点列の集積点
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)が与えられたとき、点\(\boldsymbol{a}\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(\mathbb{R} ^{n}\)の点からなる集合を、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\varepsilon \right\}
\\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right\Vert <\varepsilon
\right\}
\end{eqnarray*}で表記し、これを点\(\boldsymbol{a}\)の近傍と呼びます。
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)と点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、点\(\boldsymbol{a}\)を中心とする任意の近傍が\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)に属する無限個の点を要素として持つ場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \text{は}\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \text{に属する無限個の点を要素として持つ}
\end{equation*}が成り立つ場合には、このような点\(\boldsymbol{a}\)を点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点（accumulation point）と呼びます。
例（数列の集積点）
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x}_{v} &=&\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right)
}\right) \\
&=&\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v^{2}}\right)
\end{eqnarray*}であるものとします。点\(\left( 0,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を中心とする近傍\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( 0,0\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ d\left( \left( x,y\right) ,\left( 0,0\right) \right) <\varepsilon
\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\varepsilon \right\}
\end{eqnarray*}に注目します。十分大きい\(N\in \mathbb{N} \)のもとでは、\begin{equation*}\sqrt{\left( \frac{1}{N}\right) ^{2}+\left( \frac{1}{N^{2}}\right) ^{2}}<\varepsilon
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}_{N}\in N_{\varepsilon }\left( 0,0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。\(N\)より大きい自然数\(v\in \mathbb{N} \)は無限に存在するとともに、そのような任意の\(v\)について、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}\in N_{\varepsilon }\left( 0,0\right)
\end{equation*}が成り立つため、点\(\left( 0,0\right) \)は点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点であることが明らかになりました。
}\right) \\
&=&\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v^{2}}\right)
\end{eqnarray*}であるものとします。点\(\left( 0,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を中心とする近傍\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( 0,0\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ d\left( \left( x,y\right) ,\left( 0,0\right) \right) <\varepsilon
\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\varepsilon \right\}
\end{eqnarray*}に注目します。十分大きい\(N\in \mathbb{N} \)のもとでは、\begin{equation*}\sqrt{\left( \frac{1}{N}\right) ^{2}+\left( \frac{1}{N^{2}}\right) ^{2}}<\varepsilon
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}_{N}\in N_{\varepsilon }\left( 0,0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。\(N\)より大きい自然数\(v\in \mathbb{N} \)は無限に存在するとともに、そのような任意の\(v\)について、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}\in N_{\varepsilon }\left( 0,0\right)
\end{equation*}が成り立つため、点\(\left( 0,0\right) \)は点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点であることが明らかになりました。
部分列を用いた集積点の特徴づけ
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)と点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(\boldsymbol{a}\)が\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点であることと、\(\boldsymbol{a}\)へ収束する\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の部分列が存在することは必要十分です。
命題（部分列を用いた集積点の特徴づけ）
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)と点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(\boldsymbol{a}\)が\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点であることと、\(\boldsymbol{a}\)へ収束する\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の部分列が存在することは必要十分である。
例（部分列を用いた集積点の特徴づけ）
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x}_{v} &=&\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right)
}\right) \\
&=&\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v^{2}}\right)
\end{eqnarray*}であるものとします。先に例を通じて確認したように、点\(\left(0,0\right) \)はこの点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点です。同じことを先の命題を用いて示します。具体的には、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の偶数番目の項からなる部分列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{2v}\right\} \)に注目した場合、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{2v} &=&\lim_{v\rightarrow
+\infty }\left( x_{2v}^{\left( 1\right) },x_{2v}^{\left( 2\right) }\right)
\\
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{2v},\frac{1}{4v^{2}}\right)
\\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より点\(\left( 0,0\right) \)は点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点です。
}\right) \\
&=&\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v^{2}}\right)
\end{eqnarray*}であるものとします。先に例を通じて確認したように、点\(\left(0,0\right) \)はこの点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点です。同じことを先の命題を用いて示します。具体的には、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の偶数番目の項からなる部分列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{2v}\right\} \)に注目した場合、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{2v} &=&\lim_{v\rightarrow
