双対錐と極錐
ユークリッド空間の非空な部分集合\(C\subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(C\)に属するすべてのベクトルとの内積が非負の実数になるようなベクトルを集めることにより得られる集合を、\begin{equation*}C^{\ast }=\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall \boldsymbol{x}\in C:\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\geq
0\right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(C\)の双対錐（dual cone of \(C\)）と呼びます。定義より、以下の関係\begin{equation*}\forall \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\left( \boldsymbol{y}\in C^{\ast }\Leftrightarrow \forall \boldsymbol{x}\in C:\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\geq 0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
2つのベクトルの内積が非負であることは、それらのベクトルのなす角が直角または鋭角であることを意味します。したがって、集合\(C\)の双対錐\(C^{\ast }\)とは、\(C\)に属するすべてのベクトルとのなす角が直角または鋭角であるようなベクトルを集めることにより得られる集合です。
ユークリッド空間の非空な部分集合\(C\subset \mathbb{R} ^{n}\)の双対錐は、\begin{equation*}C^{\ast }=\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall \boldsymbol{x}\in C:\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\geq
0\right\}
\end{equation*}と定義されますが、双対錐を定義する不等式の不等号を逆にしたものを、\begin{equation*}
C^{\circ }=\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall \boldsymbol{x}\in C:\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\leq
0\right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(C\)の極錐（polar cone of \(C\)）と呼びます。定義より、以下の関係\begin{equation*}\forall \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\left( \boldsymbol{y}\in C^{\circ }\Leftrightarrow \forall \boldsymbol{x}\in C:\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\leq 0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
2つのベクトルの内積が非正であることは、それらのベクトルのなす角が直角または鈍角あることを意味します。したがって、集合\(C\)の極錐\(C^{\circ }\)とは、\(C\)に属するすべてのベクトルとのなす角が直角または鈍角であるようなベクトルを集めることにより得られる集合です。
双対錐\(C^{\ast }\)や極錐\(C^{\circ }\)を定義するもととなる集合\(C\)は錐である必要はありません。ただ、後ほど示すように、錐であるとは限らない非空の集合\(C\)を任意に選んだとき、その双対錐\(C^{\ast }\)と極錐\(C^{\circ }\)は必ず錐になります。
双対錐と極錐の間には以下の関係が成り立ちます。
&&\left( b\right) \ C^{\ast }=-C^{\circ }
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。ただし、\(C^{\ast }\)は\(C\)の双対錐であり、\(C^{\circ }\)は\(C\)の極錐である。
双対錐をスカラー\(-1\)倍すれば極錐になり、逆に、極錐をスカラー\(-1\)倍すれば双対錐になることが明らかになりました。以上の事実は、双対錐上の点を原点に関して対称な位置に移せば極錐が得られることを意味します。つまり、双対錐と極錐は原点について点対称の位置にあるということです。
\end{equation*}を構成すると、その双対錐は、\begin{eqnarray*}
\left( \left\{ \boldsymbol{x}\right\} \right) ^{\ast } &=&\left\{
\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall \boldsymbol{x}^{\prime }\in \left\{ \boldsymbol{x}\right\} :\boldsymbol{x}^{\prime }\cdot \boldsymbol{y}\geq 0\right\} \quad \because
\text{双対錐の定義} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\geq 0\right\} \\
&=&H^{+}\left( \boldsymbol{x},0\right) \quad \because \text{上半空間の定義}
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(H^{+}\left( \boldsymbol{x},0\right) \)は法線ベクトルが\(x\)であり原点を通過する上半空間です。これは\(\boldsymbol{x}\)とのなす角が直角ないし鋭角になるベクトルからなる集合であり、下図の青い領域に相当します。
したがって極錐は、\begin{eqnarray*}
\left( \left\{ \boldsymbol{x}\right\} \right) ^{\circ } &=&-\left( \left\{
\boldsymbol{x}\right\} \right) ^{\ast }\quad \because \text{双対錐と凸錐の関係} \\
&=&-H^{+}\left( \boldsymbol{x},0\right) \\
&=&H^{-}\left( \boldsymbol{x},0\right)
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(H^{-}\left( \boldsymbol{x},0\right) \)は法線ベクトルが\(x\)であり原点を通過する下半空間です。
