アフィン写像の定義
線形写像について簡単に復習した上で、それとの関連でアフィン写像と呼ばれる概念を定義します。
始集合と終集合がユークリッド空間であるような写像\begin{equation*}
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}
&&\left( L_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) =\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) +\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{y}\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( k\boldsymbol{x}\right) =k\boldsymbol{f}\left(
\boldsymbol{x}\right)
\end{eqnarray*}を満たすこととして定義されます。以上の性質を総称して線型性と呼びます。
写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられているものとします。これは線形写像である必要はありません。この写像\(\boldsymbol{f}\)に対して何らかの線形写像\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)および終集合上のベクトル\(\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}\)が存在して、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{g}\left(
\boldsymbol{x}\right) +\boldsymbol{b}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}=\boldsymbol{g}+\boldsymbol{b}
\end{equation*}という形で表すことができる場合、\(\boldsymbol{f}\)をアフィン写像（affine mapping）と呼びます。
線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、ゼロベクトル\(\boldsymbol{0}\in \mathbb{R} ^{m}\)について、\begin{equation*}\boldsymbol{f}=\boldsymbol{f}+\boldsymbol{0}
\end{equation*}と表すことができるため、\(\boldsymbol{f}\)はアフィン写像でもあります。つまり、任意の線形写像はアフィン写像です。逆に、アフィン写像は線形写像であるとは限りません。以下の例より明らかです。
例（線形写像とアフィン写像）
写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
-2x+y \\
3x+8y\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ベクトル\(\left( x_{1},y_{1}\right),\left( x_{2},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
y_{1}\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
x_{2} \\
y_{2}\end{array}\right) \right) &=&\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x_{1}+x_{2} \\
y_{1}+y_{2}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-2\left( x_{1}+x_{2}\right) +\left( y_{1}+y_{2}\right) \\
3\left( x_{1}+x_{2}\right) +8\left( y_{1}+y_{2}\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-2x_{1}+y_{1} \\
3x_{1}+8y_{1}\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
-2x_{2}+y_{2} \\
3x_{2}+8y_{2}\end{array}\right) \\
&=&\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
y_{1}\end{array}\right) +\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x_{2} \\
y_{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\boldsymbol{f}\)は加法性を満たします。また、スカラー\(k\in \mathbb{R} \)とベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( k\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \right) &=&\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
kx \\
ky\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-2\left( kx\right) +ky \\
3\left( kx\right) +8\left( ky\right)
\end{array}\right) \\
&=&k\left(
\begin{array}{c}
-2x+y \\
3x+8y\end{array}\right) \\
&=&k\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\boldsymbol{f}\)は斉次性を満たします。以上より、\(\boldsymbol{f}\)が線形写像であることが明らかになりました。以上を踏まえた上で、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
-2x+y+5 \\
3x+8y-2\end{array}\right)
\end{equation*}を定める写像\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)に注目すると、任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{g}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-2x+y+5 \\
3x+8y-2\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-2x+y \\
3x+8y\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
5 \\
-2\end{array}\right) \\
&=&\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
5 \\
-2\end{array}\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{g}=\boldsymbol{f}+\left(
\begin{array}{c}
5 \\
-2\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(\boldsymbol{g}\)はアフィン写像です。その一方で、\(\boldsymbol{g}\)は線形写像ではありません。なぜなら、線形写像によるゼロベクトルの像はゼロベクトルであるのに対して、\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
5 \\
-2\end{array}\right) \not=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つからです。
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
-2x+y \\
3x+8y\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ベクトル\(\left( x_{1},y_{1}\right),\left( x_{2},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
y_{1}\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
x_{2} \\
y_{2}\end{array}\right) \right) &=&\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x_{1}+x_{2} \\
y_{1}+y_{2}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-2\left( x_{1}+x_{2}\right) +\left( y_{1}+y_{2}\right) \\
3\left( x_{1}+x_{2}\right) +8\left( y_{1}+y_{2}\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-2x_{1}+y_{1} \\
3x_{1}+8y_{1}\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
-2x_{2}+y_{2} \\
3x_{2}+8y_{2}\end{array}\right) \\
&=&\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
y_{1}\end{array}\right) +\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x_{2} \\
