偏微分を用いた多変数の準凸関数の判定
凸集合上に定義された多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が準凸関数であることは、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :f\left( \lambda \boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right) \leq \max \left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) ,f\left(
\boldsymbol{y}\right) \right\}
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、以上の定義にもとづいて関数が準凸であることを示す作業は煩雑になりがちです。多変数関数が偏微分可能である場合、それが準凸関数であることを比較的容易に判定できます。順番に解説します。
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の2つの性質を満たすものとします。
1つ目の性質は、\(f\)の定義域\(X\)が非空の凸集合であるとともに\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるということです。
2つ目の性質は、\(f\)が\(C^{1}\)級であるということです。つまり、\(f\)は定義域上の任意の点\(\boldsymbol{x}\in X\)において任意の変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)に関して偏微分可能であるとともに、偏導関数\(f_{x_{k}}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が連続です。
以上の条件を満たす多変数関数\(f\)に関して、それが準凸関数であることを以下のように特徴づけることができます。
命題（連続微分可能な多変数の準凸関数）
非空の凸な開集合上に定義された関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(C^{1}\)級であるものとする。このとき、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:\left[ f\left( \boldsymbol{y}\right) \leq f\left( \boldsymbol{x}\right) \Rightarrow \left( \boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}\right) \cdot \nabla f\left( \boldsymbol{x}\right) \leq 0\right]
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)は準凸関数であるための必要十分条件である。
以上の命題を踏まえると、多変数関数\(f\)が\(C^{2}\)級である場合には、\(f\)が準凸関数であるための必要条件と十分条件をそれぞれ以下のように特定できます。
命題（2階連続微分可能な多変数の準凸関数）
非空の凸な開集合上に定義された関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(C^{2}\)級であるものとする。\(f\)が準凸関数であるならば、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X,\ \forall \boldsymbol{h}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\left[ \nabla f\left(
\boldsymbol{x}\right) \cdot \boldsymbol{h}=0\Rightarrow \boldsymbol{h}^{t}H_{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \boldsymbol{h}\geq 0\right] \end{equation*}が成り立つ。逆に、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in X,\ \forall \boldsymbol{h}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\left[ \nabla f\left(
\boldsymbol{x}\right) \cdot \boldsymbol{h}=0\Rightarrow \boldsymbol{h}^{t}H_{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \boldsymbol{h}>0\right] \end{equation*}が成り立つならば\(f\)は準凸関数である。ただし、\begin{equation*}H_{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\begin{pmatrix}
f_{x_{1}x_{1}}^{\prime \prime }\left( \boldsymbol{x}\right) & \cdots &
f_{x_{1}x_{n}}^{\prime \prime }\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
f_{x_{n}x_{1}}^{\prime \prime }\left( \boldsymbol{x}\right) & \cdots &
f_{x_{n}x_{n}}^{\prime \prime }\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\frac{\partial ^{2}f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}\partial
x_{1}} & \cdots & \frac{\partial ^{2}f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}\partial x_{1}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial ^{2}f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}\partial
x_{n}} & \cdots & \frac{\partial ^{2}f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}\partial x_{n}}\end{pmatrix}\end{equation*}である。
\boldsymbol{x}\right) \cdot \boldsymbol{h}=0\Rightarrow \boldsymbol{h}^{t}H_{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \boldsymbol{h}\geq 0\right] \end{equation*}が成り立つ。逆に、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in X,\ \forall \boldsymbol{h}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\left[ \nabla f\left(
\boldsymbol{x}\right) \cdot \boldsymbol{h}=0\Rightarrow \boldsymbol{h}^{t}H_{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \boldsymbol{h}>0\right] \end{equation*}が成り立つならば\(f\)は準凸関数である。ただし、\begin{equation*}H_{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\begin{pmatrix}
f_{x_{1}x_{1}}^{\prime \prime }\left( \boldsymbol{x}\right) & \cdots &
f_{x_{1}x_{n}}^{\prime \prime }\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
f_{x_{n}x_{1}}^{\prime \prime }\left( \boldsymbol{x}\right) & \cdots &
f_{x_{n}x_{n}}^{\prime \prime }\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\frac{\partial ^{2}f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}\partial
x_{1}} & \cdots & \frac{\partial ^{2}f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}\partial x_{1}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial ^{2}f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}\partial
