短期の労働供給（労働供給関数）

効用関数

生産者が労働投入量\(L\)を自由に変更できる一方で資本投入量\(K\)を変更できない短期を想定した上で、生産者が直面する利潤最大化問題を、\begin{equation*}\max_{L}\ P\cdot F\left( L,\overline{K}\right) -WL-R\overline{K}
\end{equation*}と定式化しました。ただし、\begin{eqnarray*}
P &:&\text{物価（外生変数）}
\\
L &:&\text{労働投入量（内生変数）} \\
\overline{K} &:&\text{資本投入量（外生変数）} \\
F\left( L,K\right) &:&\text{生産関数} \\
W &:&\text{名目賃金（外生変数）} \\
R &:&\text{名目レント（外生変数）}
\end{eqnarray*}です。その上で、生産者による意思決定を労働需要関数\begin{equation*}
L^{D}=L^{D}\left( \frac{W}{P},\overline{K}\right)
\end{equation*}として表現しました。つまり、実質賃金と資本投入量\(\left( \frac{W}{P},\overline{K}\right) \)に直面した状況において利潤を最大化する資本投入量が\(L^{D}\left( \frac{W}{P},\overline{K}\right) \)です。では、労働供給はどのような要因によって決定されるのでしょうか。

労働の供給主体は家計です。労働需要の背後には生産者による利潤最大化という行動原理がありますが、労働供給の背後には家計によるどのような行動原理が存在するのでしょうか。まずは、家計が直面する最適化問題を定式化します。

家計は自身が持つ有限な時間を労働（labor）と余暇（leisure）に振り分けます。家計が持つ総時間を便宜的に\(1\)で表記し、家計が選択する労働時間を、\begin{equation*}L
\end{equation*}で表記します。\(0\leq L\leq 1\)です。この場合、家計に残された余暇時間は、\begin{equation*}1-L
\end{equation*}と定まります。家計は労働から得た所得をもとに消費を行います。そこで、家計による消費の水準を、\begin{equation*}
C
\end{equation*}で表記します。\(C\)の水準は所得に依存しますが、さらに所得は賃金水準と労働時間に依存します。その関係については後述します。

家計が得る満足度を効用（utility）と呼び、これを、\begin{equation*}
U
\end{equation*}で表記します。家計が得る効用水準\(U\)は、消費水準\(C\)と余暇時間\(1-L\)に依存するものとし、それらの関係を関数\begin{equation*}U=U\left( C,1-L\right)
\end{equation*}として表現します。この関数を効用関数（utility function）と呼びます。

この効用関数\(U\left( C,1-L\right) \)は個々の具体的な家計の効用関数ではなく、経済全体を平均的に代表する架空の家計の効用関数であることに注意してください。したがって、消費\(C\)とは経済全体における消費であり、\(L\)は経済全体における労働時間です。総時間を\(1\)としているのは表記の簡便のためであり、他の任意の定数を用いても以下の議論はそのまま通用します。

計画\(\left( C,1-L\right) \)における消費の限界効用（marginal utility of consumption）は、\begin{equation*}U_{C}^{\prime }\left( C,1-L\right) =\frac{\partial U\left( C,1-L\right) }{\partial C}
\end{equation*}と定義されます。これは、\(\left( C,1-L\right) \)を出発点とした上で、\(1-L\)を固定したまま\(C\)を1単位増やした場合に、効用がどれだけ増加するかを表す概念です。その上で、任意の\(\left(C,1-L\right) \)において消費の限界効用は正であること、すなわち、\begin{equation*}U_{C}^{\prime }\left( C,1-L\right) =\frac{\partial U\left( C,1-L\right) }{\partial C}>0
\end{equation*}が成り立つものと仮定します。さらに、\(C\)が増加するにともない消費の限界効用は逓減していくものと仮定します。つまり、任意の\(\left( C,1-L\right) \)において、\begin{equation*}U_{C}^{\prime \prime }\left( C,1-L\right) =\frac{\partial ^{2}U\left(
C,1-L\right) }{\partial C^{2}}<0
\end{equation*}が成り立つものと仮定します。家計は自身の切実な欲求を満たすもの（生命維持のための食料や水など）から順番に消費していき、消費が増えるほど飽和していくため、消費が増えるほど追加的な消費がもたらす満足の増分は減少していくということです。

