の解集合です。他の半空間についても同様です。
\end{equation*}を定義し、これを\(i\)番目の制約集合と呼びます。また、ベクトルとスカラーの組\(\left( \boldsymbol{b}_{j},c_{j}\right) \)から超平面\begin{equation*}H_{j}\left( \boldsymbol{b}_{j},d_{j}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{b}_{i}\cdot \boldsymbol{x}\leq d_{i}\right\}
\end{equation*}を定義し、これを\(j\)番目の制約集合と呼びます。すべての制約集合\(H_{1}^{-},\cdots ,H_{I}^{-},H_{1},\cdots ,H_{J}\)の共通部分を、\begin{equation*}H=\left( \bigcap_{i=1}^{I}H_{i}^{-}\right) \cap \left(
\bigcap_{j=1}^{J}H_{j}^{-}\right)
\end{equation*}で表記し、これを制約集合と呼びます。個々の制約集合\(H_{i}^{-}\left( \boldsymbol{a}_{i},c_{i}\right) ,H_{j}\left( \boldsymbol{b}_{j},d_{j}\right)
\)は半空間ないし超平面であるため凸集合であり、凸集合どうしの共通部分は凸集合であるため\(H\)は凸集合です。関数\(f\)の変数\(\boldsymbol{x}\)がとり得る値の範囲を\(H\)に制限した場合の\(f\)の最大点を特定する問題は、\begin{equation*}\max_{\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}}\ f\left( \boldsymbol{x}\right) \quad s.t.\quad \boldsymbol{x}\in H
\end{equation*}と定式化され、\(f\)の最小点を特定する問題は、\begin{equation*}\min_{\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}}\ f\left( \boldsymbol{x}\right) \quad s.t.\quad \boldsymbol{x}\in H
\end{equation*}と定式化されます。これらの問題を線型不等式と線型等式制約条件のもとでの最適化問題と呼びます。
演習問題
- 超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)を定義してください。
- 点\(\left( 1,1,1\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)は超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)に属するか判定してください。
- 点\(\left( 4,1,0\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)は閉半空間\(H^{+}\left( \boldsymbol{a},c\right) \)に属するか判定してください。
^{f}=H\left( \boldsymbol{a},c\right) \\
&&\left( b\right) \ \left( H^{-}\left( \boldsymbol{a},c\right) \right)
^{f}=H\left( \boldsymbol{a},c\right) \\
&&\left( c\right) \ \left( H^{++}\left( \boldsymbol{a},c\right) \right)
^{f}=H\left( \boldsymbol{a},c\right) \\
&&\left( d\right) \ \left( H^{− −}\left( \boldsymbol{a},c\right) \right)
^{f}=H\left( \boldsymbol{a},c\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことを示してください。ただし、\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)について\(X^{f}\)は\(X\)の境界を表します。
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