y_{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\boldsymbol{f}\)は加法性を満たします。また、スカラー\(k\in \mathbb{R} \)とベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( k\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \right) &=&\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
kx \\
ky\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-2\left( kx\right) +ky \\
3\left( kx\right) +8\left( ky\right)
\end{array}\right) \\
&=&k\left(
\begin{array}{c}
-2x+y \\
3x+8y\end{array}\right) \\
&=&k\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\boldsymbol{f}\)は斉次性を満たします。以上より、\(\boldsymbol{f}\)が線形写像であることが明らかになりました。以上を踏まえた上で、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
-2x+y+5 \\
3x+8y-2\end{array}\right)
\end{equation*}を定める写像\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)に注目すると、任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{g}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-2x+y+5 \\
3x+8y-2\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-2x+y \\
3x+8y\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
5 \\
-2\end{array}\right) \\
&=&\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
5 \\
-2\end{array}\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{g}=\boldsymbol{f}+\left(
\begin{array}{c}
5 \\
-2\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(\boldsymbol{g}\)はアフィン写像です。その一方で、\(\boldsymbol{g}\)は線形写像ではありません。なぜなら、線形写像によるゼロベクトルの像はゼロベクトルであるのに対して、\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
5 \\
-2\end{array}\right) \not=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つからです。
行列による変換としてのアフィン写像
線形写像は行列によって表現されることについて簡単に復習した上で、アフィン写像の意味を解説します。
線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)に対しては、任意のベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =A\boldsymbol{x}
\end{equation*}を満たす行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在するとともに、このような行列\(A\)が一意的に定まります。しかも、この行列\(A\)は\(\boldsymbol{f}\)の標準行列\begin{equation*}M\left( \boldsymbol{f}\right) =\left( \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) ,\cdots ,\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{n}\right) \right)
\end{equation*}と一致します。ただし、\(\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底です。
以上の事実とアフィン写像の定義を踏まえると、アフィン写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)に対しては、任意のベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =A\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}
\end{equation*}を満たす行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)とベクトル\(\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}\)が存在することが保証されます。
例（線形写像とアフィン写像）
写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
-2x+y \\
3x+8y\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(\boldsymbol{f}\)は線形写像です。\(\boldsymbol{f}\)の標準行列は、\begin{eqnarray*}M\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left( \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) ,\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{2}\right) \right) \\
&=&\left( \boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \right) \\
&=&\begin{pmatrix}
-2 & 1 \\
3 & 8\end{pmatrix}\end{eqnarray*}です。実際、任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\begin{pmatrix}
-2 & 1 \\
3 & 8\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-2x+y \\
3x+8y\end{array}\right) \\
&=&\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上を踏まえた上で、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
-2x+y+5 \\
3x+8y-2\end{array}\right)
\end{equation*}を定める写像\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)に注目します。先に示したように\(\boldsymbol{g}\)はアフィン写像です。実際、任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\begin{pmatrix}
-2 & 1 \\
3 & 8\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
5 \\
-2\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-2x+y \\
3x+8y\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
5 \\
-2\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-2x+y+5 \\
3x+8y-2\end{array}\right) \\
&=&\boldsymbol{g}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
-2x+y \\
3x+8y\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(\boldsymbol{f}\)は線形写像です。\(\boldsymbol{f}\)の標準行列は、\begin{eqnarray*}M\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left( \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) ,\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{2}\right) \right) \\
&=&\left( \boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \right) \\
&=&\begin{pmatrix}
-2 & 1 \\
3 & 8\end{pmatrix}\end{eqnarray*}です。実際、任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\begin{pmatrix}
-2 & 1 \\
3 & 8\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-2x+y \\
3x+8y\end{array}\right) \\
&=&\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上を踏まえた上で、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
-2x+y+5 \\
3x+8y-2\end{array}\right)
\end{equation*}を定める写像\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)に注目します。先に示したように\(\boldsymbol{g}\)はアフィン写像です。実際、任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\begin{pmatrix}
