集合の次元とアフィン次元
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(X\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間である状況において\(X\)の基底が有限\(m\)個の要素を持つ場合、\(X\)の次元は、\begin{equation*}\dim X=m
\end{equation*}として定義されます。また、集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{n}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)のアフィン部分空間である場合には、すなわち、何らかのベクトル\(\boldsymbol{x}_{0}\in \mathbb{R} ^{n}\)および部分空間\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)を用いて、\begin{equation*}Y=\boldsymbol{x}_{0}+X
\end{equation*}という形で表される場合には、\(Y\)の次元は\(X\)の次元と一致するものとして定義されます。つまり、\begin{equation*}\dim Y=\dim X
\end{equation*}を満たすものとして\(Y\)の次元は定義されます。では、部分空間やアフィン部分空間であるとは限らない\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合に対して、その次元をどのように定義すべきでしょうか。
集合\(C\subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられているものとします。\(C\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間やアフィン部分空間である必要はありません。\(C\)のアフィン包\(\mathrm{Aff}\left( C\right) \)は\(C\)を部分集合として持つアフィン集合の中でも最小のアフィン集合として定義されるとともに、アフィン包\(\mathrm{Aff}\left( C\right) \)は必ず存在します。また、\(C\)の任意個の点の任意のアフィン結合をすべて集めれば\(C\)のアフィン包と一致するため、以下の関係\begin{equation*}\mathrm{Aff}\left( C\right) =\left\{ \sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}\boldsymbol{x}_{i}\ |\ k\in \mathbb{N} \wedge \sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}=1\wedge \forall i\in \left\{ 1,\cdots
,k\right\} :\left( \lambda _{i}\in \mathbb{R} \wedge \boldsymbol{x}_{i}\in C\right) \right\}
\end{equation*}が成り立ちます。アフィン包はアフィン集合であり、アフィン集合はアフィン部分空間であるため、アフィン包の次元\begin{equation*}
\dim \mathrm{Aff}\left( C\right)
\end{equation*}が必ず定まります。これを\(C\)のアフィン次元（affine dimension）と呼びます。その上で、\(C\)の次元を\(C\)のアフィン次元と一致するものとして定義します。つまり、\begin{equation*}\dim C=\dim \mathrm{Aff}\left( C\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(C\)の次元を定義するということです。
\end{equation*}について考えます。\(C\)のアフィン包は、\begin{equation*}\mathrm{Aff}\left( C\right) =\left\{ \left( x,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}であり、これは\(x\)軸に他なりません。したがって\(C\)のアフィン次元は、\begin{equation*}\dim \mathrm{Aff}\left( C\right) =1
\end{equation*}であり、ゆえに\(C\)の次元もまた、\begin{equation*}\dim C=1
\end{equation*}となります。
\end{equation*}について考えます。\(C\)のアフィン包は、\begin{equation*}\mathrm{Aff}\left( C\right) =\left\{ \left( x,y,0\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x,y\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}であり、これは\(xy\)平面に他なりません。したがって\(C\)のアフィン次元は、\begin{equation*}\dim \mathrm{Aff}\left( C\right) =2
\end{equation*}であり、ゆえに\(C\)の次元もまた、\begin{equation*}\dim C=2
\end{equation*}となります。
相対的内部が必要とされる背景
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(C\)が与えられたとき、点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)が\(C\)の内点であることは、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{x}\right) \subset C
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{x}\right) \)は点\(\boldsymbol{x}\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍であり、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left\Vert \boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}\right\Vert <\varepsilon
\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \sum_{i=1}^{n}\left( y_{i}-x_{i}\right) ^{2}<\varepsilon \right\}
\end{eqnarray*}です。\(C\)の内点をすべて集めることにより得られる集合が\(C\)の内部であり、それを、\begin{equation*}C^{i}
\end{equation*}で表記します。定義より、任意の点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)について以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{x}\in C^{i}\Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon
}\left( \boldsymbol{x}\right) \subset C
\end{equation*}が成り立ちます。集合\(C\)とその内部\(C^{i}\)の間には以下の関係\begin{equation*}C^{i}\subset C
\end{equation*}が成り立つため、\(C\)の内点を探す際には\(C\)の点だけ候補となります。以上を踏まえると、集合\(C\subset \mathbb{R} ^{n}\)の内部を、\begin{equation*}C^{i}=\left\{ \boldsymbol{x}\in C\ |\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon
