超平面の定義と具体例

超平面

ユークリッド空間上の非ゼロベクトル\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、以下の条件\begin{equation*}\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}=c
\end{equation*}を満たすベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)からなる集合を超平面（hyperplane）と呼び、これを、\begin{equation*}H\left( \boldsymbol{a},c\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}=c\right\}
\end{equation*}で表記します。ただし、\(\cdot \)は内積を表す記号です。

超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)を規定する非ゼロベクトル\(\boldsymbol{a}\)を法線ベクトル（normal vector）と呼びます。また、超平面を規定する方程式\begin{equation*}\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}=c
\end{equation*}を超平面の方程式（equation of a hyperplane）と呼びます。

法線ベクトルは超平面と垂直

超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)を規定する非ゼロベクトル\(\boldsymbol{a}\)を法線ベクトルと呼びますが、これは超平面と垂直なベクトルです。つまり、超平面上のベクトルを任意に選んだとき、それは\(\boldsymbol{a}\)と直交します。つまり、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in H\left( \boldsymbol{a},c\right)
:\left( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right) \cdot \boldsymbol{a}=0
\end{equation*}が成り立つということです。

点と超平面の間の距離

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)と、この超平面に属さない点\(\boldsymbol{x}_{1}\)をそれぞれ任意に選びます。点\(\boldsymbol{x}_{1}\)から超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)へ下ろした垂線の足を点\(\boldsymbol{x}_{0}\)で表記します。ベクトル\(\boldsymbol{x}_{1}-\boldsymbol{x}_{0}\)は超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)と直交します。加えて、\(\boldsymbol{x}_{1}\)は\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)に属さない点であるため\(\boldsymbol{x}_{1}-\boldsymbol{x}_{0}\)は非ゼロベクトルです。したがって、\(\boldsymbol{x}_{1}-\boldsymbol{x}_{0}\)は\(\boldsymbol{a}\)に平行なベクトルであるとともに、このベクトル\(\boldsymbol{x}_{1}-\boldsymbol{x}_{0}\)の長さは点\(\boldsymbol{x}_{1}\)と超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)の間の距離に相当します。

超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)の法線ベクトル\(\boldsymbol{a}\)が単位ベクトルである場合、すなわち、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert =1
\end{equation*}が成り立つ場合、原点\(\boldsymbol{0}\in \mathbb{R} ^{n}\)と超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)の間の距離は、先の命題より、\begin{eqnarray*}\frac{\left\vert \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{0}-c\right\vert }{\left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert } &=&\frac{\left\vert \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{0}-c\right\vert }{1}\quad \because \left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert =1 \\
&=&\left\vert c\right\vert
\end{eqnarray*}となります。つまり、超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)を規定するスカラー\(c\)は、法線ベクトル\(\boldsymbol{a}\)が単位ベクトルであるような超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)と原点\(\boldsymbol{0}\)の間の距離に相当します。

超平面の表現の非一意性

超平面は法線ベクトル\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}H\left( \boldsymbol{a},c\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}=c\right\}
\end{equation*}と表現されますが、この表現は一意ではありません。実際、任意の非ゼロスカラー\(\lambda \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}H\left( \boldsymbol{a},c\right) =H\left( \lambda \boldsymbol{a},\lambda
c\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

以上の命題より、超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)を規定する法線ベクトル\(\boldsymbol{a}\)とスカラー\(c\)は一意的ではないことが明らかになりました。特に、\(\boldsymbol{a}\)は非ゼロベクトルであることから、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert \not=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert }\not=0
\end{equation*}が成り立つため、新たな法線ベクトルとして\(\frac{\boldsymbol{a}}{\left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert }\)を採用し、新たなスカラーとして\(\frac{c}{\left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert }\)を採用すれば、先の命題において\(\lambda =\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert }\)とおくことにより、\begin{equation*}H\left( \frac{\boldsymbol{a}}{\left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert },\frac{c}{\left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert }\right) =H\left( \boldsymbol{a},c\right)
\end{equation*}を得ます。ここでのポイントは、超平面\(H\left( \frac{\boldsymbol{a}}{\left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert },\frac{c}{\left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert }\right) \)の法線ベクトル\(\frac{\boldsymbol{a}}{\left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert }\)はもとの法線ベクトル\(\boldsymbol{a}\)と同一方向の単位ベクトルであるということです。したがって、新たなスカラー\(\frac{c}{\left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert }\)は超平面\(H\left( \frac{\boldsymbol{a}}{\left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert },\frac{c}{\left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert }\right) \)と原点\(\boldsymbol{0}\)の間の距離に対応します。