-2 & 1 \\
3 & 8\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
5 \\
-2\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-2x+y \\
3x+8y\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
5 \\
-2\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-2x+y+5 \\
3x+8y-2\end{array}\right) \\
&=&\boldsymbol{g}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
例（線形写像とアフィン写像）
2次の対角行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a_{1} & 0 \\
0 & a_{2}\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}から定義される線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) &=&A\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \\
&=&\begin{pmatrix}
a_{1} & 0 \\
0 & a_{2}\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a_{1}x \\
a_{2}y\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、\(\boldsymbol{f}\)は入力したベクトルの\(x\)座標を\(a_{1}\)倍し、\(y\)座標を\(a_{2}\)倍する線形写像です。一方、2次の対角行列とベクトル\begin{eqnarray*}A &=&\begin{pmatrix}
a_{1} & 0 \\
0 & a_{2}\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \\
\boldsymbol{b} &=&\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}から定義されるアフィン写像\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{g}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) &=&A\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) +\boldsymbol{b} \\
&=&\begin{pmatrix}
a_{1} & 0 \\
0 & a_{2}\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a_{1}x \\
a_{2}y\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、\(\boldsymbol{g}\)は入力したベクトルの\(x\)座標を\(a_{1}\)倍し、\(y\)座標を\(a_{2}\)倍した上で、さらに移動後のベクトルを\(\boldsymbol{b}\)だけ移動するアフィン写像です。対角行列とベクトルによって特徴づけられるアフィン写像は拡大変換・縮小変換・相似変換と平行移動の組合せであるということです。
A=\begin{pmatrix}
a_{1} & 0 \\
0 & a_{2}\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}から定義される線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) &=&A\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \\
&=&\begin{pmatrix}
a_{1} & 0 \\
0 & a_{2}\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a_{1}x \\
a_{2}y\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、\(\boldsymbol{f}\)は入力したベクトルの\(x\)座標を\(a_{1}\)倍し、\(y\)座標を\(a_{2}\)倍する線形写像です。一方、2次の対角行列とベクトル\begin{eqnarray*}A &=&\begin{pmatrix}
a_{1} & 0 \\
0 & a_{2}\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \\
\boldsymbol{b} &=&\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}から定義されるアフィン写像\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{g}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) &=&A\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) +\boldsymbol{b} \\
&=&\begin{pmatrix}
a_{1} & 0 \\
0 & a_{2}\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a_{1}x \\
a_{2}y\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、\(\boldsymbol{g}\)は入力したベクトルの\(x\)座標を\(a_{1}\)倍し、\(y\)座標を\(a_{2}\)倍した上で、さらに移動後のベクトルを\(\boldsymbol{b}\)だけ移動するアフィン写像です。対角行列とベクトルによって特徴づけられるアフィン写像は拡大変換・縮小変換・相似変換と平行移動の組合せであるということです。
例（線形写像とアフィン写像）
実数\(\theta \in \mathbb{R} \)から定義される以下の行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
\cos \left( \theta \right) & -\sin \left( \theta \right) \\
\sin \left( \theta \right) & \cos \left( \theta \right)
\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}から定義される線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) &=&A\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \\
&=&\begin{pmatrix}
\cos \left( \theta \right) & -\sin \left( \theta \right) \\
\sin \left( \theta \right) & \cos \left( \theta \right)
\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
x\cos \left( \theta \right) -y\sin \left( \theta \right) \\
x\sin \left( \theta \right) +y\cos \left( \theta \right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、\(\boldsymbol{f}\)は入力したベクトルを原点を中心に\(\theta \)だけ回転させます。一方、2次の対角行列とベクトル\begin{eqnarray*}A &=&\begin{pmatrix}
\cos \left( \theta \right) & -\sin \left( \theta \right) \\
\sin \left( \theta \right) & \cos \left( \theta \right)
\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \\
\boldsymbol{b} &=&\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}から定義されるアフィン写像\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{g}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) &=&A\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) +\boldsymbol{b} \\
&=&\begin{pmatrix}
\cos \left( \theta \right) & -\sin \left( \theta \right) \\
\sin \left( \theta \right) & \cos \left( \theta \right)
\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
x\cos \left( \theta \right) -y\sin \left( \theta \right) \\
x\sin \left( \theta \right) +y\cos \left( \theta \right)
\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、\(\boldsymbol{g}\)は入力したベクトルを原点を中心に\(\theta \)だけ回転した上で、さらに移動後のベクトルを\(\boldsymbol{b}\)だけ移動するアフィン写像です。つまり、先のような行列とベクトルによって特徴づけられるアフィン写像は回転と平行移動の組合せであるということです。
\cos \left( \theta \right) & -\sin \left( \theta \right) \\