\end{equation*}の双対錐は、\begin{eqnarray*}
\left( \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \right) ^{\ast } &=&\left\{
\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall \boldsymbol{x}\in \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\geq 0\right\} \quad \because \text{双対錐の定義} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{0}\cdot \boldsymbol{y}\geq 0\right\} \\
&=&\mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}となります。したがって極錐は、\begin{eqnarray*}
\left( \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \right) ^{\circ } &=&-\left( \left\{
\boldsymbol{0}\right\} \right) ^{\ast }\quad \because \text{双対錐と凸錐の関係} \\
&=&-\mathbb{R} ^{n} \\
&=&\mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}の双対錐は、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} _{+}^{n}\right) ^{\ast }=\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{n}:\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\geq 0\right\}
\end{equation*}ですが、以下の関係\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} _{+}^{n}\right) ^{\ast }=\mathbb{R} _{+}^{n}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R} _{+}^{n}\)の双対錐は\(\mathbb{R} _{+}^{n}\)自身と一致します。したがって極錐は、\begin{eqnarray*}\left( \mathbb{R} _{+}^{n}\right) ^{\circ } &=&-\left( \mathbb{R} _{+}^{n}\right) ^{\ast }\quad \because \text{双対錐と凸錐の関係} \\
&=&-\mathbb{R} _{+}^{n} \\
&=&\mathbb{R} _{-}^{n}
\end{eqnarray*}となります（演習問題）。
&&\left( b\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in V \\
&&\left( c\right) \ \forall \lambda \in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in V:\lambda \boldsymbol{x}\in V
\end{eqnarray*}がすべて成り立つということです。その双対錐は、\begin{equation*}
V^{\ast }=\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall \boldsymbol{v}\in V:\boldsymbol{v}\cdot \boldsymbol{y}\geq
0\right\}
\end{equation*}です。その一方で、部分空間\(V\)の直交補空間は、\(V\)に属するすべてのベクトルと直交するベクトルからなる集合\begin{equation*}V^{\perp }=\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall \boldsymbol{v}\in V:\boldsymbol{v}\cdot \boldsymbol{y}=0\right\}
\end{equation*}として定義されますが、以下の関係\begin{equation*}
V^{\ast }=V^{\perp }
\end{equation*}が成り立ちます。部分空間の双対錐は直交補空間と一致するということです。したがって極錐は、\begin{eqnarray*}
V^{\circ } &=&-V^{\ast }\quad \because \text{双対錐と凸錐の関係} \\
&=&-V^{\perp } \\
&=&V^{\perp }
\end{eqnarray*}となります（演習問題）。
双対錐を特定する方法
非空集合\(C\subset \mathbb{R} ^{n}\)の双対錐は、\begin{equation*}C^{\ast }=\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall \boldsymbol{x}\in C:\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\geq
0\right\}
\end{equation*}と定義されるため、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\left( \boldsymbol{y}\in C^{\ast }\Leftrightarrow \forall \boldsymbol{x}\in C:\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\geq 0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
ゼロベクトル\(\boldsymbol{0}\in \mathbb{R} ^{n}\)については、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in C:\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{0}\geq 0
\end{equation*}が明らかに成り立つため、\(C^{\ast }\)の定義より、\begin{equation*}\boldsymbol{0}\in C^{\ast }
\end{equation*}を得ます。つまり、ゼロベクトルは必ず双対錐の要素であるということです。以上の事実は、双対錐が非空であることも意味します。
非ゼロベクトル\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)については、\(\boldsymbol{y}\)を法線ベクトルとするとともに原点を通過する上半空間\begin{equation*}H^{+}\left( \boldsymbol{y},0\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\geq 0\right\}
