確認テスト I（ユークリッド空間上の点列）

以下の問いに答えてください（各5点）。

1. \(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right)}\right) =\left( e^{v},v^{2}\right)
   \end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が収束する場合には極限を求め、収束しない場合には理由を提示してください。
2. \(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right)}\right) =\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v!}\right)
   \end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が収束する場合には極限を求め、収束しない場合には理由を提示してください。
3. \(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right)}\right) =\left( \cos \left( \frac{\pi }{v}\right) ,\sin \left( \frac{\pi }{v}\right) \right)
   \end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が収束する場合には極限を求め、収束しない場合には理由を提示してください。
4. \(\mathbb{R} ^{3}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right)},x_{v}^{\left( 3\right) }\right) =\left( \frac{\ln \left( v\right) }{v},\frac{v^{2}}{e^{v}},\left( -1\right) ^{v}\right)
   \end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が収束する場合には極限を求め、収束しない場合には理由を提示してください。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が与えられたとき、その一般項のノルムを一般項とする\(\mathbb{R} \)上の数列\(\left\{ \left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert \right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert
=+\infty
\end{equation*}が成り立つものとします。この場合、有界集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \boldsymbol{x}_{v}\not\in A\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が与えられたとき、その一般項のノルムを一般項とする\(\mathbb{R} \)上の数列を\(\left\{ \left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert \right\} \)で表記します。以下の問いに答えてください（各10点）。

1. \(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)のすべての座標数列が収束するとともに\(\left\{ \left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert \right\} \)が発散する事態は起こり得るでしょうか。起こり得る場合には具体例を提示し、起こり得ない場合には証明してください。
2. \(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の少なくとも1つの座標数列が発散するとともに\(\left\{\left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert \right\} \)が発散する事態は起こり得るでしょうか。起こり得る場合には具体例を提示し、起こり得ない場合には証明してください。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)がゼロベクトルへ収束する場合には、すなわち、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}=\boldsymbol{0}
\end{equation*}が成り立つ場合には、このような点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)を零列（nullsequence）と呼ぶこととします。\(\mathbb{R} ^{n}\)上の零列をすべて集めることにより得られる集合を、\begin{equation*}A^{n}=\left\{ \left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \ |\ \left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の零列}\right\}
\end{equation*}で表記します。以下の問いに答えてください（各10点）。

1. \(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が零列であることの定義を、イプシロン・エヌ論法を用いて表現してください。
2. 2つの零列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\},\left\{ \boldsymbol{y}_{v}\right\} \in A^{n}\)のベクトル和を、\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} +\left\{ \boldsymbol{y}_{v}\right\}=\left\{ \boldsymbol{x}_{v}+\boldsymbol{y}_{v}\right\}
   \end{equation*}と定義します。ただし、右辺中の\(+\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上のベクトル加法です。以上を踏まえた上で、\begin{equation*}\forall \left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} ,\left\{ \boldsymbol{y}_{v}\right\} \in A^{n}:\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} +\left\{
   \boldsymbol{y}_{v}\right\} \in A^{n}
   \end{equation*}が成り立つことを、イプシロン・エヌ論法を用いて示してください。
3. スカラー\(k\in \mathbb{R} \)と零列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \in A^{n}\)のスカラー倍を、\begin{equation*}k\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} =\left\{ k\boldsymbol{x}_{v}\right\} \end{equation*}と定義します。ただし、右辺中の\(k\boldsymbol{x}_{v}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点のスカラー乗法です。以上を踏まえた上で、\begin{equation*}\forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall \left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \in A^{n}:k\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \in A^{n}
   \end{equation*}が成り立つことを、イプシロン・エヌ論法を用いて示してください。
4. \(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)と点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}=\boldsymbol{a}\Leftrightarrow\left\{ \boldsymbol{x}_{v}-\boldsymbol{a}\right\} \in A^{n}
   \end{equation*}が成り立つことを、イプシロン・エヌ論法を用いて示してください。
5. \(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が与えられたとき、その要素のノルムを一般項とする\(\mathbb{R} \)上の数列を、\begin{equation*}\left\{ \left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert \right\} \end{equation*}で表記します。\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \in A^{n}\Leftrightarrow \left\{
   \left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert \right\} \in A^{1}
   \end{equation*}が成り立つことを、イプシロン・エヌ論法を用いて示してください。