上に有界な点列
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に標準的順序\(\leq \)が定義されているものとします。つまり、任意の点\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\Leftrightarrow \forall i\in \left\{
1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\leq y_{i}
\end{equation*}を満たすものとして\(\leq \)は定義されているということです。
\(\mathbb{R} ^{n}\)の空ではない部分集合\(A\)が与えられたとき、\(\mathbb{R} ^{n}\)上のある点\(\boldsymbol{U}\)が\(A\)の任意の要素以上である場合には、つまり、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{U}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall \boldsymbol{x}\in A:\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{U}
\end{equation*}が成り立つならば、\(\boldsymbol{U}\)を\(A\)の上界と呼びます。また、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)が上界を持つとき、\(A\)は上に有界であると言います。
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)のすべての項からなる集合\begin{equation}\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ v\in \mathbb{N} \right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}は\(\mathbb{R} ^{n}\)の空ではない部分集合であるため、上に有界であるか検討できます。\(\left( 1\right) \)が上に有界である場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{U}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall v\in \mathbb{N} :\boldsymbol{x}_{v}\leq \boldsymbol{U}
\end{equation*}が成り立つ場合には、この点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は上に有界である（bounded from above）であると言います。また、\(\left( 1\right) \)の上界を点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の上界（upper bound）と呼びます。
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列が上に有界であることは、そのすべての座標数列が上に有界であることと必要十分です。
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が上に有界であることと、任意の\(k\ \left( =1,\cdots,n\right) \)について、点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が上に有界であることは必要十分である。
以上の命題より、ユークリッド空間上の上に有界な点列に関する議論は、上に有界な数列に関する議論に置き換えることができます。
}\right) =\left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の座標数列である\(\left\{ x_{v}^{\left( 1\right) }\right\} \)と\(\left\{x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} \)は、任意の\(v\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{eqnarray*}x_{1}^{\left( 1\right) } &=&1+\frac{1}{2v}\leq \frac{3}{2} \\
x_{2}^{\left( 2\right) } &=&2-\frac{1}{2v}\leq 2
\end{eqnarray*}を満たすため、これらはともに上に有界です。したがって先の命題より、もとの点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)もまた上に有界です。
先の命題より、上に有界ではない座標数列を持つ点列は上に有界ではありません。
}\right) =\left( 1+\frac{1}{2v},2v\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の第2座標数列\(\left\{x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}x_{v}^{\left( 2\right) }=2v
\end{equation*}であるため、これは明らかに上に有界ではありません。したがって先の命題より、もとの点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)もまた上に有界ではありません。
下に有界な点列
\(\mathbb{R} ^{n}\)の空ではない部分集合\(A\)が与えられたとき、\(\mathbb{R} ^{n}\)上のある点\(\boldsymbol{L}\)が\(A\)の任意の要素以下である場合には、つまり、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{L}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall \boldsymbol{x}\in A:\boldsymbol{L}\leq \boldsymbol{x}
\end{equation*}が成り立つならば、\(\boldsymbol{L}\)を\(A\)の下界と呼びます。また、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)が下界を持つとき、\(A\)は下に有界であると言います。
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)のすべての項からなる集合\begin{equation}\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ v\in \mathbb{N} \right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}は\(\mathbb{R} ^{n}\)の空ではない部分集合であるため、下に有界であるか検討できます。\(\left( 1\right) \)が下に有界である場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{L}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall v\in \mathbb{N} :\boldsymbol{L}\leq \boldsymbol{x}_{v}
\end{equation*}が成り立つ場合には、この点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は下に有界である（bounded from below）であると言います。また、\(\left( 1\right) \)の下界を点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の下界（lower bound）と呼びます。
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列が下に有界であることは、そのすべての座標数列が下に有界であることと必要十分です。
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が下に有界であることと、任意の\(k\ \left( =1,\cdots,n\right) \)について、点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が下に有界であることは必要十分である。
以上の命題より、ユークリッド空間上の下に有界な点列に関する議論は、下に有界な数列に関する議論に置き換えることができます。
}\right) =\left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の座標数列である\(\left\{ x_{v}^{\left( 1\right) }\right\} \)と\(\left\{x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} \)は、任意の\(v\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{eqnarray*}1 &\leq &1+\frac{1}{2v}=x_{1}^{\left( 1\right) } \\
\frac{3}{2} &\leq &2-\frac{1}{2v}=x_{2}^{\left( 2\right) }
\end{eqnarray*}を満たすため、これらはともに下に有界です。したがって先の命題より、もとの点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)もまた下に有界です。
先の命題より、下に有界ではない座標数列を持つ点列は下に有界ではありません。
}\right) =\left( 1+\frac{1}{2v},-2v\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の第2座標数列\(\left\{x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}x_{v}^{\left( 2\right) }=-2v
\end{equation*}であるため、これは明らかに下に有界ではありません。したがって先の命題より、もとの点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は下に有界ではありません。
有界な点列
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が上に有界かつ下に有界である場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{U}\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists \boldsymbol{L}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall v\in \mathbb{N} :\boldsymbol{L}\leq \boldsymbol{x}_{v}\leq \boldsymbol{U}
\end{equation*}が成り立つ場合には、この点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は有界（bounded）であると言います。
先の2つの命題より、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列が有界であることは、そのすべての座標数列が有界であることと必要十分です。
}\right) =\left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の座標数列である\(\left\{ x_{v}^{\left( 1\right) }\right\} \)と\(\left\{x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} \)は、任意の\(v\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{eqnarray*}1 &\leq &x_{1}^{\left( 1\right) }\leq \frac{3}{2} \\
