ベクトル値関数の微分と片側微分の関係
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、ベクトルを値としてとる1変数のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。\(\boldsymbol{f}\)の定義域の内点\(a\in X^{i}\)が与えられたとき、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において微分可能であることとは、\(\boldsymbol{f}\)の点\(a\)における微分係数\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{1}\left( a+h\right) -f_{1}\left(
a\right) }{h} \\
\vdots \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{m}\left( a+h\right) -f_{m}\left(
a\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}が有限なベクトルとして定まることを意味します。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されている場合、すなわち、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ a,a+\varepsilon \right] \subset X
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)が点\(a\)において右側微分可能であることとは、\(\boldsymbol{f}\)の点\(a\)における微分係数\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a+0\right) =\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0+}\frac{f_{1}\left( a+h\right) -f_{1}\left(
a\right) }{h} \\
\vdots \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0+}\frac{f_{m}\left( a+h\right) -f_{m}\left(
a\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}が有限なベクトルとして定まることを意味します。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が点\(a\in X\)以下の周辺の任意の点において定義されている場合、すなわち、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ a-\varepsilon ,a\right] \subset X
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)が点\(a\)において左側微分可能であることとは、\(\boldsymbol{f}\)の点\(a\)における微分係数\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a-0\right) =\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0-}\frac{f_{1}\left( a+h\right) -f_{1}\left(
a\right) }{h} \\
\vdots \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0-}\frac{f_{m}\left( a+h\right) -f_{m}\left(
a\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}が有限なベクトルとして定まることを意味します。
ベクトル値関数の微分と片側微分の間にはどのような関係が成立するのでしょうか。ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域の内点\(a\in X^{i}\)が与えられた場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において微分可能、右側微分可能、左側微分可能であるかそれぞれ検証できます。その上で、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において右側微分可能かつ左側微分可能であり、なおかつ左右の微分係数が一致することとは、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において微分可能であることと必要十分になります。しかもこの場合、\(\boldsymbol{f}\)の点\(a\)における微分係数、右側微分係数、左側微分係数がいずれも一致します。
a-0\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において微分可能であるための必要十分条件である。さらにこのとき、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) =\boldsymbol{f}^{\prime }\left(
a+0\right) =\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a-0\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a+0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\left. \frac{d}{dx}f_{1}\left( x+0\right) \right\vert _{x=a} \\
\left. \frac{d}{dx}f_{2}\left( x+0\right) \right\vert _{x=a}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left. 2x-1\right\vert _{x=a} \\
\left. 1\right\vert _{x=a}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2a-1 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a-0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\left. \frac{d}{dx}f_{1}\left( x-0\right) \right\vert _{x=a} \\
\left. \frac{d}{dx}f_{2}\left( x-0\right) \right\vert _{x=a}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left. 2x-1\right\vert _{x=a} \\
\left. 1\right\vert _{x=a}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2a-1 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a+0\right) =\boldsymbol{f}^{\prime }\left(
a-0\right)
\end{equation*}を得ます。したがって、先の命題より\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) =\left(
\begin{array}{c}
2a-1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つはずです。実際、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f}^{\prime }\left( 0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\left. \frac{d}{dx}f_{1}\left( x\right) \right\vert _{x=a} \\
\left. \frac{d}{dx}f_{2}\left( x\right) \right\vert _{x=a}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left. 2x-1\right\vert _{x=a} \\
\left. 1\right\vert _{x=a}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2a-1 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
片側微分を用いたベクトル値関数の微分可能性の判定
先の命題はベクトル値関数が微分可能であるための必要十分条件を与えているため、ベクトル値関数が微分可能であることを片側微分を用いて判定できます。具体的には以下の通りです。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)および\(\boldsymbol{f}\)の定義域の内点\(a\in X^{i}\)が与えられた状況において、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において右側微分可能かつ左側微分可能であるとともに、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a+0\right) =\boldsymbol{f}^{\prime }\left(
a-0\right)
\end{equation*}が成り立つことを示せば、先の命題より、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において微分可能であることを示したことになります。しかもこの場合、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) =\boldsymbol{f}^{\prime }\left(
a+0\right) =\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a-0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