\end{equation*}を定義することにより、\(C^{\ast }\)の定義より、\begin{equation*}\boldsymbol{y}\in C^{\ast }\Leftrightarrow \forall \boldsymbol{x}\in C:\boldsymbol{x}\in H^{+}\left( \boldsymbol{y},0\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{y}\in C^{\ast }\Leftrightarrow C\subset H^{+}\left( \boldsymbol{y},0\right)
\end{equation*}を得ます。つまり、非ゼロベクトル\(\boldsymbol{y}\)が双対錐\(C^{\ast }\)の要素であることを判定するためには、もとの集合\(C\)が上半空間\(H^{+}\left( \boldsymbol{y},0\right) \)の部分集合であることを確認すればよいということです。逆に、\(C\)が\(H^{+}\left( \boldsymbol{y},0\right) \)の部分集合ではない場合、\(\boldsymbol{y}\)は\(C^{\ast }\)の要素ではありません。
\end{equation*}が成り立つ。また、任意の非ゼロベクトル\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)について、\begin{equation*}\boldsymbol{y}\in C^{\ast }\Leftrightarrow C\subset H^{+}\left( \boldsymbol{y},0\right)
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(C^{\ast }\)は\(C\)の双対錐であり、\(H^{+}\left( \boldsymbol{y},0\right) \)は法線ベクトルが\(\boldsymbol{y}\)であり原点を通過する上半空間である。
図中の点\(\boldsymbol{y}\)は双対錐\(C^{\ast }\)の要素でしょうか。上半空間\(H^{+}\left( \boldsymbol{y},0\right) \)は上図中のブルーの領域として描かれています。\(C\)が\(H^{+}\left( \boldsymbol{y},0\right) \)の部分集合であることを図より確認できるため、先の命題より、\begin{equation*}\boldsymbol{y}\in C^{\ast }
\end{equation*}が成り立ちます。実際、\(C\)に属する任意のベクトルと\(\boldsymbol{y}\)のなす角は鋭角です。
図中の点\(\boldsymbol{y}\)は双対錐\(C^{\ast }\)の要素でしょうか。上半空間\(H^{+}\left( \boldsymbol{y},0\right) \)は上図中のブルーの領域として描かれています。\(C\)が\(H^{+}\left( \boldsymbol{y},0\right) \)の部分集合ではないことを図より確認できるため、先の命題より、\begin{equation*}\boldsymbol{y}\not\in C^{\ast }
\end{equation*}が成り立ちます。実際、\(\boldsymbol{y}\)となす角が鈍角であるようなベクトルが\(C\)の中に存在します。
双対錐と極錐は原点について点対称の位置にあるため、先の要領で双対錐を特定できれば、その点対称をとることにより極錐が得られます。もしくは、極錐に関しても先と同様の議論を繰り返すこともできます。具体的には以下の通りです。
非空集合\(C\subset \mathbb{R} ^{n}\)の極錐は、\begin{equation*}C^{\circ }=\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall \boldsymbol{x}\in C:\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\leq
0\right\}
\end{equation*}と定義されるため、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\left( \boldsymbol{y}\in C^{\circ }\Leftrightarrow \forall \boldsymbol{x}\in C:\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\leq 0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
ゼロベクトル\(\boldsymbol{0}\in \mathbb{R} ^{n}\)については、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in C:\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{0}\leq 0
\end{equation*}が明らかに成り立つため、\(C^{\circ }\)の定義より、\begin{equation*}\boldsymbol{0}\in C^{\circ }
\end{equation*}を得ます。つまり、ゼロベクトルは必ず極錐の要素であるということです。以上の事実は、極錐が非空であることも意味します。
非ゼロベクトル\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)については、\(\boldsymbol{y}\)を法線ベクトルとするとともに原点を通過する下半空間\begin{equation*}H^{-}\left( \boldsymbol{y},0\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\leq 0\right\}
\end{equation*}を定義することにより、\(C^{\circ }\)の定義より、\begin{equation*}\boldsymbol{y}\in C^{\circ }\Leftrightarrow \forall \boldsymbol{x}\in C:\boldsymbol{x}\in H^{-}\left( \boldsymbol{y},0\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{y}\in C^{\circ }\Leftrightarrow C\subset H^{-}\left( \boldsymbol{y},0\right)
\end{equation*}を得ます。つまり、非ゼロベクトル\(\boldsymbol{y}\)が極錐\(C^{\circ }\)の要素であることを判定するためには、もとの集合\(C\)が下半空間\(H^{-}\left( \boldsymbol{y},0\right) \)の部分集合であることを確認すればよいということです。逆に、\(C\)が\(H^{-}\left( \boldsymbol{y},0\right) \)の部分集合ではない場合、\(\boldsymbol{y}\)は\(C^{\circ }\)の要素ではありません。