+\infty }\left( x_{2v}^{\left( 1\right) },x_{2v}^{\left( 2\right) }\right)
\\
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{2v},\frac{1}{4v^{2}}\right)
\\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より点\(\left( 0,0\right) \)は点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点です。
点列の極限と集積点の違い
点列の極限は唯一の集積点です。
命題（点列の極限は唯一の集積点）
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)へ収束する場合、\(\boldsymbol{a}\)は\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の唯一の集積点である。
例（点列の極限は集積点）
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x}_{v} &=&\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right)
}\right) \\
&=&\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v^{2}}\right)
\end{eqnarray*}であるものとします。先に例を通じて確認したように、点\(\left(0,0\right) \)はこの点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点です。同じことを先の命題を用いて示します。実際、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v} &=&\lim_{v\rightarrow +\infty
}\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v^{2}}\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}であるため、先の命題より\(\left( 0,0\right) \)は\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点です。
}\right) \\
&=&\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v^{2}}\right)
\end{eqnarray*}であるものとします。先に例を通じて確認したように、点\(\left(0,0\right) \)はこの点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点です。同じことを先の命題を用いて示します。実際、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v} &=&\lim_{v\rightarrow +\infty
}\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v^{2}}\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}であるため、先の命題より\(\left( 0,0\right) \)は\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点です。
先の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、点列の集積点は極限と一致するとは限りません。以下の例より明らかです。
例（極限ではない集積点）
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x}_{v} &=&\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right)
}\right) \\
&=&\left( \left( -1\right) ^{v},\left( -1\right) ^{v+1}\right)
\end{eqnarray*}であるものとします。この点列は収束せず、ゆえに極限は存在しません。その一方で、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の偶数番目の項からなる部分列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{2v}\right\} \)に注目した場合、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{2v} &=&\lim_{v\rightarrow
+\infty }\left( x_{2v}^{\left( 1\right) },x_{2v}^{\left( 2\right) }\right)
\\
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\left( \left( -1\right) ^{2v},\left(
-1\right) ^{2v+1}\right) \\
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\left( 1,-1\right) \\
&=&\left( 1,-1\right)
\end{eqnarray*}であるため、\(\left( 1,-1\right) \)は\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点です。また、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の奇数番目の項からなる部分列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{2v-1}\right\} \)に注目した場合、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{2v-1} &=&\lim_{v\rightarrow
+\infty }\left( x_{2v-1}^{\left( 1\right) },x_{2v-1}^{\left( 2\right)
}\right) \\
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\left( \left( -1\right) ^{2v-1},\left(
-1\right) ^{2v}\right) \\
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\left( -1,1\right) \\
&=&\left( -1,1\right)
\end{eqnarray*}であるため、\(\left( -1,1\right) \)は\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点です。以上より、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は極限を持たない一方で2つの集積点\(\left( 1,-1\right) ,\left( -1,1\right) \)を持つことが明らかになりました。
}\right) \\
&=&\left( \left( -1\right) ^{v},\left( -1\right) ^{v+1}\right)
\end{eqnarray*}であるものとします。この点列は収束せず、ゆえに極限は存在しません。その一方で、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の偶数番目の項からなる部分列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{2v}\right\} \)に注目した場合、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{2v} &=&\lim_{v\rightarrow
+\infty }\left( x_{2v}^{\left( 1\right) },x_{2v}^{\left( 2\right) }\right)
\\
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\left( \left( -1\right) ^{2v},\left(
-1\right) ^{2v+1}\right) \\
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\left( 1,-1\right) \\
&=&\left( 1,-1\right)
\end{eqnarray*}であるため、\(\left( 1,-1\right) \)は\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点です。また、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の奇数番目の項からなる部分列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{2v-1}\right\} \)に注目した場合、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{2v-1} &=&\lim_{v\rightarrow
+\infty }\left( x_{2v-1}^{\left( 1\right) },x_{2v-1}^{\left( 2\right)
}\right) \\
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\left( \left( -1\right) ^{2v-1},\left(
-1\right) ^{2v}\right) \\
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\left( -1,1\right) \\
&=&\left( -1,1\right)
