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ルベーグ可測関数

1変数の拡大実数値関数の連続性

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点における拡大実数値関数の連続性

実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることは様々な形で表現可能ですが、イプシロン・デルタ論法を用いて表現すると、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-f\left( a\right) \right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。では、拡大実数値関数の連続性をどのように定義すればよいでしょうか。

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義域上の点\(a\in X\)において、\begin{eqnarray*}&&\left( a_{1}\right) \ f\left( a\right) =+\infty \\
&&\left( a_{2}\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =+\infty
\end{eqnarray*}をともに満たす可能性や、\begin{eqnarray*}
&&\left( b_{1}\right) \ f\left( a\right) =-\infty \\
&&\left( b_{2}\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =-\infty
\end{eqnarray*}をともに満たす可能性があります。このような場合、\(f\)は点\(a\)において連続であるものと判定したいところです。ただ、拡大実数値関数の連続性の定義として実数値関数の連続性の定義\(\left( 1\right) \)をそのまま採用すると、条件\(\left( a_{1}\right),\left( a_{2}\right) \)をともに満たす点\(a\)や、条件\(\left( b_{1}\right),\left( b_{2}\right) \)をともに満たす点\(a\)などにおいて\(f\)は連続ではないものと判定されてしまいます(確認してください)。そこで、拡大実数値関数の連続性を改めて以下のように定義します。

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義域上の点\(a\in X\)において、\begin{equation}\forall \lambda ,\Lambda \in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[ \left( \lambda <f\left(
a\right) <\Lambda \wedge \left\vert x-a\right\vert <\delta \right)
\Rightarrow \lambda <f\left( x\right) <\Lambda \right] \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす場合、\(f\)は\(a\)において連続(continuous at \(a\))であるものと定めます。特に、\begin{equation*}f\left( a\right) =+\infty
\end{equation*}である場合には\(f\left( a\right)=+\infty <\Lambda \)を満たす\(\Lambda \in \mathbb{R} \)が存在しないため、\(\left( 2\right) \)は、\begin{equation*}\forall \lambda \in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[ \left( \lambda <+\infty \wedge
\left\vert x-a\right\vert <\delta \right) \Rightarrow \lambda <f\left(
x\right) \right] \end{equation*}となります。また、\begin{equation*}
f\left( a\right) =-\infty
\end{equation*}である場合には\(\lambda <-\infty=f\left( a\right) \)を満たす\(\lambda \in \mathbb{R} \)が存在しないため、\(\left( 2\right) \)は、\begin{equation*}\forall \Lambda \in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[ \left( -\infty <\Lambda \wedge
\left\vert x-a\right\vert <\delta \right) \Rightarrow f\left( x\right)
<\Lambda \right] \end{equation*}となります。

拡大実数値関数\(f\)の連続性の定義として\(\left(2\right) \)を採用した場合、先の条件\(\left( a_{1}\right) ,\left( a_{2}\right) \)を満たす点\(a\)や、条件\(\left( b_{1}\right) ,\left( b_{2}\right) \)を満たす点\(a\)などにおいて\(f\)は連続であるものと判定されるようになります。

命題(拡大実数値関数の連続性)
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義域上の点\(a\in X\)において、\begin{eqnarray*}&&\left( a_{1}\right) \ f\left( a\right) =+\infty \\
&&\left( a_{2}\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =+\infty
\end{eqnarray*}をともに満たす場合、\(f\)は点\(a\)において連続である。また、\(f\)が点\(a\in X\)において、\begin{eqnarray*}&&\left( b_{1}\right) \ f\left( a\right) =-\infty \\
&&\left( b_{2}\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =-\infty
\end{eqnarray*}をともに満たす場合、\(f\)は点\(a\)において連続である。
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拡大実数値関数の連続性と実数値関数の連続性の関係

繰り返しになりますが、拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることとは、\begin{equation*}\forall \lambda ,\Lambda \in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[ \left( \lambda <f\left(
a\right) <\Lambda \wedge \left\vert x-a\right\vert <\delta \right)
\Rightarrow \lambda <f\left( x\right) <\Lambda \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。一方、実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることとは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-f\left( a\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。さて、拡大実数値関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において、\begin{equation*}-\infty <f\left( a\right) <+\infty
\end{equation*}を満たす場合には、以上の2つの連続性の定義は必要十分になります。つまり、拡大実数値関数の連続性の定義は、実数値関数の連続性の定義の拡張になっています。

命題(拡大実数値関数の連続性と実数値関数の連続性の関係)
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義域上の点\(a\in X\)において、\begin{equation*}-\infty <f\left( a\right) <+\infty
\end{equation*}を満たすものとする。このとき、以下の2つの命題\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall
x\in X:\left( \left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert
f\left( x\right) -f\left( a\right) \right\vert <\varepsilon \right) \\
&&\left( b\right) \ \forall \lambda ,\Lambda \in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[ \left( \lambda <f\left(
a\right) <\Lambda \wedge \left\vert x-a\right\vert <\delta \right)
\Rightarrow \lambda <f\left( x\right) <\Lambda \right] \end{eqnarray*}は必要十分である。