\frac{3}{2} &\leq &x_{2}^{\left( 2\right) }\leq 2
\end{eqnarray*}を満たすため、これらはともに有界です。したがって先の命題より、もとの点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)もまた有界です。
先の命題より、有界ではない座標数列を持つ点列は有界ではありません。
}\right) =\left( 1+\frac{1}{2v},2v\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の第2座標数列\(\left\{x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}x_{v}^{\left( 2\right) }=2v
\end{equation*}であるためこれは上に有界ではなく、したがって有界でもありません。したがって先の命題より、もとの点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は有界ではありません。
有界点列の代替的な定義
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列が有界であることは以下のような形で様々な形で表現できます。
- \(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は有界である。
- 以下の関係\begin{equation*}\forall v\in \mathbb{N} :\boldsymbol{x}_{v}\subset \prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \end{equation*}を満たす\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界閉区間\(\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \)が存在する。
- 以下の命題\begin{equation*}\exists \varepsilon \in \mathbb{R} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert \leq \varepsilon
\end{equation*}が成り立つ。 - 以下の命題\begin{equation*}\exists \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists \varepsilon \in \mathbb{R} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :d\left( \boldsymbol{x}_{v},\boldsymbol{y}\right) \leq \varepsilon
\end{equation*}が成り立つ。 - 以下の命題\begin{equation*}\exists \varepsilon \in \mathbb{R} ,\ \forall v,w\in \mathbb{N} :d\left( \boldsymbol{x}_{v},\boldsymbol{x}_{w}\right) \leq \varepsilon
\end{equation*}が成り立つ。 - 以下の命題\begin{equation*}\exists \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists \varepsilon >0,\ \forall v\in \mathbb{N} :\boldsymbol{x}_{v}\in N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立つ。 - 以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ v\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}について、\begin{equation*}
0\leq d\left( A\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(d\left( A\right) \)は\(A\)の直径である。
収束する点列は有界
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)へ収束することとは、\(n\)が大きくなるにつれて項\(\boldsymbol{x}_{v}\)が\(\boldsymbol{a}\)に限りなく近づくことを意味しますが、イプシロン・エヌ論法を用いてこれを表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow d\left( \boldsymbol{x}_{v},\boldsymbol{a}\right)
<\varepsilon \right]
\end{equation*}となります。ただし、\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はユークリッド距離です。したがって、点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点へ収束することとは、上の条件を満たす点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が存在すること、すなわち、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow d\left( \boldsymbol{x}_{v},\boldsymbol{a}\right)
<\varepsilon \right]
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
収束する点列は有界であることが保証されます。
}\right) =\left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\boldsymbol{x}_{v} &=&\left( \lim_{v\rightarrow
\infty }x_{v}^{\left( 1\right) },\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left(
2\right) }\right) \\
&=&\left( \lim_{v\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{2v}\right)
,\lim_{v\rightarrow \infty }\left( 2-\frac{1}{2v}\right) \right) \\
&=&\left( 1,2\right)
\end{eqnarray*}となるため\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)の点へ収束します。したがって、先の命題より\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は有界であるはずです。実際、任意の\(v\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{eqnarray*}1 &\leq &x_{1}^{\left( 1\right) }\leq \frac{3}{2} \\
\frac{3}{2} &\leq &x_{2}^{\left( 2\right) }\leq 2
\end{eqnarray*}が成り立つため\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は有界です。
}\right) =\left( \frac{v+1}{v},\frac{1}{v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\boldsymbol{x}_{v} &=&\left( \lim_{v\rightarrow
\infty }x_{v}^{\left( 1\right) },\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left(
2\right) }\right) \\
&=&\left( \lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{v+1}{v}\right)
,\lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{v}\right) \right) \\
&=&\left( \lim_{v\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{v}\right)
,\lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{v}\right) \right) \\
&=&\left( 1+0,0\right) \\
&=&\left( 1,0\right)
\end{eqnarray*}となるため\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)の点へ収束します。したがって、先の命題より\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は有界であるはずです。実際、任意の\(v\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{eqnarray*}1 &\leq &x_{1}^{\left( 1\right) }\leq 2 \\
0 &\leq &x_{2}^{\left( 2\right) }\leq 1
\end{eqnarray*}が成り立つため\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は有界です。
有界な点列は収束するとは限らない
収束する点列は有界であることが明らかになりましたが、その逆は成立するとは限りません。つまり、有界な点列は収束するとは限りません。以下の例より明らかです。
}\right) =\left( \left( -1\right) ^{v},\frac{1}{v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。任意の\(v\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}-1 &\leq &x_{v}^{\left( 1\right) }\leq 1 \\
0 &\leq &x_{v}^{\left( 2\right) }\leq 1
\end{eqnarray*}が成り立つため、この点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は有界です。他方で、第1座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 1\right) }\right\} \)は振動するため収束せず、したがって点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は収束しません。
点列が収束しないことの証明
収束する点列は有界であることが明らかになりました。対偶より、有界ではない点列は収束しません。したがって、点列が有界でないことを証明できれば、その点列が収束しないことを示したことになります。
演習問題
}\right) =\left( \frac{1}{v},1+\frac{1}{v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列の有界性および収束可能性について議論してください。
}\right) =\left( v,1+\frac{1}{v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列の有界性および収束可能性について議論してください。
}\right) =\left( \frac{v+2}{3v},\frac{\left( -1\right) ^{v}}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列の有界性および収束可能性について議論してください。
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