\end{eqnarray*}であるため、\(\left( -1,1\right) \)は\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点です。以上より、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は極限を持たない一方で2つの集積点\(\left( 1,-1\right) ,\left( -1,1\right) \)を持つことが明らかになりました。
有界な点列は集積点を持つ
点列は集積点を持つとは限りません。以下の例より明らかです。
例（集積点を持たない点列）
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x}_{v} &=&\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right)
}\right) \\
&=&\left( v,v^{2}\right)
\end{eqnarray*}であるものとします。この点列は集積しません。この点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の部分列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{l\left( v\right) }\right\} \)を任意に選ぶと、その一般項は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x}_{l\left( v\right) } &=&\left( x_{l\left( v\right) }^{\left(
1\right) },x_{l\left( v\right) }^{\left( 2\right) }\right) \\
&=&\left( l\left( v\right) ,\left[ l\left( v\right) \right] ^{2}\right)
\end{eqnarray*}となりますが、部分列の定義より\(l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)は狭義単調増加関数であるためこの部分列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{l\left( v\right) }\right\} \)もまた収束しません。任意の部分列について同様であるため、この点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は収束する部分列を持たないことが明らかになりました。したがって\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は集積点を持ちません。
}\right) \\
&=&\left( v,v^{2}\right)
\end{eqnarray*}であるものとします。この点列は集積しません。この点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の部分列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{l\left( v\right) }\right\} \)を任意に選ぶと、その一般項は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x}_{l\left( v\right) } &=&\left( x_{l\left( v\right) }^{\left(
1\right) },x_{l\left( v\right) }^{\left( 2\right) }\right) \\
&=&\left( l\left( v\right) ,\left[ l\left( v\right) \right] ^{2}\right)
\end{eqnarray*}となりますが、部分列の定義より\(l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)は狭義単調増加関数であるためこの部分列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{l\left( v\right) }\right\} \)もまた収束しません。任意の部分列について同様であるため、この点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は収束する部分列を持たないことが明らかになりました。したがって\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は集積点を持ちません。
点列が有界ならば、ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理より、その点列は収束する部分列を持ちます。したがって有界な点列は集積点を持ちます。
命題（有界な点列は集積点を持つ）
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が有界であるならば、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点が存在する。
例（有界な点列は集積点を持つ）
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x}_{v} &=&\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right)
}\right) \\
&=&\left( \left( -1\right) ^{v},\left( -1\right) ^{v+1}\right)
\end{eqnarray*}であるものとします。この点列は収束せず、ゆえに極限は存在しません。その一方で、\begin{equation*}
\forall v\in \mathbb{N} :\boldsymbol{x}_{v}\in \left[ -1,1\right] \times \left[ -1,1\right] \end{equation*}が成り立つため\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は有界であり、ゆえに先の命題より\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点が存在します。実際、先に例を通じて確認したように\(\left( 1,-1\right) \)と\(\left(-1,1\right) \)は\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
}\right) \\
&=&\left( \left( -1\right) ^{v},\left( -1\right) ^{v+1}\right)
\end{eqnarray*}であるものとします。この点列は収束せず、ゆえに極限は存在しません。その一方で、\begin{equation*}
\forall v\in \mathbb{N} :\boldsymbol{x}_{v}\in \left[ -1,1\right] \times \left[ -1,1\right] \end{equation*}が成り立つため\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は有界であり、ゆえに先の命題より\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点が存在します。実際、先に例を通じて確認したように\(\left( 1,-1\right) \)と\(\left(-1,1\right) \)は\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
例（有界な点列は集積点を持つ）
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)へ収束するものとします。収束する点列は有界であるため、先の命題より\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は集積点を持ちます。実際、先に明らかになったように、点列の極限は唯一の集積点でもあるため、\(\boldsymbol{a}\)は\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の唯一の集積点です。
演習問題
問題（点列の極限と集積点）
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}=\left( \frac{1}{v},\frac{\left( -1\right) ^{v}}{v}\right)
\end{equation*}であるものとします。\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点を求めてください。
\end{equation*}であるものとします。\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点を求めてください。
問題（点列の極限と集積点）
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}=\left\{
\begin{array}{cc}
\left( 1,1\right) & \left( if\ v\text{が奇数}\right) \\
\left( v,v^{2}\right) & \left( if\ v\text{が偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点を求めてください。
\begin{array}{cc}
\left( 1,1\right) & \left( if\ v\text{が奇数}\right) \\
\left( v,v^{2}\right) & \left( if\ v\text{が偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点を求めてください。
問題（点列の極限と集積点）
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}=\left( \left( -1\right) ^{v},\frac{1}{v}\right)
\end{equation*}であるものとします。\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点を求めてください。
\end{equation*}であるものとします。\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点を求めてください。
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