1変数の凸関数・凹関数どうしの和
区間上に定義された2つの1変数関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの\(x\in I\)に対して以下の値\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな1変数関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
\(f,g\)がともに凸関数であるならば\(f+g\)もまた凸関数です。また、\(f,g\)がともに凸関数であるとともに、少なくとも一方が狭義凸関数であるならば\(f+g\)もまた狭義凸関数です。
- \(f,g\)がともに凸関数であるならば、\(f+g\)もまた凸関数である。
- \(f,g\)がともに凸関数であるとともに、少なくとも一方が狭義凸関数であるならば、\(f+g\)もまた狭義凸関数である。
先の命題は\(2\)個の関数に関するものですが、\(3\)個以上の関数に関しても同様の主張が成り立ちます。つまり、\(m\)個の関数\(f_{1},\cdots ,f_{m}\)がいずれも凸関数であるならば関数\(f_{1}+\cdots +f_{m}\)もまた凸関数であり、関数\(f_{1},\cdots ,f_{m}\)がいずれも凸関数であるとともに少なくとも1つが狭義凸関数であるならば\(f_{1}+\cdots +f_{m}\)もまた狭義凸関数になります（演習問題）。
凹関数と狭義凹関数に関しても同様の主張が成り立ちます。
- \(f,g\)がともに凹関数であるならば、\(f+g\)もまた凹関数である。
- \(f,g\)がともに凹関数であるとともに、少なくとも一方が狭義凹関数であるならば、\(f+g\)もまた狭義凹関数である。
先の命題は\(2\)個の関数に関するものですが、\(3\)個以上の関数に関しても同様の主張が成り立ちます。つまり、\(m\)個の関数\(f_{1},\cdots ,f_{m}\)がいずれも凹関数であるならば関数\(f_{1}+\cdots +f_{m}\)もまた凹関数であり、関数\(f_{1},\cdots ,f_{m}\)がいずれも凹関数であるとともに少なくとも1つが狭義凹関数であるならば\(f_{1}+\cdots +f_{m}\)もまた狭義凹関数になります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(x^{2}\)は狭義凸関数であり\(x+1\)は凸関数であるため、それらの和である\(f\)は狭義凸関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(\ln \left( x\right) \)は狭義凹関数であり\(x+1\)は凹関数であるため、それらの和である\(f\)は狭義凹関数です。
多変数の凸関数・凹関数どうしの和
多変数の凸関数と凹関数についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
凸集合上に定義された2つの多変数関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して以下の値\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =f\left( \boldsymbol{x}\right) +g\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を定める新たな多変数関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
\(f,g\)がともに凸関数であるならば\(f+g\)もまた凸関数です。また、\(f,g\)がともに凸関数であるとともに、少なくとも一方が狭義凸関数であるならば\(f+g\)もまた狭義凸関数です。
- \(f,g\)がともに凸関数であるならば、\(f+g\)もまた凸関数である。
- \(f,g\)がともに凸関数であるとともに、少なくとも一方が狭義凸関数であるならば、\(f+g\)もまた狭義凸関数である。
先の命題は\(2\)個の関数に関するものですが、\(3\)個以上の関数に関しても同様の主張が成り立ちます。つまり、\(m\)個の関数\(f_{1},\cdots ,f_{m}\)がいずれも凸関数であるならば関数\(f_{1}+\cdots +f_{m}\)もまた凸関数であり、関数\(f_{1},\cdots ,f_{m}\)がいずれも凸関数であるとともに少なくとも1つが狭義凸関数であるならば\(f_{1}+\cdots +f_{m}\)もまた狭義凸関数になります。
凹関数と狭義凹関数に関しても同様の主張が成り立ちます。
- \(f,g\)がともに凹関数であるならば、\(f+g\)もまた凹関数である。
- \(f,g\)がともに凹関数であるとともに、少なくとも一方が狭義凹関数であるならば、\(f+g\)もまた狭義凹関数である。
先の命題は\(2\)個の関数に関するものですが、\(3\)個以上の関数に関しても同様の主張が成り立ちます。つまり、\(m\)個の関数\(f_{1},\cdots ,f_{m}\)がいずれも凹関数であるならば関数\(f_{1}+\cdots +f_{m}\)もまた凹関数であり、関数\(f_{1},\cdots ,f_{m}\)がいずれも凹関数であるとともに少なくとも1つが狭義凹関数であるならば\(f_{1}+\cdots +f_{m}\)もまた狭義凹関数になります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(x^{2}+y^{2}\)は狭義凸関数であり\(x+y+1\)は凸関数であるため、それらの和である\(f\)は狭義凸関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(\ln \left( x\right) +\ln \left( y\right) \)は狭義凹関数であり\(x+y+1\)は凹関数であるため、それらの和である\(f\)は狭義凹関数です。
演習問題
- \(f_{1},\cdots ,f_{m}\)がいずれも凸関数であるならば、\(f_{1}+\cdots +f_{m}\)もまた凸関数である。
- \(f_{1},\cdots ,f_{m}\)がいずれも凸関数であるとともに少なくとも1つが狭義凸関数であるならば、\(f_{1}+\cdots +f_{m}\)もまた狭義凸関数である。
- \(f_{1},\cdots ,f_{m}\)がいずれも凸関数であるとともに\(c_{1},\cdots ,c_{m}\)がいずれも正であるならば、\(c_{1}f_{1}+\cdots+c_{m}f_{m}\)もまた凸関数である。
- \(f_{1},\cdots ,f_{m}\)がいずれも凸関数であるとともに少なくとも1つが狭義凸関数であり、なおかつ\(c_{1},\cdots ,c_{m}\)がいずれも正であるならば、\(c_{1}f_{1}+\cdots +c_{m}f_{m}\)もまた狭義凸関数である。
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