計画\(\left( C,1-L\right) \)における余暇の限界効用（marginal utility of leisure）は、\begin{equation*}U_{1-L}^{\prime }\left( C,1-L\right) =\frac{\partial U\left( C,1-L\right) }{\partial \left( 1-L\right) }
\end{equation*}と定義されます。これは、\(\left( C,1-L\right) \)を出発点とした上で、\(C\)を固定したまま\(1-L\)を1単位増やした場合に、効用がどれだけ増加するかを表す概念です。その上で、任意の\(\left( C,1-L\right) \)において余暇の限界効用は正であること、すなわち、\begin{equation*}U_{1-L}^{\prime }\left( C,1-L\right) =\frac{\partial U\left( C,1-L\right) }{\partial \left( 1-L\right) }>0
\end{equation*}が成り立つものと仮定します。さらに、\(1-L\)が増加するにともない余暇の限界効用は逓減していくものと仮定します。つまり、任意の\(\left( C,1-L\right) \)において、\begin{equation*}U_{1-L}^{\prime \prime }\left( C,1-L\right) =\frac{\partial ^{2}U\left(
C,1-L\right) }{\partial \left( 1-L\right) ^{2}}<0
\end{equation*}が成り立つものと仮定します。家計は自身の切実な欲求を満たすこと（生命維持のための睡眠や休息）に対して優先的に時間を使い、余暇が増えるほど飽和していくため、余暇が増えるほど追加的な余暇がもたらす満足の増分は減少していくということです。

計画\(\left( C,1-L\right) \)における余暇の消費で測った限界代替率（marginal rate of substitution）は、\begin{equation*}
MRS_{1-L,C}\left( C,1-L\right) =\frac{U_{1-L}^{\prime }\left( C,1-L\right) }{U_{C}^{\prime }\left( C,1-L\right) }=\frac{\frac{\partial U\left(
C,1-L\right) }{\partial \left( 1-L\right) }}{\frac{\partial U\left(
C,1-L\right) }{\partial C}}
\end{equation*}と定義されます。計画\(\left( C,1-L\right) \)における限界代替率の値が\(MRS_{1-L,C}\left(C,1-L\right) \)であることは、\(\left( C,1-L\right) \)に直面している家計にとって、1単位の余暇の価値は\(MRS_{1-L,C}\left(C,1-L\right) \)単位の消費の価値と等しいことを意味します。その上で、効用関数\(U\left( C,1-L\right) \)は狭義凹関数であるものと仮定します。\(U\left(C,1-L\right) \)が\(C^{2}\)級である場合、先の仮定\begin{equation*}U_{C}^{\prime \prime }\left( C,1-L\right) <0
\end{equation*}に加えて、以下の条件\begin{equation*}
U_{C}^{\prime \prime }\left( C,1-L\right) \cdot U_{1-L}^{\prime \prime
}\left( C,1-L\right) -\left[ U_{C\left( 1-L\right) }^{\prime \prime }\left(
C,1-L\right) \right] ^{2}>0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(U\left( C,1-L\right) \)は狭義凹関数になります（演習問題）。これは限界代替率逓減の法則に相当する仮定です。つまり、得られる効用を一定に保ったまま余暇の時間を増やした場合、余暇の消費に対する相対的な価値が減少していくという仮定です。

