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数の体系

数の概念が自然数から整数、そして有理数へと拡張されてきた背景には、もとの数の範囲では不可能であった演算を可能にするという動機があります。また、数直線上に点を隙間なく並べるためには数の概念を有理数から実数へ拡張する必要があります。

命題論理とは何か

命題論理では個々の命題が具体的に何について言及しているかを問題とせず、それらを単に真か偽のどちらかの値をとる変数とみなした上で、考察対象である推論を記号化します。

無限小数としての実数

実数は有理数と無理数をあわせたもののことです。有理数は循環する無限小数であり無理数は循環しない無限小数ですから、実数とは循環するものとしないものを含めたすべての無限小数のことです。

国内総生産（GDP）の定義

国民経済計算（SNA）が提供する経済指標の中で最も重要な指標の1つが国内総生産（GDP）です。GDPについて解説します。

拡大実数系における演算

拡大実数系における四則演算（加法・減法・乗法・除法）を定義します。

公理主義的実数論

実数を無限小数として定義する場合、実数に関する議論はすべて無限小数に関する議論として行うことになるため不便です。そこで登場するのが公理主義という手法です。

区間の集合族

区間の長さと、その区間を分割して得られる小区間の長さの関係は、数直線の部分集合どうしの外延量の関係として捉えることができます。つまり、「区間の長さ」という外延量は数直線の部分集合族に導入されるということです。この集合族は集合半環としての性質を満たします。

実ベクトル空間における基底と座標の変換

実ベクトル空間において基底を変換する方法やベクトルの座標を変換する方法を解説するとともに、それらの操作の関係について説明します。

ユークリッド空間上の区間の集合族

ユークリッド空間上の区間（直方体）という概念を定義するとともに、区間からなる集合族は集合半環であることを示します。

拡大実数系における順序

拡大実数系における順序（大小関係・狭義大小関係）を定義するとともに、それに付随して定義される諸概念（最大値・最小値・上界・下界・上限・下限・絶対値）について解説します。

国内総所得（GDI）の定義

国民経済計算（SNA）が提供する経済指標の1つである国内総所得（GDI）について解説します。理論上、GDIはGDPと一致します。

順列の置換とその符号

1以上n以下の自然数を何らかの順番のもとで並べて列にしたものを順列と呼びます。小さい順番に並んでいる自然数の順列の成分を並び替える操作を置換と呼びます。

集合の定義と表記

与えられた条件を満たす対象をすべて集めたものを集合と呼びます。集合は命題関数から定義することもできます。集合の表記方法としては、外延的表記と内包的表記があります。

数列の定義と具体例

実数を順番に並べたものを数列や実数列と呼びます。数列はすべての自然数からなる集合を定義域とし、すべての実数からなる集合を終集合とする写像として定式化することもできます。

関数の微分の定義

実数空間の部分集合上に定義された関数が定義域上の点において微分可能であることの意味を定義します。また、関数を微分することの直感的な意味を解説します。

二項関係の定義と具体例

複数の物事が互いに関わり合っている状態を関係と呼びますが、数学において関係（二項関係）とは、2つの集合の直積の部分集合として定式化されます。

写像の定義

集合 A のそれぞれの要素に対して集合 B の要素を 1 つずつ定める規則のことを A から B への写像と呼びます。

対応の定義

集合のそれぞれの要素に対して別の集合の部分集合を1つずつ定める規則を対応と呼びます。

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