拡大実数値をとる1変数の狭義準凸関数・狭義準凹関数

実数値をとる1変数の準凸関数の拡大実数値拡張

区間上に定義された関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が狭義準凸関数であることは、\begin{equation*}
\forall x_{1}\in I,\ \forall x_{2}\in I\backslash \left\{ x_{2}\right\} ,\
\forall \lambda \in \left( 0,1\right) :f\left( \lambda x_{1}+\left(
1-\lambda \right) x_{2}\right) <\max \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left(
x_{2}\right) \right\}
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、以上の定義において\(f\)は区間\(I\)上においてのみ定義されており、なおかつ\(f\)は有限な実数だけを値としてとり得る状況を想定しています。場合によっては、\(f\)の定義域を以下のルールのもとで\(\mathbb{R} \)全体に拡張することにより分析が容易になります。

区間上に定義された狭義準凸関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して以下の拡大実数\begin{equation*}\widetilde{f}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x\right) & \left( if\ x\in I\right) \\
+\infty & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash I\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を値として定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\widetilde{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}が定義可能です。つまり、もとの狭義準凸関数\(f\)の定義域である区間\(I\)上の点に対して\(\widetilde{f}\)は\(f\)が定める値をそのまま定め、\(I\)に属さない\(\mathbb{R} \)上の点に対して\(\widetilde{f}\)は正の無限大\(+\infty \)を定めることにより、定義域を\(I\)から\(\mathbb{R} \)へ拡張するということです。このような拡大実数値関数\(\widetilde{f}\)をもとの狭義準凸関数\(f\)の拡大実数値拡張（extended-value extension of \(f\)）と呼びます。

誤解の恐れがない場合には、狭義準凸関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張もまた、\begin{equation*}f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}で表記します。以降ではこの慣例にしたがいます。

準凸関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)は準凸関数としての性質\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :f\left( \lambda x_{1}+\left(
1-\lambda \right) x_{2}\right) \leq \max \left\{ f\left( x_{1}\right)
,f\left( x_{2}\right) \right\}
\end{equation*}を満たす一方で、狭義準凸関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)は狭義準凸関数としての性質\begin{equation*}\forall x_{1}\in I,\ \forall x_{2}\in I\backslash \left\{ x_{2}\right\} ,\
\forall \lambda \in \left( 0,1\right) :f\left( \lambda x_{1}+\left(
1-\lambda \right) x_{2}\right) <\max \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left(
x_{2}\right) \right\}
\end{equation*}を満たすとは限りません。以下の例より明らかです。ただし、ここでの演算および大小関係は拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)における演算と大小関係であることに注意してください。

拡大実数値をとる1変数の狭義準凸関数

区間上に定義された狭義準凸関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)は以下の性質\begin{equation}\forall x_{1}\in I,\ \forall x_{2}\in I\backslash \left\{ x_{2}\right\} ,\
\forall \lambda \in \left( 0,1\right) :f\left( \lambda x_{1}+\left(
1-\lambda \right) x_{2}\right) <\max \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left(
x_{2}\right) \right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすとは限らないことが明らかになりました。したがって、拡大実数値拡張\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が狭義準凸関数であることの定義として\(\left( 1\right) \)を採用できません。代替的な定義が要請されます。

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)に対して、\(f\)が実数を値としてとり得る変数の値からなる集合を、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) <+\infty \right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)の有効領域（effective domain）と呼びます。その上で、\(f\)の定義域を有効領域に制限することにより得られる実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \mathrm{dom}\left( f\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が狭義準凸関数である場合には、すなわち、\begin{equation*}
\forall x_{1}\in \mathrm{dom}\left( f\right) ,\ \forall x_{2}\in \mathrm{dom}\left( f\right) \backslash \left\{ x_{2}\right\} ,\ \forall \lambda \in
\left( 0,1\right) :f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right)
x_{2}\right) <\max \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right)
\right\}
\end{equation*}が成り立つ場合には、もとの拡大実数値関数\(f\)を狭義準凸関数（strictly quasi-convex function）と呼びます。

狭義準凸関数の定義域は区間であるため、以上の定義が有効であるためには、狭義準凸であるような拡大実数値関数\(f\)の有効領域が区間になることが保証されている必要があります。