\end{equation*}が成り立つ。また、任意の非ゼロベクトル\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)について、\begin{equation*}\boldsymbol{y}\in C^{\circ }\Leftrightarrow C\subset H^{-}\left( \boldsymbol{y},0\right)
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(C^{\circ }\)は\(C\)の極錐であり、\(H^{-}\left( \boldsymbol{y},0\right) \)は法線ベクトルが\(\boldsymbol{y}\)であり原点を通過する下半空間である。
双対錐は凸錐
非空の集合\(C\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、その双対錐\(C^{\ast }\)は凸錐になることが保証されます。つまり、\(C^{\ast }\)は錐かつ凸集合であること、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in C^{\ast },\ \forall \lambda
\geq 0:\lambda \boldsymbol{x}\in C^{\ast } \\
&&\left( b\right) \ \forall \boldsymbol{x}_{1}\in C^{\ast },\ \forall
\boldsymbol{x}_{2}\in C^{\ast },\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right]
:\lambda \boldsymbol{x}_{1}+\left( 1-\lambda \right) \boldsymbol{x}_{2}\in
C^{\ast }
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです。以上の主張は任意の集合\(C\)について成り立つため、錐ではない集合\(C\)についても、その双対錐\(C^{\ast }\)は凸錐になります。
極錐についても同様の主張が成り立ちます。
\end{equation*}を構成すると、先に例を通じて確認したように、その双対錐と極錐は、\begin{eqnarray*}
\left( \left\{ \boldsymbol{x}\right\} \right) ^{\ast } &=&H^{+}\left(
\boldsymbol{x},0\right) \\
\left( \left\{ \boldsymbol{x}\right\} \right) ^{\circ } &=&H^{-}\left(
\boldsymbol{x},0\right)
\end{eqnarray*}です。先の命題より\(\left( \left\{ \boldsymbol{x}\right\} \right) ^{\ast }\)および\(\left( \left\{ \boldsymbol{x}\right\} \right) ^{\circ }\)は凸錐です。実際、半空間は凸錐であるため、以上の事実は先の命題の主張と整合的です。ちなみに、もとの集合\(\left\{ \boldsymbol{x}\right\} \)は錐ではありません。
\end{equation*}を構成すると、先に例を通じて確認したように、その双対錐と極錐は、\begin{equation*}
\left( \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \right) ^{\ast }=\left( \left\{
\boldsymbol{0}\right\} \right) ^{\circ }=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}となります。先の命題より\(\left( \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \right)^{\ast }\)および\(\left( \left\{ \boldsymbol{0}\right\}\right) ^{\circ }\)凸錐です。実際、\(\mathbb{R} ^{n}\)は凸錐であるため、以上の事実は先の命題の主張と整合的です。ちなみに、もとの集合\(\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)は錐ではありません。
\end{equation*}の双対錐と極錐は、先に例を通じて確認したように、\begin{eqnarray*}
\left( \mathbb{R} _{+}^{n}\right) ^{\ast } &=&\mathbb{R} _{+}^{n} \\
\left( \mathbb{R} _{+}^{n}\right) ^{\circ } &=&\mathbb{R} _{-}^{n}
\end{eqnarray*}です。先の命題より\(\left( \mathbb{R} _{+}^{n}\right) ^{\ast }\)および\(\left( \mathbb{R} _{+}^{n}\right) ^{\circ }\)は凸錐です。実際、\(\mathbb{R} _{+}^{n}\)および\(\mathbb{R} _{-}^{n}\)は凸錐であるため、以上の事実は先の命題の主張と整合的です。ちなみに、もとの集合\(\mathbb{R} _{+}^{n}\)も錐です。
&&\left( b\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in V \\
&&\left( c\right) \ \forall \lambda \in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in V:\lambda \boldsymbol{x}\in V
\end{eqnarray*}がすべて成り立つということです。先に例を通じて確認したように、その双対錐と極錐は、\begin{equation*}
V^{\ast }=V^{\circ }=V^{\perp }
\end{equation*}です。ただし、\(V^{\perp }\)は\(V\)の直交補空間です。先の命題より\(V^{\ast }\)および\(V^{\circ }\)は凸錐です。したがって、直交補空間\(V^{\perp }\)は凸錐です。
双対錐は閉集合
非空の集合\(C\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、その双対錐\(C^{\ast }\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合になることが保証されます。以上の主張は任意の集合\(C\)について成り立つため、閉集合ではない集合\(C\)についても、その双対錐\(C^{\ast }\)は閉集合になります。