効用最大化問題

家計の効用関数を消費\(C\)と余暇\(1-L\)に関する関数\begin{equation*}U=U\left( C,1-L\right)
\end{equation*}として定義しましたが、家計は\(C\)と\(1-L\)を好きなだけ選択できるわけではありません。物価が\(P\)である状況において消費を\(C\)だけ行う場合の支出は、\begin{equation*}PC
\end{equation*}です。その一方で、名目賃金が\(W\)である状況において労働を\(L\)だけ行う場合の収入は、\begin{equation*}WL
\end{equation*}です。支出は収入に収まっている必要があるため、以下の条件\begin{equation*}
PC\leq WL
\end{equation*}が満たす\(\left( C,1-L\right) \)だけが選択可能です。以上の条件を予算制約（budget constraint）と呼びます。

以下の条件\begin{equation*}
PC<WL
\end{equation*}を満たす\(\left( C,1-L\right) \)が与えられているものとします。効用関数\(U\left(C,1-L\right) \)は\(C\)に関する増加関数であり\(L\)に関する減少関数であるため、以下の条件\begin{equation*}PC^{\prime }=WL^{\prime }
\end{equation*}を満たす\(\left( C^{\prime },1-L^{\prime }\right) \)に移行することにより家計の効用は増加します。したがって、予算制約を、\begin{equation*}PC=WL
\end{equation*}と表現しても一般性は失われません。

家計は、完全競争において物価\(P\)と名目賃金\(W\)を受け入れる価格受容者です。このような事情を踏まえると、完全競争市場において家計が直面する問題は、\(P,W\)の水準と自身の効用関数\(U\left(L,1-L\right) \)および予算制約を所与としながら効用を最大化するような組\(\left( C,1-L\right) \)を選択すること、すなわち、以下の効用最大化問題\begin{equation*}\max_{\left( C,1-L\right) }\ U\left( C,1-L\right) \quad s.t.\quad PC=WL
\end{equation*}として定式化されます。

ただし、以上の議論では、家計が物価\(P\)と名目賃金\(W\)を完全に観察した上で、観察した\(P,W\)をもとに効用最大化を行うことを暗に仮定しています。この仮定は現実的でしょうか。

まずは名目賃金\(W\)についてです。賃金は労働契約により明示的かつ事前的に決定されるとともに、生産者がそれを支払う主体であるため、生産者は\(W\)の水準を観察できます。また、家計は労働契約を締結する時点において賃金を提示されるため、家計もまた\(W\)の水準を観察できます。

続いて物価水準\(P\)についてです。完全競争市場において生産者が価格設定を誤れば需要が失われ、市場から退出を余儀なくされます。そのため、残存している生産者は価格情報を収集・分析する能力を持つ主体に限定されます。競争の選択過程により生産者は市場価格を正確に観察し得る主体として残るため、生産者は\(P\)の水準を観察できるものと仮定します。一方、家計には同様の淘汰圧は存在せず、無数の財・サービスの価格を集約した物価指数を直接観察することは不可能です。したがって、家計が\(P\)の水準を観察することは困難です。つまり、家計が認識する物価を、\begin{equation*}P^{e}
\end{equation*}で表記する場合、これと実際の物価\(P\)の間には以下の関係\begin{equation*}P^{e}\not=P
\end{equation*}が成立する可能性があるということです。\(P^{e}\)を期待物価水準（expected price level）と呼びます。

このような事情を踏まえると、家計が実際に直面する予算制約は、\begin{equation*}
P^{e}C=WL
\end{equation*}であり、ゆえに家計が実際に直面する効用最大化問題は、\begin{equation*}
\max_{\left( C,1-L\right) }\ U\left( C,1-L\right) \quad s.t.\quad P^{e}C=WL
\end{equation*}と表現されます。