}\left( \boldsymbol{x}\right) \subset C\right\}
\end{equation*}と表現できます。
後に解説する凸解析において現れる集合\(C\subset \mathbb{R} ^{n}\)はしばしば\(\mathbb{R} ^{n}\)の中では次元が落ちてしまうため、どのような点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)をとっても近傍\(N_{\varepsilon}\left( \boldsymbol{x}\right) \)が\(C\)からはみ出してしまい、ゆえに内部\(C^{i}\)が空集合になり、議論の余地がなくなってしまいます。以下が具体例です。
\end{equation*}について考えます。議論の舞台\(\mathbb{R} ^{2}\)の次元は\(2\)である一方で、先に示したように、\begin{equation*}\dim C=1
\end{equation*}です。したがって、点\(\left( x,0\right) \in C\)を任意に選んだとき、その点を中心とする任意の近傍は\(C\)からはみ出てしまうため点\(\left( x,0\right) \)は\(C\)の内点ではありません。\(C\)上の任意の点について同様であるため、\begin{equation*}C^{i}=\phi
\end{equation*}であることが明らかになりました。
\end{equation*}について考えます。議論の舞台\(\mathbb{R} ^{3}\)の次元は\(3\)である一方で、先に示したように、\begin{equation*}\dim C=2
\end{equation*}です。したがって、点\(\left( x,y,0\right) \in C\)を任意に選んだとき、その点を中心とする任意の近傍は\(C\)からはみ出てしまうため点\(\left( x,y,0\right) \)は\(C\)の内点ではありません。\(C\)上の任意の点について同様であるため、\begin{equation*}C^{i}=\phi
\end{equation*}であることが明らかになりました。
これらの例が示すように、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(C\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の中では次元が落ちている場合、その内部\(C^{i}\)はたいてい空集合になってしまいます。このような問題を回避するために、\(\mathbb{R} ^{n}\)を舞台として定義される通常の内部を採用するのではなく、集合\(C\)が実質的に存在しているより低次元の空間を舞台とした上で、\(C\)の内部を改めて定義します。具体的には、\(C\)の内部を定義する際の舞台として\(\mathbb{R} ^{n}\)を採用するのではなく\(C\)のアフィン包を採用します。詳細は以下の通りです。
集合の相対的内部
集合\(C\subset \mathbb{R} ^{n}\)の内部は、\begin{equation*}C^{i}=\left\{ \boldsymbol{x}\in C\ |\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon
}\left( \boldsymbol{x}\right) \subset C\right\}
\end{equation*}と定義されますが、ここでは議論の舞台として\(\mathbb{R} ^{n}\)を採用しています。\(C\)の次元が\(n\)より小さい場合、先の例が示すように\(C\)の内部が空集合になってしまいます。そこで、内部をとる舞台としてアフィン包を\(\mathrm{Aff}\left( C\right) \)を採用すると、\(C\)の内部は、\begin{equation*}\mathrm{ri}\left( C\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in C\ |\ \exists
\varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{x}\right) \cap \mathrm{Aff}\left( C\right) \subset C\right\}
\end{equation*}と定義されます。これを\(C\)の相対的内部（relative interior）と呼びます。つまり、\(C\)を\(\mathrm{Aff}\left(C\right) \)の部分集合とみなし、\(\mathrm{Aff}\left( C\right) \)の相対位相での内部をとったものが\(\mathrm{ri}\left( C\right) \)です。
定義より、任意の集合\(C\subset \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}\mathrm{ri}\left( C\right) \subset C^{i}
\end{equation*}が成り立ちます。特に、\(C\)の次元が\(n\)である場合には、すなわち、\begin{equation}\dim C=n \quad \cdots (1)
\end{equation}である場合には、\begin{eqnarray*}
n &=&\dim C\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\dim \mathrm{Aff}\left( C\right) \quad \because \text{集合の次元の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation}
\mathrm{Aff}\left( C\right) =\mathbb{R} ^{n} \quad \cdots (2)
\end{equation}であり、したがって、\begin{eqnarray*}
\mathrm{ri}\left( C\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in C\ |\ \exists
\varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{x}\right) \cap \mathrm{Aff}\left( C\right) \subset C\right\} \quad \because \text{相対的内部の定義} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in C\ |\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon
}\left( \boldsymbol{x}\right) \cap \mathbb{R} ^{n}\subset C\right\} \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in C\ |\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon
}\left( \boldsymbol{x}\right) \subset C\right\} \\
&=&C^{i}\quad \because \text{内部の定義}
\end{eqnarray*}を得ます。つまり、\(C\)の次元が\(n\)である場合、\(C\)の相対的内部は通常の内部と一致するため、相対的内部は内部を一般化した概念です。
集合\(C\subset \mathbb{R} ^{n}\)の次元が\(n\)より小さい場合、\(C\)の内部が空集合である一方で、\(C\)の相対的内部は非空であるような状況が起こり得ます。以下の例より明らかです。
\end{equation*}について考えます。先に示したように、\begin{equation*}
\mathrm{Aff}\left( C\right) =\left\{ \left( x,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}です。また、\begin{equation*}