x_{n}} & \cdots & \frac{\partial ^{2}f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}\partial x_{n}}\end{pmatrix}\end{equation*}である。
多変数関数\(f\)が\(C^{2}\)級である場合、そのヘッセ行列\(H_{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)は対称行列になります。縁付きヘッセ行列を\(D_{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)で表記する場合、以下の関係\begin{eqnarray*}\text{制約条件のもとで}H_{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \text{は半正定値} &\Leftrightarrow &D_{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \text{のすべての狭義主座小行列式が非負} \\
\text{制約条件のもとで}H_{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \text{は正定値}
&\Leftrightarrow &D_{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \text{のすべての狭義主座小行列式が負}
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題を以下のように言い換えることができます。
命題（2階連続微分可能な多変数の準凸関数）
非空の凸な開集合上に定義された関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(C^{2}\)級であるものとする。このとき、\(f\)が準凸関数であるならば、任意の点\(\boldsymbol{x}\in X\)において\(f\)の縁付きヘッセ行列を\(D_{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)のすべての狭義主座小行列式が非負である。逆に、任意の点\(\boldsymbol{x}\in X\)において\(f\)の縁付きヘッセ行列を\(D_{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)のすべての狭義主座小行列式が負であるならば、\(f\)は準凸関数である。ただし、\begin{equation*}D_{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\begin{pmatrix}
0 & f_{x_{1}}^{\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) & \cdots &
f_{x_{n}}^{\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) \\
f_{x_{1}}^{\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) & f_{x_{1}x_{1}}^{\prime
\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) & \cdots & f_{x_{1}x_{n}}^{\prime
\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_{x_{n}}^{\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) & f_{x_{n}x_{1}}^{\prime
\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) & \cdots & f_{x_{n}x_{n}}^{\prime
\prime }\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & \frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}} & \cdots
& \frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}} \\
\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}} & \frac{\partial ^{2}f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}\partial x_{1}} &
\cdots & \frac{\partial ^{2}f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial
x_{n}\partial x_{1}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}} & \frac{\partial ^{2}f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}\partial x_{n}} &
\cdots & \frac{\partial ^{2}f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial
x_{n}\partial x_{n}}\end{pmatrix}\end{equation*}である。
0 & f_{x_{1}}^{\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) & \cdots &
f_{x_{n}}^{\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) \\
f_{x_{1}}^{\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) & f_{x_{1}x_{1}}^{\prime
\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) & \cdots & f_{x_{1}x_{n}}^{\prime
\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_{x_{n}}^{\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) & f_{x_{n}x_{1}}^{\prime
\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) & \cdots & f_{x_{n}x_{n}}^{\prime
\prime }\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & \frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}} & \cdots
& \frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}} \\
\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}} & \frac{\partial ^{2}f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}\partial x_{1}} &
\cdots & \frac{\partial ^{2}f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial
x_{n}\partial x_{1}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}} & \frac{\partial ^{2}f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}\partial x_{n}} &
\cdots & \frac{\partial ^{2}f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial
x_{n}\partial x_{n}}\end{pmatrix}\end{equation*}である。
例（多変数の準凸関数）
非空の凸な開集合上に定義された関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =-xy
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の多項式関数であるため\(C^{2}\)級であり、点\(\left( x,y\right) \in X\)における縁付きヘッセ行列は、\begin{equation*}D_{f}\left( x,y\right) =\begin{pmatrix}
0 & f_{x}\left( x,y\right) & f_{y}\left( x,y\right) \\
f_{x}\left( x,y\right) & f_{xx}\left( x,y\right) & f_{xy}\left( x,y\right)
\\
f_{y}\left( x,y\right) & f_{yx}\left( x,y\right) & f_{yy}\left( x,y\right)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & -y & -x \\
-y & 0 & -1 \\
