問題1（30点）
問題（単射・全射・全単射）
以下の問いに答えてください（各10点）。
- 写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x-1\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が単射、全射、全単射であるかそれぞれ判定してください。また、\(f\)の像を特定してください。さらに、\(f\)が全単射である場合には逆写像\(f^{-1}\)を特定してください。
- 写像\(g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =x-1\end{equation*}を定めるものとします。\(g\)が単射、全射、全単射であるかそれぞれ判定してください。また、\(g\)の像を特定してください。さらに、\(g\)が全単射である場合には逆写像\(g^{-1}\)を特定してください。
- 写像\(h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}h\left( x\right) =\left( 0,x-1\right) \end{equation*}を定めるものとします。\(h\)が単射、全射、全単射であるかそれぞれ判定してください。また、\(h\)の像を特定してください。さらに、\(h\)が全単射である場合には逆写像\(h^{-1}\)を特定してください。
問題2（15点）
問題（合成写像と恒等写像）
2つの写像\begin{eqnarray*}
f &:&A\rightarrow B \\
g &:&B\rightarrow A
\end{eqnarray*}について以下の条件\begin{equation*}
f\circ g=I_{B}
\end{equation*}が成り立つものとします。ただし、\begin{equation*}
I_{B}:B\rightarrow B
\end{equation*}は恒等写像です。このとき、\(f\)は全射であることを証明してください。
f &:&A\rightarrow B \\
g &:&B\rightarrow A
\end{eqnarray*}について以下の条件\begin{equation*}
f\circ g=I_{B}
\end{equation*}が成り立つものとします。ただし、\begin{equation*}
I_{B}:B\rightarrow B
\end{equation*}は恒等写像です。このとき、\(f\)は全射であることを証明してください。
問題3（20点）
問題（合成写像と単射）
2つの写像\begin{eqnarray*}
f &:&A\rightarrow B \\
g &:&B\rightarrow C
\end{eqnarray*}から合成写像\begin{equation*}
g\circ f:A\rightarrow C
\end{equation*}を定義します。以下の問いに答えてください。
f &:&A\rightarrow B \\
g &:&B\rightarrow C
\end{eqnarray*}から合成写像\begin{equation*}
g\circ f:A\rightarrow C
\end{equation*}を定義します。以下の問いに答えてください。
- \(g\circ f\)が単射である場合には、\(f\)と\(g\)は常に単射であると言えるでしょうか。\(f,g\)がともに単射である場合には証明し、そうではない場合には反例を提示してください。
- \(g\circ f\)が単射である場合には、\(f\)は常に単射であると言えるでしょうか。\(f\)が単射である場合には証明し、そうではない場合には反例を提示してください。
問題4（15点）
問題（単射・全射・全単射の判定）
写像\(f:\mathbb{Z} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q} \)はそれぞれの\(\left( z,n\right) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z,n\right) =\frac{z}{n}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\mathbb{Z} \)はすべての整数からなる集合、\(\mathbb{N} \)はすべての自然数からなる集合、\(\mathbb{Q} \)はすべての有理数からなる集合です。以下の問いに答えてください（各5点）。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\mathbb{Z} \)はすべての整数からなる集合、\(\mathbb{N} \)はすべての自然数からなる集合、\(\mathbb{Q} \)はすべての有理数からなる集合です。以下の問いに答えてください（各5点）。
- \(f\)は単射でしょうか。単射である場合には証明し、単射ではない場合には反例を提示してください。
- \(f\)は全射でしょうか。全射である場合には証明し、全射ではない場合には反例を提示してください。
- \(f\)は全単射でしょうか。全単射である場合には証明し、全単射ではない場合には反例を提示してください。
問題5（20点）
問題（単射の特徴づけ）
写像\(f:B\rightarrow C\)が与えられているものとします。以下の条件\begin{equation*}f\circ g=f\circ h
\end{equation*}を満たす任意の写像\begin{eqnarray*}
g &:&A\rightarrow B \\
h &:&A\rightarrow B
\end{eqnarray*}について、\begin{equation*}
g=h
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が単射であるための必要十分であることを示してください。
\end{equation*}を満たす任意の写像\begin{eqnarray*}
g &:&A\rightarrow B \\
h &:&A\rightarrow B
\end{eqnarray*}について、\begin{equation*}
g=h
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が単射であるための必要十分であることを示してください。
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