\sin \left( \theta \right) & \cos \left( \theta \right)
\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}から定義される線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) &=&A\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \\
&=&\begin{pmatrix}
\cos \left( \theta \right) & -\sin \left( \theta \right) \\
\sin \left( \theta \right) & \cos \left( \theta \right)
\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
x\cos \left( \theta \right) -y\sin \left( \theta \right) \\
x\sin \left( \theta \right) +y\cos \left( \theta \right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、\(\boldsymbol{f}\)は入力したベクトルを原点を中心に\(\theta \)だけ回転させます。一方、2次の対角行列とベクトル\begin{eqnarray*}A &=&\begin{pmatrix}
\cos \left( \theta \right) & -\sin \left( \theta \right) \\
\sin \left( \theta \right) & \cos \left( \theta \right)
\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \\
\boldsymbol{b} &=&\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}から定義されるアフィン写像\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{g}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) &=&A\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) +\boldsymbol{b} \\
&=&\begin{pmatrix}
\cos \left( \theta \right) & -\sin \left( \theta \right) \\
\sin \left( \theta \right) & \cos \left( \theta \right)
\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
x\cos \left( \theta \right) -y\sin \left( \theta \right) \\
x\sin \left( \theta \right) +y\cos \left( \theta \right)
\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、\(\boldsymbol{g}\)は入力したベクトルを原点を中心に\(\theta \)だけ回転した上で、さらに移動後のベクトルを\(\boldsymbol{b}\)だけ移動するアフィン写像です。つまり、先のような行列とベクトルによって特徴づけられるアフィン写像は回転と平行移動の組合せであるということです。
アフィン写像による凸集合の像は凸集合
アフィン写像による凸集合の像は凸集合になることが保証されます。
命題（アフィン写像による凸集合の像は凸集合）
アフィン写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と\(\mathbb{R} ^{n}\)上の凸集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(\boldsymbol{f}\)による\(A\)の像\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( A\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{x}\in A\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{m}\)上の凸集合である。
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{m}\)上の凸集合である。
例（線形写像による凸集合の像）
線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と\(\mathbb{R} ^{n}\)上の凸集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだ上で、\(\boldsymbol{f}\)による\(A\)の像\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( A\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{x}\in A\right\}
\end{equation*}をとります。線形写像はアフィン写像であるため、先の命題より\(\boldsymbol{f}\left( A\right) \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)上の凸集合です。
\end{equation*}をとります。線形写像はアフィン写像であるため、先の命題より\(\boldsymbol{f}\left( A\right) \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)上の凸集合です。
例（アフィン写像による凸集合の像）
2次の対角行列とベクトル\begin{eqnarray*}
A &=&\begin{pmatrix}
a_{1} & 0 \\
0 & a_{2}\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \\
\boldsymbol{b} &=&\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}から定義されるアフィン写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) &=&A\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) +\boldsymbol{b} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a_{1}x \\
a_{2}y\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。凸集合\(C\subset \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\(\boldsymbol{f}\)による\(C\)の像は、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( C\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
a_{1}x \\
a_{2}y\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in C\right\}
\end{equation*}ですが、これは\(C\)を拡大変換・縮小変換・相似変換した上で、さらに\(\boldsymbol{b}\)だけ平行移動することにより得られる集合です。先の命題より\(\boldsymbol{f}\left(C\right) \)は凸集合です。
A &=&\begin{pmatrix}
a_{1} & 0 \\
0 & a_{2}\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \\
\boldsymbol{b} &=&\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}から定義されるアフィン写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) &=&A\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) +\boldsymbol{b} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a_{1}x \\
a_{2}y\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。凸集合\(C\subset \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\(\boldsymbol{f}\)による\(C\)の像は、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( C\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
a_{1}x \\
a_{2}y\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in C\right\}
\end{equation*}ですが、これは\(C\)を拡大変換・縮小変換・相似変換した上で、さらに\(\boldsymbol{b}\)だけ平行移動することにより得られる集合です。先の命題より\(\boldsymbol{f}\left(C\right) \)は凸集合です。
例（アフィン写像による凸集合の像）
2次の行列とベクトル\begin{eqnarray*}
A &=&\begin{pmatrix}
\cos \left( \theta \right) & -\sin \left( \theta \right) \\
\sin \left( \theta \right) & \cos \left( \theta \right)
\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \\