予算制約を消費\(C\)について解くと、\begin{equation*}C=\left( \frac{W}{P^{e}}\right) L
\end{equation*}となるため、これを効用関数に代入することにより、\begin{equation*}
U\left( \left( \frac{W}{P^{e}}\right) L,1-L\right)
\end{equation*}となります。したがって、効用最大化問題を制約条件のない最大化問題\begin{equation*}
\max_{L}\ U\left( \left( \frac{W}{P^{e}}\right) L,1-L\right)
\end{equation*}として表現できます。この問題の解である最適な労働時間\(L\)が判明すれば、最適な余暇と最適な消費からなる計画が、\begin{equation*}\left( C,1-L\right) =\left( \left( \frac{W}{P^{e}}\right) L,1-L\right)
\end{equation*}として得られます。

効用最大化問題の解は以下の通りです。

名目賃金\(W\)を期待物価\(P^{e}\)で割ることにより得られる、\begin{equation*}\frac{W}{P^{e}}
\end{equation*}は期待物価の影響を除いた賃金水準であるため、これを期待実質賃金（expected real wage）と呼びます。先に明らかになったように、効用最大化問題の解\(L\)は以下の条件\begin{equation*}\left. \frac{\partial U\left( C,1-L\right) }{\partial C}\right\vert
_{C=\left( \frac{W}{P^{e}}\right) L}\cdot \frac{W}{P^{e}}-\left. \frac{\partial U\left( C,1-L\right) }{\partial \left( 1-L\right) }\right\vert
_{C=\left( \frac{W}{P^{e}}\right) L}=0
\end{equation*}を満たします。仮定より消費の限界効用は正であるため、\begin{equation*}
\frac{\left. \frac{\partial U\left( C,1-L\right) }{\partial \left(
1-L\right) }\right\vert _{C=\left( \frac{W}{P^{e}}\right) L}}{\left. \frac{\partial U\left( C,1-L\right) }{\partial C}\right\vert _{C=\left( \frac{W}{P^{e}}\right) L}}=\frac{W}{P^{e}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
MRS_{1-L,C}\left( \left( \frac{W}{P^{e}}\right) L,1-L\right) =\frac{W}{P^{e}}
\end{equation*}が成り立ちますが、以上の事実は、最適な労働時間\(L\)のもとでは、余暇の消費で測った限界代替率が期待実質賃金と一致することを意味します。

労働供給関数

家計が直面する利潤最大化問題\begin{equation*}
\max_{\left( C,1-L\right) }\ U\left( C,1-L\right) \quad s.t.\quad P^{e}C=WL
\end{equation*}は以下の問題\begin{equation}
\max_{L}\ U\left( \left( \frac{W}{P^{e}}\right) L,1-L\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}に言い換え可能であるとともに、その解\(L^{S}\)は以下の条件\begin{equation}MRS_{1-L,C}\left( \left( \frac{W}{P^{e}}\right) L^{S},1-L^{S}\right) =\frac{W}{P^{e}} \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たすことが明らかになりました。さらにこのとき、最適な消費と余暇からなる計画が、\begin{equation*}
\left( C,1-L\right) =\left( \left( \frac{W}{P^{e}}\right)
L^{S},1-L^{S}\right)
\end{equation*}として定まります。

実質予想賃金\(\frac{W}{P^{e}}\)は家計にとって所与の条件ですが、条件\(\frac{W}{P^{e}}\)が変化すれば家計が直面する効用最大化問題\(\left( 1\right) \)も変化するため、それに応じて\(\left( 1\right) \)の解、すなわち\(\left( 2\right) \)を満たす\(L^{S}\)の値も変化します。つまり、\(L^{S}\)を\(\frac{W}{P^{e}}\)の関数とみなせるということです。では、\(\frac{W}{P^{e}}\)が変化すると\(L^{S}\)はどのように変化するのでしょうか。\(\left( 2\right) \)を\(L^{S}\)について解いて、\begin{equation*}L^{S}=L^{S}\left( \frac{W}{P^{e}}\right)
\end{equation*}と表現できるのであれば、\(\frac{W}{P^{e}}\)と\(L^{S}\)の関係を容易に理解できます。このような関数\(L^{S}\)を労働供給関数（labor supply function）と呼びます。労働供給関数\(L^{S}\)が\(\frac{W}{P^{e}}\)に対して定める値\(L^{S}\left( \frac{W}{P^{e}}\right) \)は、\(\frac{W}{P^{e}}\)に直面した場合に効用を最大化するような労働量です。