-x & -1 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}です。\(D_{f}\left( x,y\right) \)の1次の狭義主座小行列式は、\begin{equation*}\left\vert A_{1}\right\vert =\begin{vmatrix}
0 & -y \\
-y & 0\end{vmatrix}=-y^{2}<0
\end{equation*}であり、2次の狭義主座小行列式は、\begin{equation*}
\left\vert A_{2}\right\vert =\begin{vmatrix}
0 & -y & -x \\
-y & 0 & -1 \\
-x & -1 & 0\end{vmatrix}=-2xy
\end{equation*}です。したがって、\(f\)の定義域が、\begin{equation*}X=\mathbb{R} _{++}^{2}
\end{equation*}である場合には、\begin{eqnarray*}
\left\vert A_{1}\right\vert &<&0 \\
\left\vert A_{2}\right\vert &<&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上において準凸関数です。一方、\(f\)の定義域が、\begin{equation*}X=\mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}である場合、例えば、点\(\left( 1,-1\right) \)において、\begin{equation*}\left\vert A_{2}\right\vert =2>0
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上では準凸関数ではありません。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の多項式関数であるため\(C^{2}\)級であり、点\(\left( x,y\right) \in X\)における縁付きヘッセ行列は、\begin{equation*}D_{f}\left( x,y\right) =\begin{pmatrix}
0 & f_{x}\left( x,y\right) & f_{y}\left( x,y\right) \\
f_{x}\left( x,y\right) & f_{xx}\left( x,y\right) & f_{xy}\left( x,y\right)
\\
f_{y}\left( x,y\right) & f_{yx}\left( x,y\right) & f_{yy}\left( x,y\right)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & -y & -x \\
-y & 0 & -1 \\
-x & -1 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}です。\(D_{f}\left( x,y\right) \)の1次の狭義主座小行列式は、\begin{equation*}\left\vert A_{1}\right\vert =\begin{vmatrix}
0 & -y \\
-y & 0\end{vmatrix}=-y^{2}<0
\end{equation*}であり、2次の狭義主座小行列式は、\begin{equation*}
\left\vert A_{2}\right\vert =\begin{vmatrix}
0 & -y & -x \\
-y & 0 & -1 \\
-x & -1 & 0\end{vmatrix}=-2xy
\end{equation*}です。したがって、\(f\)の定義域が、\begin{equation*}X=\mathbb{R} _{++}^{2}
\end{equation*}である場合には、\begin{eqnarray*}
\left\vert A_{1}\right\vert &<&0 \\
\left\vert A_{2}\right\vert &<&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上において準凸関数です。一方、\(f\)の定義域が、\begin{equation*}X=\mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}である場合、例えば、点\(\left( 1,-1\right) \)において、\begin{equation*}\left\vert A_{2}\right\vert =2>0
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上では準凸関数ではありません。
例（多変数の準凸関数）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x+y
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は非空の凸な開集合です。\(f\)は多変数の多項式関数であるため\(C^{2}\)級であり、点\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)における縁付きヘッセ行列は、\begin{equation*}D_{f}\left( x,y\right) =\begin{pmatrix}
0 & f_{x}\left( x,y\right) & f_{y}\left( x,y\right) \\
f_{x}\left( x,y\right) & f_{xx}\left( x,y\right) & f_{xy}\left( x,y\right)
\\
f_{y}\left( x,y\right) & f_{yx}\left( x,y\right) & f_{yy}\left( x,y\right)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}です。\(D_{f}\left( x,y\right) \)の1次の狭義主座小行列式は、\begin{equation*}\left\vert A_{1}\right\vert =\begin{vmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0\end{vmatrix}=-1<0
\end{equation*}を満たし、2次の狭義主座小行列式は、\begin{equation*}
\left\vert A_{2}\right\vert =\begin{vmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0\end{vmatrix}=0
\end{equation*}を満たすため、\(f\)は準凸関数であるための必要条件を満たしています。ちなみに、\(f\)は準凸関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は非空の凸な開集合です。\(f\)は多変数の多項式関数であるため\(C^{2}\)級であり、点\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)における縁付きヘッセ行列は、\begin{equation*}D_{f}\left( x,y\right) =\begin{pmatrix}
0 & f_{x}\left( x,y\right) & f_{y}\left( x,y\right) \\
f_{x}\left( x,y\right) & f_{xx}\left( x,y\right) & f_{xy}\left( x,y\right)
\\
f_{y}\left( x,y\right) & f_{yx}\left( x,y\right) & f_{yy}\left( x,y\right)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}です。\(D_{f}\left( x,y\right) \)の1次の狭義主座小行列式は、\begin{equation*}\left\vert A_{1}\right\vert =\begin{vmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0\end{vmatrix}=-1<0
\end{equation*}を満たし、2次の狭義主座小行列式は、\begin{equation*}
\left\vert A_{2}\right\vert =\begin{vmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0\end{vmatrix}=0
\end{equation*}を満たすため、\(f\)は準凸関数であるための必要条件を満たしています。ちなみに、\(f\)は準凸関数です。
偏微分を用いた多変数の準凹関数の判定
凸集合上に定義された多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が準凹関数であることは、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\min \left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) ,f\left( \boldsymbol{y}\right) \right\} \leq f\left( \lambda \boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda
\right) \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、準凸関数に関する先の議論と同様の議論を展開することにより、準凹関数に関しても同様の命題を導くことができます。
まず、非空の凸な開集合上に定義された\(C^{1}\)級に対して、それが準凹関数であることを以下のように特徴づけることができます。