実数値をとる狭義準凸関数の拡大実数値拡張は狭義準凸関数です。

実数値をとる1変数の準凹関数の拡大実数値拡張

区間上に定義された関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が狭義準凹関数であることは、\begin{equation*}
\forall x_{1}\in I,\ \forall x_{2}\in I\backslash \left\{ x_{2}\right\} ,\
\forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\min \left\{ f\left( x_{1}\right)
,f\left( x_{2}\right) \right\} <f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda
\right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、以上の定義において\(f\)は区間\(I\)上においてのみ定義されており、なおかつ\(f\)は有限な実数だけを値としてとり得る状況を想定しています。場合によっては、\(f\)の定義域を以下のルールのもとで\(\mathbb{R} \)全体に拡張することにより分析が容易になります。

区間上に定義された狭義準凹関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して以下の拡大実数\begin{equation*}\widetilde{f}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x\right) & \left( if\ x\in I\right) \\
-\infty & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash I\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を値として定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\widetilde{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\}
\end{equation*}が定義可能です。つまり、もとの狭義準凹関数\(f\)の定義域である区間\(I\)上の点に対して\(\widetilde{f}\)は\(f\)が定める値をそのまま定め、\(I\)に属さない\(\mathbb{R} \)上の点に対して\(\widetilde{f}\)は負の無限大\(-\infty \)を定めることにより、定義域を\(I\)から\(\mathbb{R} \)へ拡張するということです。このような拡大実数値関数\(\widetilde{f}\)をもとの狭義準凹関数\(f\)の拡大実数値拡張（extended-value extension of \(f\)）と呼びます。

誤解の恐れがない場合には、狭義準凹関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張もまた、\begin{equation*}f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\}
\end{equation*}で表記します。以降ではこの慣例にしたがいます。

準凹関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)は準凹関数としての性質\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\min \left\{ f\left( x_{1}\right)
,f\left( x_{2}\right) \right\} <f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda
\right) x_{2}\right)
\end{equation*}を満たす一方で、狭義準凹関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)は狭義準凹関数としての性質\begin{equation*}\forall x_{1}\in I,\ \forall x_{2}\in I\backslash \left\{ x_{2}\right\} ,\
\forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\min \left\{ f\left( x_{1}\right)
,f\left( x_{2}\right) \right\} <f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda
\right) x_{2}\right)
\end{equation*}を満たすとは限りません。以下の例より明らかです。ただし、ここでの演算および大小関係は拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)における演算と大小関係であることに注意してください。

拡大実数値をとる1変数の狭義準凹関数

区間上に定義された狭義準凹関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)は以下の性質\begin{equation}\forall x_{1}\in I,\ \forall x_{2}\in I\backslash \left\{ x_{2}\right\} ,\
\forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\min \left\{ f\left( x_{1}\right)
,f\left( x_{2}\right) \right\} <f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda
\right) x_{2}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすとは限らないことが明らかになりました。したがって、拡大実数値拡張\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)が狭義準凹関数であることの定義として\(\left( 1\right) \)を採用できません。代替的な定義が要請されます。

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)に対して、\(f\)が実数を値としてとり得る変数の値からなる集合を、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) >-\infty \right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)の有効領域（effective domain）と呼びます。その上で、\(f\)の定義域を有効領域に制限することにより得られる実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \mathrm{dom}\left( f\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が狭義準凹関数である場合には、すなわち、\begin{equation*}
\forall x_{1}\in \mathrm{dom}\left( f\right) ,\ \forall x_{2}\in \mathrm{dom}\left( f\right) \backslash \left\{ x_{2}\right\} ,\ \forall \lambda \in
\left( 0,1\right) :\min \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right)
\right\} <f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、もとの拡大実数値関数\(f\)を狭義準凹関数（strictly quasi-concave function）と呼びます。

狭義準凹関数の定義域は区間であるため、以上の定義が有効であるためには、狭義準凹であるような拡大実数値関数\(f\)の有効領域が区間になることが保証されている必要があります。

実数値をとる狭義準凹関数の拡大実数値拡張は狭義準凹関数です。

拡大実数値をとる狭義準凸関数と狭義準凹関数の関係

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\left( -f\right) \left( x\right) =-f\left( x\right)
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\begin{equation*}
-f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\}
\end{equation*}が定義可能です。\(f\)が狭義準凸関数であることと\(-f\)が狭義準凹関数であることは必要十分であり、\(f\)が狭義準凹関数であることと\(-f\)が狭義準凸関数であることは必要十分です。

演習問題