このように、超平面の法線ベクトルを単位ベクトルに正規化することで、超平面の位置と向きを幾何学的に解釈しやすくなります。

超平面は非空集合

超平面は非空集合です。

超平面は凸集合

超平面は凸集合です。

超平面はアフィン部分空間かつアフィン集合

線型代数の観点からは、超平面をアフィン部分空間として位置付けることができます。

実ベクトル空間の部分空間\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられているものとします。つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ X\not=\phi \\
&&\left( b\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in X \\
&&\left( c\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:a\boldsymbol{x}\in X
\end{eqnarray*}がすべて成り立つということです。さらに、ベクトル\(\boldsymbol{x}_{0}\in \mathbb{R} ^{n}\)を選んだ上で、\(X\)上に存在するすべての点を\(\boldsymbol{x}_{0}\)だけ動かすと、移動後の点からなる集合が、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{0}+X=\left\{ \boldsymbol{x}_{0}+\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\}
\end{equation*}として定まります。さて、実ベクトル空間の部分集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{n}\)に対して何らかの部分空間\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)およびベクトル\(\boldsymbol{x}_{0}\in \mathbb{R} ^{n}\)が存在して、\begin{equation*}Y=\boldsymbol{x}_{0}+X
\end{equation*}という形で表せる場合、\(Y\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)のアフィン部分空間と呼びます。つまり、何らかの部分空間\(X\)上に存在するすべての点を同じだけ移動することにより\(Y\)が得られる場合、\(Y\)をアフィン部分空間と呼ぶということです。

超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)がアフィン部分空間であることを示す前段として、原点を通過する超平面\(H\left( \boldsymbol{a},0\right) \)が部分空間であることを示します。

以上を踏まえた上で、超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)がアフィン部分空間であることを示します。

ユークリッド空間の非空集合を対象とした場合、それがアフィン集合であることとアフィン部分空間であることは必要十分です。したがって先の命題より以下を得ます。

1次方程式の解集合としての超平面

超平面は幾何学的対象として導入されることが多いですが、後に最適化理論や凸解析へ進むことを見据えると、超平面を1次方程式の解集合として理解しておくことも重要です。

法線ベクトル\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)から定義される超平面\begin{equation*}H\left( \boldsymbol{a},c\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}=c\right\}
\end{equation*}を規定する条件\begin{equation*}
\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x}=c
\end{equation*}は、\(n\)個の変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)に関する1次方程式\begin{equation}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=c \quad \cdots (1)
\end{equation}であるため、超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)はこの1次方程式の解集合です。その一方で、先に示したように\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)の次元は\(n-1\)です。

\(n\geq 2\)の場合、1本の1次方程式は\(n\)個の変数を完全には拘束できず、\(n-1\)次元の自由度が残るため、1次方程式\(\left( 1\right) \)は無限個の解を持ちます。

\(n=1\)の場合には、1次方程式\(\left( 1\right) \)は、\begin{equation*}ax=c
\end{equation*}となりますが、\(a\not=0\)ゆえに、\begin{equation*}x=\frac{c}{a}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
H\left( a,c\right) =\left\{ \frac{c}{a}\right\}
\end{equation*}となります。

1次元ユークリッド空間における点と超平面の関係

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において点を表現するためには、その点の位置を表す\(n\)個の実数を成分とするベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を指定すれば十分です。便宜上、これを\(\boldsymbol{x}\)だけを要素として持つ1点集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}\right\}
\end{equation*}と同一視します。

1次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)における点は実数\(x\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\left\{ x\right\}
\end{equation*}と表現される一方で、\(\mathbb{R} \)における超平面は法線ベクトル\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}H\left( a,c\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\cdot x=c\right\}
\end{equation*}と表現されますが、\(\mathbb{R} \)において両者は概念として一致します。

一般に、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点を特定するためには座標\(\boldsymbol{x}\)を指定する必要があります。先の命題によると、1次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)を議論の対象とする場合には点\(\left\{ x\right\} \)は超平面\(H\left( a,c\right) \)と一致するため、法線ベクトル\(a\)とスカラー\(c\)を指定することを通じて点を特定することもできます。

2次元ユークリッド空間における直線と超平面の関係

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において、直線上にある点の位置ベクトル\(\boldsymbol{p}\in \mathbb{R} ^{n}\)と直線の方向ベクトル\(\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)が与えられれば、直線のベクトル方程式は、媒介変数\(t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=\boldsymbol{p}+t\boldsymbol{v}
\end{equation*}と表現されるため、直線上のすべての点の位置ベクトルからなる集合、すなわち直線は、\begin{equation*}
L\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{v}\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :x=\boldsymbol{p}+t\boldsymbol{v}\right\}
\end{equation*}と定義されます。