命題（連続微分可能な多変数の準凹関数）
非空の凸な開集合上に定義された関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(C^{1}\)級であるものとする。このとき、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:\left[ f\left( \boldsymbol{y}\right) \geq f\left( \boldsymbol{x}\right) \Rightarrow \left( \boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}\right) \cdot \nabla f\left( \boldsymbol{x}\right) \geq 0\right]
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)は準凹関数であるための必要十分条件である。
以上の命題を踏まえると、多変数関数\(f\)が\(C^{2}\)級である場合には、\(f\)が準凹関数であるための必要条件と十分条件をそれぞれ以下のように特定できます。
命題（2階連続微分可能な多変数の準凹関数）
非空の凸な開集合上に定義された関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(C^{2}\)級であるものとする。\(f\)が準凹関数であるならば、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X,\ \forall \boldsymbol{h}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\left[ \nabla f\left(
\boldsymbol{x}\right) \cdot \boldsymbol{h}=0\Rightarrow \boldsymbol{h}^{t}H_{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \boldsymbol{h}\leq 0\right] \end{equation*}が成り立つ。逆に、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in X,\ \forall \boldsymbol{h}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\left[ \nabla f\left(
\boldsymbol{x}\right) \cdot \boldsymbol{h}=0\Rightarrow \boldsymbol{h}^{t}H_{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \boldsymbol{h}<0\right] \end{equation*}が成り立つならば\(f\)は準凹関数である。ただし、\begin{equation*}H_{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\begin{pmatrix}
f_{x_{1}x_{1}}^{\prime \prime }\left( \boldsymbol{x}\right) & \cdots &
f_{x_{1}x_{n}}^{\prime \prime }\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
f_{x_{n}x_{1}}^{\prime \prime }\left( \boldsymbol{x}\right) & \cdots &
f_{x_{n}x_{n}}^{\prime \prime }\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\frac{\partial ^{2}f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}\partial
x_{1}} & \cdots & \frac{\partial ^{2}f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}\partial x_{1}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial ^{2}f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}\partial
x_{n}} & \cdots & \frac{\partial ^{2}f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}\partial x_{n}}\end{pmatrix}\end{equation*}である。
\boldsymbol{x}\right) \cdot \boldsymbol{h}=0\Rightarrow \boldsymbol{h}^{t}H_{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \boldsymbol{h}\leq 0\right] \end{equation*}が成り立つ。逆に、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in X,\ \forall \boldsymbol{h}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\left[ \nabla f\left(
\boldsymbol{x}\right) \cdot \boldsymbol{h}=0\Rightarrow \boldsymbol{h}^{t}H_{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \boldsymbol{h}<0\right] \end{equation*}が成り立つならば\(f\)は準凹関数である。ただし、\begin{equation*}H_{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\begin{pmatrix}
f_{x_{1}x_{1}}^{\prime \prime }\left( \boldsymbol{x}\right) & \cdots &
f_{x_{1}x_{n}}^{\prime \prime }\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
f_{x_{n}x_{1}}^{\prime \prime }\left( \boldsymbol{x}\right) & \cdots &
f_{x_{n}x_{n}}^{\prime \prime }\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\frac{\partial ^{2}f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}\partial
x_{1}} & \cdots & \frac{\partial ^{2}f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}\partial x_{1}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial ^{2}f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}\partial
x_{n}} & \cdots & \frac{\partial ^{2}f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}\partial x_{n}}\end{pmatrix}\end{equation*}である。
多変数関数\(f\)が\(C^{2}\)級である場合、そのヘッセ行列\(H_{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)は対称行列になります。縁付きヘッセ行列を\(D_{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)で表記する場合、以下の関係\begin{eqnarray*}\text{制約条件のもとで}H_{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \text{は半負定値} &\Leftrightarrow &\left\{
\begin{array}{c}
D_{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \text{のすべての奇数次の狭義主座小行列式が非正}\wedge \\
D_{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \text{のすべての偶数次の狭義主座小行列式が非負}\end{array}\right. \\
\text{制約条件のもとで}H_{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \text{は負定値}
&\Leftrightarrow &\left\{
\begin{array}{c}
D_{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \text{のすべての奇数次の狭義主座小行列式が負}\wedge \\
D_{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \text{のすべての偶数次の狭義主座小行列式が正}\end{array}\right.