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拡大実数値関数の連続性の判定

繰り返しになりますが、拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることは、\begin{equation*}\forall \lambda ,\Lambda \in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[ \left( \lambda <f\left(
a\right) <\Lambda \wedge \left\vert x-a\right\vert <\delta \right)
\Rightarrow \lambda <f\left( x\right) <\Lambda \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。ただし、\begin{equation*}
-\infty <f\left( a\right) <+\infty
\end{equation*}を満たす場合、\(f\)が点\(a\)において連続であることは、実数値関数が点\(a\)において連続であるための条件\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-f\left( a\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。また、\begin{equation*}
f\left( a\right) =+\infty
\end{equation*}を満たす場合、\(f\)が点\(a\)において連続であることは、\begin{equation*}\forall \lambda \in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[ \left( \lambda <+\infty \wedge
\left\vert x-a\right\vert <\delta \right) \Rightarrow \lambda <f\left(
x\right) \right] \end{equation*}が成り立つことを意味し、\begin{equation*}
f\left( a\right) =-\infty
\end{equation*}を満たす場合、\(f\)が点\(a\)において連続であることは、\begin{equation*}\forall \Lambda \in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[ \left( -\infty <\Lambda \wedge
\left\vert x-a\right\vert <\delta \right) \Rightarrow f\left( x\right)
<\Lambda \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。

例(拡大実数値関数の連続性)
拡大実数値関数数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{1}{x} & \left( if\ x>0\right) \\
+\infty & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は定義域の内部\(\mathbb{R} _{++}\)において有限な有理関数であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上の任意の点において連続です。一方、\(f\)が点\(0\)において、\begin{equation*}f\left( 0\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)が点\(0\)において連続であることは、\begin{equation*}\forall \lambda \in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} _{+}:\left[ \left( \lambda <+\infty \wedge \left\vert x-0\right\vert <\delta
\right) \Rightarrow \lambda <f\left( x\right) \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\forall \lambda \in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} _{+}:\left[ \left( \lambda <+\infty \wedge x<\delta \right) \Rightarrow
\lambda <f\left( x\right) \right] \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味します。これを示します。\(\lambda <+\infty \)を満たす\(\lambda \in \mathbb{R} \)を任意に選びます。\(f\)の定義より、任意の\(x\in \mathbb{R} _{+}\)について\(f\left( x\right) >0\)であるため、\(\lambda \leq 0\)の場合には明らかに主張は成り立ちます。そこで、以下では\(0<\lambda <+\infty \)の場合について考えます。この場合には\(\frac{1}{\lambda }>0\)であるため、\begin{equation}0<\delta <\frac{1}{\lambda } \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(\delta >0\)をとることができます。その上で、\(x<\delta \)を満たす\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選ぶと、すなわち\(0\leq x<\delta \)を満たす\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、\(x=0\)の場合には、\begin{eqnarray*}f\left( 0\right) &=&+\infty \quad \because f\text{の定義}
\\
&>&\lambda \quad \because 0<\lambda <+\infty
\end{eqnarray*}が成り立ち、\(0<x<\delta \)の場合には、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\frac{1}{x}\quad \because f\text{の定義} \\
&>&\frac{1}{\delta }\quad \because 0<x<\delta \\
&>&\lambda \quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)が成り立つことが示されました。したがって、\(f\)は点\(0\)において連続です。以上より、\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上の任意の点において連続であることが明らかになりました。

上の例において、関数の定義域を変更すると結果も変わります。

例(拡大実数値関数の連続性)
拡大実数値関数数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{1}{x} & \left( if\ x\not=0\right) \\
+\infty & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は集合\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上において有限な有理関数であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上の任意の点において連続です。一方、\(f\)が点\(0\)において、\begin{equation*}f\left( 0\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)が点\(0\)において連続であることは、\begin{equation*}\forall \lambda \in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left[ \left( \lambda <+\infty \wedge \left\vert x-0\right\vert <\delta
\right) \Rightarrow \lambda <f\left( x\right) \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\forall \lambda \in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left[ \left( \lambda <+\infty \wedge x<\delta \right) \Rightarrow \lambda
<f\left( x\right) \right] \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味します。先の例とは異なり、今度は\(\left(1\right) \)は成り立ちません。つまり、\begin{equation}\exists \lambda \in \mathbb{R} ,\ \forall \delta >0,\ \exists x\in \mathbb{R} :\left[ \lambda <+\infty \wedge x<\delta \wedge \lambda \geq f\left(
x\right) \right] \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つということです。実際、\begin{equation*}
0<\lambda <+\infty
\end{equation*}を満たす\(\lambda \in \mathbb{R} \)に注目したとき、\(\delta >0\)をどのように選んだ場合においても、それに対して、\begin{equation*}-\delta <x<0<\delta
\end{equation*}を満たす\(x\in \mathbb{R} \)に注目すれば、\begin{equation*}\lambda >0>\frac{1}{x}=f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つからです。したがって、\(f\)は点\(0\)において連続ではありません。以上より、\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上の任意の点において連続であることが明らかになりました。

 

集合上で連続な拡大実数値関数

先に例を通じて確認したように、一般に、拡大実数値関数\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において連続であるとは限りません。そこで、\(f\)が連続な点からなる集合が\(Y\subset X\)であるとき、\(f\)は\(Y\)上で連続である(continuous on \(Y\))と言います。特に、\(Y=X\)である場合、すなわち拡大実数値関数\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において連続である場合、\(f\)は連続である(continuous)と言います。

例(集合上で連続な関数)
拡大実数値関数数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{1}{x} & \left( if\ x>0\right) \\
+\infty �