2次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における直線は位置ベクトル\(\boldsymbol{p}\in \mathbb{R} ^{2}\)と方向ベクトル\(\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)を用いて、\begin{equation*}L\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{v}\right) =\left\{ \left(
x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( p_{1},p_{2}\right) +t\left(
v_{1},v_{2}\right) \right\}
\end{equation*}と表現される一方で、\(\mathbb{R} ^{2}\)における超平面は法線ベクトル\(a\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}H\left( a,c\right) =\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( a_{1},a_{2}\right) \cdot \left( x_{1},x_{2}\right)
=c\right\}
\end{equation*}と表現されますが、\(\mathbb{R} ^{2}\)において両者は概念として一致します。

一般に、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の直線\(L\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{v}\right) \)を特定するためには位置ベクトル\(\boldsymbol{p}\)と方向ベクトル\(\boldsymbol{v}\)を指定する必要があります。先の命題によると、2次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)を議論の対象とする場合には直線\(L\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{v}\right) \)は超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)と一致するため、法線ベクトル\(\boldsymbol{a}\)とスカラー\(c\)を指定することを通じて直線を特定することもできます。

2次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における原点を通る超平面は、法線ベクトル\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)とスカラー\(0\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}H\left( \boldsymbol{a},0\right) =\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}=0\right\}
\end{equation*}と表されますが、これは原点を通過する直線であるとともに\(\mathbb{R} ^{2}\)における部分空間であり、さらにその次元は\(1\)です。一般の超平面は、法線ベクトル\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}H\left( \boldsymbol{a},c\right) =\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}=c\right\}
\end{equation*}と表されますが、これは原点を通過するとは限らない直線です。さらに、\(x_{0}\in H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}H\left( \boldsymbol{a},c\right) =x_{0}+H\left( \boldsymbol{a},0\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)におけるアフィン部分空間であり、その次元は\(1\)です。

3次元ユークリッド空間における平面と超平面の関係

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において、直線上にある点の位置ベクトル\(\boldsymbol{p}\in \mathbb{R} ^{n}\)と平面の線型独立な方向ベクトル\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)が与えられれば、平面のベクトル方程式は、媒介変数\(s,t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=\boldsymbol{p}+s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}
\end{equation*}と表現されるため、平面上のすべての点の位置ベクトルからなる集合、すなわち平面は、\begin{equation*}
H\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :x=\boldsymbol{p}+s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}\right\}
\end{equation*}と定義されます。

3次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{3}\)における平面は位置ベクトル\(\boldsymbol{p}\in \mathbb{R} ^{3}\)と線型独立な方向ベクトル\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)を用いて、\begin{equation*}H\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right) =\left\{ \left(
x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =\left( p_{1},p_{2},p_{3}\right) +s\left(
v_{1},v_{2},v_{3}\right) +t\left( w_{1},w_{2},w_{3}\right) \right\}
\end{equation*}と表現される一方で、\(\mathbb{R} ^{3}\)における超平面は法線ベクトル\(a\in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}H\left( a,c\right) =\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) \cdot \left(
x_{1},x_{2},x_{3}\right) =c\right\}
\end{equation*}と表現されますが、\(\mathbb{R} ^{3}\)において両者は概念として一致します。

一般に、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の平面\(P\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right) \)を特定するためには位置ベクトルと\(\boldsymbol{p}\)と線型独立な方向ベクトル\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\)を指定する必要があります。先の命題によると、3次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{3}\)を議論の対象とする場合には平面\(P\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right) \)は超平面\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)と一致するため、法線ベクトル\(\boldsymbol{a}\)とスカラー\(c\)を指定することを通じて平面を特定することもできます。

3次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{3}\)における原点を通る超平面は、法線ベクトル\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)とスカラー\(0\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}H\left( \boldsymbol{a},0\right) =\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}=0\right\}
\end{equation*}と表されますが、これは原点を通過する平面であるとともに\(\mathbb{R} ^{3}\)における部分空間であり、さらにその次元は\(2\)です。一般の超平面は、法線ベクトル\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}H\left( \boldsymbol{a},c\right) =\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}=c\right\}
\end{equation*}と表されますが、これは平面です。さらに、\(x_{0}\in H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}H\left( \boldsymbol{a},c\right) =x_{0}+H\left( \boldsymbol{a},0\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(H\left( \boldsymbol{a},c\right) \)は\(\mathbb{R} ^{3}\)におけるアフィン部分空間であり、その次元は\(2\)です。

演習問題