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題を以下のように言い換えることができます。
命題（2階連続微分可能な多変数の準凹関数）
非空の凸な開集合上に定義された関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(C^{2}\)級であるものとする。このとき、\(f\)が準凹関数であるならば、任意の点\(\boldsymbol{x}\in X\)において\(f\)の縁付きヘッセ行列を\(D_{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)のすべての奇数次の狭義主座小行列式が非正であり、すべての偶数次の狭義主座小行列式が非負である。逆に、任意の点\(\boldsymbol{x}\in X\)において\(f\)の縁付きヘッセ行列を\(D_{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)のすべての奇数次の狭義主座小行列式が負であり、すべての偶数次の狭義主座小行列式が正であるならば、\(f\)は準凹関数である。ただし、\begin{equation*}D_{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\begin{pmatrix}
0 & f_{x_{1}}^{\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) & \cdots &
f_{x_{n}}^{\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) \\
f_{x_{1}}^{\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) & f_{x_{1}x_{1}}^{\prime
\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) & \cdots & f_{x_{1}x_{n}}^{\prime
\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_{x_{n}}^{\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) & f_{x_{n}x_{1}}^{\prime
\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) & \cdots & f_{x_{n}x_{n}}^{\prime
\prime }\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & \frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}} & \cdots
& \frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}} \\
\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}} & \frac{\partial ^{2}f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}\partial x_{1}} &
\cdots & \frac{\partial ^{2}f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial
x_{n}\partial x_{1}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}} & \frac{\partial ^{2}f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}\partial x_{n}} &
\cdots & \frac{\partial ^{2}f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial
x_{n}\partial x_{n}}\end{pmatrix}\end{equation*}である。
0 & f_{x_{1}}^{\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) & \cdots &
f_{x_{n}}^{\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) \\
f_{x_{1}}^{\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) & f_{x_{1}x_{1}}^{\prime
\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) & \cdots & f_{x_{1}x_{n}}^{\prime
\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_{x_{n}}^{\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) & f_{x_{n}x_{1}}^{\prime
\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) & \cdots & f_{x_{n}x_{n}}^{\prime
\prime }\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & \frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}} & \cdots
& \frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}} \\
\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}} & \frac{\partial ^{2}f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}\partial x_{1}} &
\cdots & \frac{\partial ^{2}f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial
x_{n}\partial x_{1}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}} & \frac{\partial ^{2}f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}\partial x_{n}} &
\cdots & \frac{\partial ^{2}f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial
x_{n}\partial x_{n}}\end{pmatrix}\end{equation*}である。
例（多変数の準凹関数）
非空の凸な開集合上に定義された関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の多項式関数であるため\(C^{2}\)級であり、点\(\left( x,y\right) \in X\)における縁付きヘッセ行列は、\begin{equation*}D_{f}\left( x,y\right) =\begin{pmatrix}
0 & f_{x}\left( x,y\right) & f_{y}\left( x,y\right) \\
f_{x}\left( x,y\right) & f_{xx}\left( x,y\right) & f_{xy}\left( x,y\right)
\\
f_{y}\left( x,y\right) & f_{yx}\left( x,y\right) & f_{yy}\left( x,y\right)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & y & x \\
y & 0 & 1 \\
x & 1 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}です。\(D_{f}\left( x,y\right) \)の1次の狭義主座小行列式は、\begin{equation*}\left\vert A_{1}\right\vert =\begin{vmatrix}
0 & y \\
y & 0\end{vmatrix}=-y^{2}
\end{equation*}であり、2次の狭義主座小行列式は、\begin{equation*}
\left\vert A_{2}\right\vert =\begin{vmatrix}
0 & y & x \\
y & 0 & 1 \\
x & 1 & 0\end{vmatrix}=2xy