\boldsymbol{b} &=&\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}から定義されるアフィン写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) &=&A\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) +\boldsymbol{b} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
x\cos \left( \theta \right) -y\sin \left( \theta \right) \\
x\sin \left( \theta \right) +y\cos \left( \theta \right)
\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。凸集合\(C\subset \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\(\boldsymbol{f}\)による\(C\)の像は、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( C\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x\cos \left( \theta \right) -y\sin \left( \theta \right) \\
x\sin \left( \theta \right) +y\cos \left( \theta \right)
\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in C\right\}
\end{equation*}ですが、これは\(C\)を原点を中心に\(\theta \)だけ回転した上で、さらに\(\boldsymbol{b}\)だけ平行移動することにより得られる集合です。先の命題より\(\boldsymbol{f}\left( C\right) \)は凸集合です。
A &=&\begin{pmatrix}
\cos \left( \theta \right) & -\sin \left( \theta \right) \\
\sin \left( \theta \right) & \cos \left( \theta \right)
\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \\
\boldsymbol{b} &=&\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}から定義されるアフィン写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) &=&A\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) +\boldsymbol{b} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
x\cos \left( \theta \right) -y\sin \left( \theta \right) \\
x\sin \left( \theta \right) +y\cos \left( \theta \right)
\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。凸集合\(C\subset \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\(\boldsymbol{f}\)による\(C\)の像は、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( C\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x\cos \left( \theta \right) -y\sin \left( \theta \right) \\
x\sin \left( \theta \right) +y\cos \left( \theta \right)
\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in C\right\}
\end{equation*}ですが、これは\(C\)を原点を中心に\(\theta \)だけ回転した上で、さらに\(\boldsymbol{b}\)だけ平行移動することにより得られる集合です。先の命題より\(\boldsymbol{f}\left( C\right) \)は凸集合です。
アフィン写像による凸集合の逆像は凸集合
アフィン写像による凸集合の逆像は凸集合になることが保証されます。
命題（アフィン写像による凸集合の逆像は凸集合）
アフィン写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と\(\mathbb{R} ^{m}\)上の凸集合\(A\subset \mathbb{R} ^{m}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(\boldsymbol{f}\)による\(A\)の逆像\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( A\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in A\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の凸集合である。
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の凸集合である。
例（線形写像による凸集合の逆像）
線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と\(\mathbb{R} ^{m}\)上の凸集合\(A\subset \mathbb{R} ^{m}\)をそれぞれ任意に選んだ上で、\(\boldsymbol{f}\)による\(A\)の逆像\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( A\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in A\right\}
\end{equation*}をとります。線形写像はアフィン写像であるため、先の命題より\(\boldsymbol{f}^{-1}\left( A\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の凸集合です。
\end{equation*}をとります。線形写像はアフィン写像であるため、先の命題より\(\boldsymbol{f}^{-1}\left( A\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の凸集合です。
演習問題
問題（アフィン写像の定義）
写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が線形写像であることと、以下の命題\begin{equation*}\forall k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( k_{1}\boldsymbol{x}_{1}+k_{2}\boldsymbol{x}_{2}\right) =k_{1}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}_{1}\right) +k_{2}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことは必要十分です。一方、写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がアフィン写像であることと、以下の命題\begin{equation*}\forall t\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( t\boldsymbol{x}_{1}+\left( 1-t\right) \boldsymbol{x}_{2}\right) =t\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}_{1}\right) +\left(
1-t\right) \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことが必要十分であることを証明してください。
\end{equation*}が成り立つことは必要十分です。一方、写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がアフィン写像であることと、以下の命題\begin{equation*}\forall t\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( t\boldsymbol{x}_{1}+\left( 1-t\right) \boldsymbol{x}_{2}\right) =t\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}_{1}\right) +\left(
1-t\right) \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことが必要十分であることを証明してください。
問題（凸集合のスカラー倍）
凸集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)とスカラー\(\lambda \in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lambda A=\left\{ \lambda \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{x}\in A\right\}
\end{equation*}もまた凸集合であることはすでに示した通りです。同様の主張を、「アフィン写像による凸集合の像は凸集合である」という命題を用いて証明してください。
\end{equation*}もまた凸集合であることはすでに示した通りです。同様の主張を、「アフィン写像による凸集合の像は凸集合である」という命題を用いて証明してください。
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