\dim C=1
\end{equation*}であるとともに、\begin{equation*}
C^{i}=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、\begin{equation*}
\mathrm{ri}\left( C\right) =\left\{ \left( x,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0<x<1\right\}
\end{equation*}です（演習問題）。
\end{equation*}について考えます。先に示したように、\begin{equation*}
\mathrm{Aff}\left( C\right) =\left\{ \left( x,y,0\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x,y\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}です。また、\begin{equation*}
\dim C=2
\end{equation*}であるとともに、\begin{equation*}
C^{i}=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、\begin{equation*}
\mathrm{ri}\left( C\right) =\left\{ \left( x,y,0\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x^{2}+y^{2}<1\right\}
\end{equation*}です（演習問題）。
集合の相対的境界
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(C\)が与えられたとき、点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)が\(C\)の触点であることは、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{x}\right) \cap
C\not=\phi
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。\(C\)の触点をすべて集めることにより得られる集合が\(C\)の閉包であり、それを、\begin{equation*}C^{a}
\end{equation*}で表記します。定義より、任意の点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)について以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{x}\in C^{a}\Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon
}\left( \boldsymbol{x}\right) \cap C\not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。
集合\(C\subset \mathbb{R} ^{n}\)の閉包と相対的内部の差集合\begin{equation*}C^{a}/\mathrm{ri}\left( C\right)
\end{equation*}を\(C\)の相対的境界（relative boundary）と呼びます。
\end{equation*}について考えます。\(C\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の閉集合であり、閉集合とその閉包は一致するため、\begin{equation*}C^{a}=C
\end{equation*}を得ます。その一方で、先に示したように、\begin{equation*}
\mathrm{ri}\left( C\right) =\left\{ \left( x,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0<x<1\right\}
\end{equation*}であるため、\(C\)の相対的境界は、\begin{eqnarray*}C^{a}/\mathrm{ri}\left( C\right) &=&C/\mathrm{ri}\left( C\right) \\
&=&\left\{ \left( x,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x\leq 1\right\} /\left\{ \left( x,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0<x<1\right\} \\
&=&\left\{ \left( 0,0\right) ,\left( 1,0\right) \right\}
\end{eqnarray*}です。
\end{equation*}について考えます。\(C\)は\(\mathbb{R} ^{3}\)上の閉集合であり、閉集合とその閉包は一致するため、\begin{equation*}C^{a}=C
\end{equation*}を得ます。その一方で、先に示したように、\begin{equation*}
\mathrm{ri}\left( C\right) =\left\{ \left( x,y,0\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x^{2}+y^{2}<1\right\}
\end{equation*}であるため、\(C\)の相対的境界は、\begin{eqnarray*}C^{a}/\mathrm{ri}\left( C\right) &=&C/\mathrm{ri}\left( C\right) \\
&=&\left\{ \left( x,y,0\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\} /\left\{ \left( x,y,0\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x^{2}+y^{2}<1\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y,0\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x^{2}+y^{2}=1\right\}
\end{eqnarray*}です。
凸集合の相対的内部
凸集合の相対的内部は凸集合です。
凸集合の相対的内部は凸集合であることが明らかになりました。特に、非空な凸集合の相対的内部もまた非空な凸集合です。
演習問題
C=\left\{ \left( x,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x\leq 1\right\}
\end{equation*}の相対的内部が、\begin{equation*}
\mathrm{ri}\left( C\right) =\left\{ \left( x,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0<x<1\right\}
\end{equation*}であることを示してください。
C=\left\{ \left( x,y,0\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}
\end{equation*}の相対的内部が、\begin{equation*}
\mathrm{ri}\left( C\right) =\left\{ \left( x,y,0\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x^{2}+y^{2}<1\right\}
\end{equation*}であることを示してください。
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