\end{equation*}です。したがって、\(f\)の定義域が、\begin{equation*}X=\mathbb{R} _{++}^{2}
\end{equation*}である場合には、\begin{eqnarray*}
\left\vert A_{1}\right\vert &<&0 \\
\left\vert A_{2}\right\vert &>&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上において準凹関数です。一方、\(f\)の定義域が、\begin{equation*}X=\mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}である場合、例えば、点\(\left( 1,-1\right) \)において、\begin{equation*}\left\vert A_{2}\right\vert =-2<0
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上では準凹関数ではありません。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の多項式関数であるため\(C^{2}\)級であり、点\(\left( x,y\right) \in X\)における縁付きヘッセ行列は、\begin{equation*}D_{f}\left( x,y\right) =\begin{pmatrix}
0 & f_{x}\left( x,y\right) & f_{y}\left( x,y\right) \\
f_{x}\left( x,y\right) & f_{xx}\left( x,y\right) & f_{xy}\left( x,y\right)
\\
f_{y}\left( x,y\right) & f_{yx}\left( x,y\right) & f_{yy}\left( x,y\right)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & y & x \\
y & 0 & 1 \\
x & 1 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}です。\(D_{f}\left( x,y\right) \)の1次の狭義主座小行列式は、\begin{equation*}\left\vert A_{1}\right\vert =\begin{vmatrix}
0 & y \\
y & 0\end{vmatrix}=-y^{2}
\end{equation*}であり、2次の狭義主座小行列式は、\begin{equation*}
\left\vert A_{2}\right\vert =\begin{vmatrix}
0 & y & x \\
y & 0 & 1 \\
x & 1 & 0\end{vmatrix}=2xy
\end{equation*}です。したがって、\(f\)の定義域が、\begin{equation*}X=\mathbb{R} _{++}^{2}
\end{equation*}である場合には、\begin{eqnarray*}
\left\vert A_{1}\right\vert &<&0 \\
\left\vert A_{2}\right\vert &>&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上において準凹関数です。一方、\(f\)の定義域が、\begin{equation*}X=\mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}である場合、例えば、点\(\left( 1,-1\right) \)において、\begin{equation*}\left\vert A_{2}\right\vert =-2<0
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上では準凹関数ではありません。
例（多変数の準凹関数）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x+y
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は非空の凸な開集合です。\(f\)は多変数の多項式関数であるため\(C^{2}\)級であり、点\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)における縁付きヘッセ行列は、\begin{equation*}D_{f}\left( x,y\right) =\begin{pmatrix}
0 & f_{x}\left( x,y\right) & f_{y}\left( x,y\right) \\
f_{x}\left( x,y\right) & f_{xx}\left( x,y\right) & f_{xy}\left( x,y\right)
\\
f_{y}\left( x,y\right) & f_{yx}\left( x,y\right) & f_{yy}\left( x,y\right)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}です。\(D_{f}\left( x,y\right) \)の1次の狭義主座小行列式は、\begin{equation*}\left\vert A_{1}\right\vert =\begin{vmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0\end{vmatrix}=-1<0
\end{equation*}を満たし、2次の狭義主座小行列式は、\begin{equation*}
\left\vert A_{2}\right\vert =\begin{vmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0\end{vmatrix}=0
\end{equation*}を満たすため、\(f\)は準凹関数であるための必要条件を満たしています。ちなみに、\(f\)は準凹関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は非空の凸な開集合です。\(f\)は多変数の多項式関数であるため\(C^{2}\)級であり、点\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)における縁付きヘッセ行列は、\begin{equation*}D_{f}\left( x,y\right) =\begin{pmatrix}
0 & f_{x}\left( x,y\right) & f_{y}\left( x,y\right) \\
f_{x}\left( x,y\right) & f_{xx}\left( x,y\right) & f_{xy}\left( x,y\right)
\\
f_{y}\left( x,y\right) & f_{yx}\left( x,y\right) & f_{yy}\left( x,y\right)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}です。\(D_{f}\left( x,y\right) \)の1次の狭義主座小行列式は、\begin{equation*}\left\vert A_{1}\right\vert =\begin{vmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0\end{vmatrix}=-1<0
\end{equation*}を満たし、2次の狭義主座小行列式は、\begin{equation*}
\left\vert A_{2}\right\vert =\begin{vmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0\end{vmatrix}=0
\end{equation*}を満たすため、\(f\)は準凹関数であるための必要条件を満たしています。ちなみに、\(f\)は準凹関数です。
演習問題
問題（多変数の準凸関数・準凹関数）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は準凸関数、準凹関数、どちらでもない、のどれでしょうか。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は準凸関数、準凹関数、どちらでもない、のどれでしょうか。
問題（多変数の準凸関数・準凹関数）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\ln \left( x^{2}+y^{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は準凸関数、準凹関数、どちらでもない、のどれでしょうか。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は準凸関数、準凹関数、どちらでもない、のどれでしょうか。
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