労働供給関数\(L^{S}\left( \frac{W}{P^{e}}\right) \)が与えられたとき、\(\frac{W}{P^{e}}\)を出発点として期待実質賃金\(\frac{W}{P^{e}}\)を1パーセント変化させた場合に労働供給が何パーセント変化するかを表す指標は、\begin{equation*}\varepsilon _{S}\left( \frac{W}{P^{e}}\right) =\frac{\partial L^{S}\left(
\frac{W}{P^{e}}\right) }{\partial \frac{W}{P^{e}}}\cdot \frac{\frac{W}{P^{e}}}{L^{S}\left( \frac{W}{P^{e}}\right) }
\end{equation*}と定義されます。これを\(\frac{W}{P^{e}}\)における労働供給に関する期待実質賃金の弾力性（expected real wage elasticity of labor supply）と呼びます。

先の例では労働供給関数を具体的に特定できましたが、一般には、労働供給関数を具体的に特定できるとは限りません。つまり、効用最大化問題の解が満たすべき条件\begin{equation}
MRS_{1-L,C}\left( \left( \frac{W}{P^{e}}\right) L^{S},1-L^{S}\right) =\frac{W}{P^{e}} \quad \cdots (3)
\end{equation}を\(L^{S}\)について解けるとは限りません。言い換えると、方程式\(\left( 3\right) \)の陰関数を具体的に特定できるとは限りません。このような問題に対処するために陰関数定理を利用することにより以下の命題が得られます。

期待実質賃金\(\frac{W}{P^{e}}\)が変化した場合、なぜ労働供給\(L^{S}\left( \frac{W}{P^{e}}\right) \)は変化するのでしょうか。

1つ目の理由は代替効果（substitution effect）です。賃金が\(\frac{W}{P^{e}}\)であることは、働かずに余暇をとることで所得が\(\frac{W}{P^{e}}\)だけ失われることを意味します。つまり、賃金は余暇の機会損失を表します。賃金\(\frac{W}{P^{e}}\)の上昇は余暇の機会損失が大きくなることを意味するため、家計は機会損失を回避するために労働を増やします。労働を増やせば所得が増えますが、それは消費の増加を意味します。

2つ目の理由は所得効果（wealth effect）です。労働時間\(L\)が一定で賃金\(\frac{W}{P^{e}}\)が上昇すると家計の購買力が上昇します。その結果、裕福になったと感じた家計はより多くの余暇を享受しようとするため労働が減少します。

期待実質賃金\(\frac{W}{P^{e}}\)が上昇した場合、代替効果により労働供給\(L^{S}\)は増加しますが、所得効果により労働供給\(L^{S}\)は減少します。多くの場合、代替効果は所得効果よりも大きいため、結果として、労働供給は増加します。つまり、労働供給関数\(L^{S}\left( \frac{W}{P^{e}}\right) \)は増加関数です。先の命題が要求する条件は、代替効果が所得効果よりも大きいことを仮定していることになります。

労働供給曲線

労働供給関数\begin{equation*}
L^{S}=L^{S}\left( \frac{W}{P^{e}}\right)
\end{equation*}が与えられた状況を想定します。横軸に労働供給量\(L^{S}\)をとり、縦軸に期待実質賃金\(\frac{W}{P^{e}}\)をとった上で描かれるグラフを労働供給曲線（labor supply curve）と呼びます。

多くの場合、労働供給関数\(L^{S}\left( \frac{W}{P^{e}}\right) \)は期待実質賃金\(\frac{W}{P^{e}}\)に関する狭義単調増加関数ですが、以上の事実は、労働供給曲線が右上がりの曲線であることを意味します。

演習問題