ユークリッド空間の非空の部分集合\(C\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、その双対錐\(C^{\ast }\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合である。
極錐についても同様の主張が成り立ちます。
\end{equation*}を構成すると、先に例を通じて確認したように、その双対錐と極錐は、\begin{eqnarray*}
\left( \left\{ \boldsymbol{x}\right\} \right) ^{\ast } &=&H^{+}\left(
\boldsymbol{x},0\right) \\
\left( \left\{ \boldsymbol{x}\right\} \right) ^{\circ } &=&H^{-}\left(
\boldsymbol{x},0\right)
\end{eqnarray*}となります。先の命題より\(\left( \left\{ \boldsymbol{x}\right\} \right)^{\ast }\)および\(\left( \left\{ \boldsymbol{x}\right\}\right) ^{\circ }\)は閉集合です。実際、半空間は閉集合であるため、以上の事実は先の命題の主張と整合的です。ちなみに、もとの集合\(\left\{ \boldsymbol{x}\right\} \)も閉集合です。
\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を構成すると、先に例を通じて確認したように、その双対錐と極錐は、\begin{equation*}
\left( \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \right) ^{\ast }=\left( \left\{
\boldsymbol{0}\right\} \right) ^{\circ }=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}です。先の命題より\(\left( \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \right) ^{\ast }\)および\(\left( \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \right) ^{\circ }\)は閉集合です。実際、\(\mathbb{R} ^{n}\)は凸集合であるため、以上の事実は先の命題の主張と整合的です。ちなみに、もとの集合\(\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)も閉集合です。
\end{equation*}の双対錐は、先に例を通じて確認したように、\begin{eqnarray*}
\left( \mathbb{R} _{+}^{n}\right) ^{\ast } &=&\mathbb{R} _{+}^{n} \\
\left( \mathbb{R} _{+}^{n}\right) ^{\circ } &=&\mathbb{R} _{-}^{n}
\end{eqnarray*}です。先の命題より\(\left( \mathbb{R} _{+}^{n}\right) ^{\ast }\)および\(\left( \mathbb{R} _{+}^{n}\right) ^{\circ }\)は閉集合です。実際、\(\mathbb{R} _{+}^{n}\)および\(\mathbb{R} _{-}^{n}\)は閉集合であるため、以上の事実は先の命題の主張と整合的です。
&&\left( b\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in V \\
&&\left( c\right) \ \forall \lambda \in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in V:\lambda \boldsymbol{x}\in V
\end{eqnarray*}がすべて成り立つということです。先に例を通じて確認したように、その双対錐と極錐は、\begin{equation*}
V^{\ast }=V^{\circ }=V^{\perp }
\end{equation*}です。ただし、\(V^{\perp }\)は\(V\)の直交補空間です。先の命題より\(V^{\ast }\)および\(V^{\circ }\)は閉集合です。したがって、直交補空間\(V^{\perp }\)は閉集合です。
双対錐と包含関係
非空の集合\(C,D\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}C\subset D\Rightarrow D^{\ast }\subset C^{\ast }
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、双対錐をとると包含関係が逆転します。
\end{equation*}が成り立つ。
極錐についても同様の主張が成り立ちます。
ユークリッド空間の非空の部分集合\(C,D\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}C\subset D\Rightarrow D^{\circ }\subset C^{\circ }
\end{equation*}が成り立つ。
双対錐と凸包の双対錐は一致する
集合\(C\subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(C\)を部分集合として持つ凸集合の中でも最小のものを\(A\)の凸包と呼びます。集合\(C\)の凸包は、\(C\)の要素の凸結合からなる集合\begin{equation*}\mathrm{Conv}\left( C\right) =\left\{ \sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}\boldsymbol{x}_{i}\ |\ k\in \mathbb{N} \wedge \sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}=1\wedge \forall i\in \left\{ 1,\cdots
,k\right\} :\left( \lambda _{i}\geq 0\wedge \boldsymbol{x}_{i}\in C\right)
\right\}
\end{equation*}と一致します。
非空の集合\(C\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}C^{\ast }=\left( \mathrm{Conv}\left( C\right) \right) ^{\ast }
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、集合\(C\)の双対錐と、\(C \)の凸包の双対錐は一致します。
