確認テスト II（ユークリッド空間上の点列）

\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)がコーシー列であり、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)のある部分列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{l\left( v\right) }\right\} \)がゼロベクトル\(\boldsymbol{0}\in \mathbb{R} ^{n}\)へ収束する場合には、もとの点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)もまた\(\boldsymbol{0}\)へ収束することを証明してください。

\(\mathbb{R} ^{3}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}=\left( \frac{1}{v},\frac{\left( -1\right) ^{v}}{v},\frac{1}{v^{2}}\right)
\end{equation*}であるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }\left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert
\end{equation*}を求めてください。

\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}=\left( \frac{1}{v},\frac{\left( -1\right) ^{v}}{v}\right)
\end{equation*}であるものとします。\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)がコーシー列であることを、コーシー列の定義にもとづいて証明してください。

\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}=\left( \cos \left( v\right) ,\sin \left( v\right) \right)
\end{equation*}であるものとします。以下の問いに答えてください（各10点）。

1. \(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点が存在することを証明してください。
2. \(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点の具体例を提示してください。

\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)と点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{a}\text{は}\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \text{の集積点}\Leftrightarrow \boldsymbol{a}\text{へ収束する}\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \text{の部分列が存在する}
\end{equation*}が成り立ちます。一方、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)と点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{a}\text{は}A\text{の集積点}\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \cap \left( A\backslash \left\{ \boldsymbol{a}\right\} \right)
\not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)は点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍であり、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\varepsilon \right\}
\\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right\Vert <\varepsilon
\right\}
\end{eqnarray*}と定義されます。以下の問いに答えてください（各15点）。

1. 点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の項をすべて集めることにより得られる集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ v\in \mathbb{N} \right\} \end{equation*}の集積点である場合には、\(\boldsymbol{a}\)は\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点であると言えるでしょうか。主張が成り立つ場合には証明を行い、成り立たない場合には反例を提示してください。
2. 点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点である場合には、\(\boldsymbol{a}\)は\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の項をすべて集めることにより得られる集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ v\in \mathbb{N} \right\} \end{equation*}の集積点であると言えるでしょうか。主張が成り立つ場合には証明を行い、成り立たない場合には反例を提示してください。