\begin{array}{cc}
-\left\vert x\right\vert & \left( if\ x\geq 0\right) \\
\left\vert x\right\vert & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める一方で、成分関数\(f_{2}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{2}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left\vert x\right\vert & \left( if\ x\geq 0\right) \\
-\left\vert x\right\vert & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\in \mathbb{R} \)に関して、\begin{eqnarray*}f_{1}^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f_{1}\left(
0+h\right) -f_{1}\left( 0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left( -\left\vert 0+h\right\vert \right)
-\left( -\left\vert 0\right\vert \right) }{h}\quad \because h>0 \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{-h}{h}\quad \because h>0 \\
&=&-1
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
f_{2}^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f_{2}\left(
0+h\right) -f_{2}\left( 0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left\vert 0+h\right\vert -\left\vert
0\right\vert }{h}\quad \because h>0 \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{h}{h}\quad \because h>0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}^{\prime }\left( 0+0\right) =\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}を得ます。その一方で、\begin{eqnarray*}
f_{1}^{\prime }\left( 0-0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f_{1}\left(
0+h\right) -f_{1}\left( 0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left( \left\vert 0+h\right\vert \right)
-\left( -\left\vert 0\right\vert \right) }{h}\quad \because h<0 \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{-h}{h}\quad \because h<0 \\
&=&-1
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
f_{2}^{\prime }\left( 0-0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f_{2}\left(
0-h\right) -f_{2}\left( 0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left( -\left\vert 0+h\right\vert \right)
-\left\vert 0\right\vert }{h}\quad \because h<0 \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{h}{h}\quad \because h<0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}^{\prime }\left( 0-0\right) =\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}を得ます。したがって、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}^{\prime }\left( 0+0\right) =\boldsymbol{f}^{\prime }\left(
0-0\right) =\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( 0\right) =\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
片側微分を用いたベクトル値関数の微分不可能性の判定
先の命題はベクトル値関数が微分可能であるための必要十分条件を与えているため、ベクトル値関数が微分可能ではないことを片側微分を用いて判定できます。具体的には以下の通りです。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)および\(\boldsymbol{f}\)の定義域の内点\(a\in X^{i}\)が与えられた状況において、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において右側微分可能ではないこと、または左側微分可能ではないことを示せば、先の命題より、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において微分可能ではないことを示したことになります。
\begin{array}{c}
\sqrt{\left\vert x\right\vert } \\
\left\vert x\right\vert
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。成分関数\begin{equation*}
f_{1}\left( x\right) =\sqrt{\left\vert x\right\vert }
\end{equation*}に注目すると、点\(0\in \mathbb{R} \)において、\begin{eqnarray*}f_{1}^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f_{1}\left(
0+h\right) -f_{1}\left( 0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\sqrt{\left\vert 0+h\right\vert }-\sqrt{\left\vert 0\right\vert }}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\sqrt{h}-\sqrt{0}}{h}\quad \because h>0 \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\sqrt{h}}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{1}{\sqrt{h}}\quad \because h>0 \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(f_{1}\)は点\(0\)において右側微分可能ではなく、したがって\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において右側微分可能ではありません。したがって、先の命題より\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において微分可能ではありません。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)および\(\boldsymbol{f}\)の定義域の内点\(a\in X^{i}\)が与えられた状況において、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において右側微分可能かつ左側微分可能である場合には、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a+0\right) \not=\boldsymbol{f}^{\prime
}\left( a-0\right)
\end{equation*}が成り立つことを示せば、先の命題より、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において微分可能ではないことを示したことになります。
\begin{array}{c}
\left\vert x\right\vert \\
\left\vert x\right\vert ^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。成分関数\begin{equation*}
f_{1}\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}に注目すると、これは絶対値関数であるため、点\(0\)における右側微分係数は、\begin{equation*}f_{1}\left( 0+0\right) =1
\end{equation*}である一方で、点\(0\)における左側微分係数は、\begin{equation*}f_{1}\left( 0-0\right) =-1
\end{equation*}となります。つまり、点\(0\)において\(f_{1}\)の左右の微分係数は異なるため、点\(0\)において\(\boldsymbol{f}\)の左右の微分係数もまた異なります。したがって、先の命題より\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において微分可能ではありません。
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