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(C^{\ast }\)は\(C\)の双対錐であり、\(\mathrm{Conv}\left( C\right) \)は\(C\)の凸包であり、\(\left( \mathrm{Conv}\left(C\right) \right) ^{\ast }\)はその双対錐である。
極錐についても同様の主張が成り立ちます。
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(C^{\circ }\)は\(C\)の極錐であり、\(\mathrm{Conv}\left( C\right) \)は\(C\)の凸包であり、\(\left( \mathrm{Conv}\left( C\right)\right) ^{\circ }\)はその極錐である。
錐の双対錐の双対錐は錐の凸包の閉包と一致する
ユークリッド空間の非空な部分集合\(C\subset \mathbb{R} ^{n}\)が錐であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in C,\ \forall \lambda \geq 0:\lambda \boldsymbol{x}\in C
\end{equation*}が成り立つということです。\(C\)の双対錐は、\begin{equation*}C^{\ast }=\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall \boldsymbol{x}\in C:\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\geq
0\right\}
\end{equation*}と定義されます。双対錐は非空であるため\(C^{\ast }\)は非空であり、したがってその双対錐\begin{equation*}C^{\ast \ast }=\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall \boldsymbol{x}\in C^{\ast }:\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\geq 0\right\}
\end{equation*}をとることができます。一方、\(C\)の凸包は、\begin{equation*}\mathrm{Conv}\left( C\right) =\left\{ \sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}\boldsymbol{x}_{i}\ |\ k\in \mathbb{N} \wedge \sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}=1\wedge \forall i\in \left\{ 1,\cdots
,k\right\} :\left( \lambda _{i}\geq 0\wedge \boldsymbol{x}_{i}\in C\right)
\right\}
\end{equation*}となりますが、このとき、以下の関係\begin{equation*}
C^{\ast \ast }=\left( \mathrm{Conv}\left( C\right) \right) ^{a}
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。ただし、\(\left( \mathrm{Conv}\left( C\right) \right) ^{a}\)は凸包\(\mathrm{Conv}\left( C\right) \)の閉包です。
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(C^{\ast \ast }\)は\(C\)の双対錐の双対錐であり、\(\mathrm{Conv}\left(C\right) \)は\(C\)の凸包であり、\(\left( \mathrm{Conv}\left( C\right) \right) ^{a}\)はその閉包である。
極錐についても同様の主張が成り立ちます。
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(C^{\circ \circ }\)は\(C\)の極錐の極錐であり、\(\mathrm{Conv}\left( C\right) \)は\(C\)の凸包であり、\(\left( \mathrm{Conv}\left( C\right) \right) ^{a}\)はその閉包である。
凸錐に関するファルカスの補題
これまで示した諸命題を用いると以下を導くことができます。
\end{equation*}で表記するとともに、以下の集合\begin{equation*}
D=\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,k\right\} :\boldsymbol{x}_{i}\cdot
\boldsymbol{y}\geq 0\right\}
\end{equation*}を定義すると、以下の関係\begin{eqnarray*}
D &=&C^{\ast } \\
C &=&D^{\ast }
\end{eqnarray*}が成り立つ。
極錐に関しても同様の主張が成り立ちます。
\end{equation*}で表記するとともに、以下の集合\begin{equation*}
D=\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,k\right\} :\boldsymbol{x}_{i}\cdot
\boldsymbol{y}\leq 0\right\}
\end{equation*}を定義すると、以下の関係\begin{eqnarray*}
D &=&C^{\circ } \\
C &=&D^{\circ }
\end{eqnarray*}が成り立つ。
演習問題
\end{equation*}の双対錐は、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} _{+}^{n}\right) ^{\ast }=\mathbb{R} _{+}^{n}
\end{equation*}であることを示してください。
\end{equation*}が成り立つことを示してください。ただし、\(V^{\ast }\)は\(V\)の双対錐であり、\(V^{\perp }\)は\(V\)の直交補空間です。つまり、\begin{eqnarray*}V^{\ast } &=&\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall \boldsymbol{v}\in V:\boldsymbol{v}\cdot \boldsymbol{y}\geq
0\right\} \\
V^{\perp } &=&\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall \boldsymbol{v}\in V:\boldsymbol{v}\cdot \boldsymbol{y}=0\right\}
\end{eqnarray*}です。
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