問題1（32点）
問題（集合の濃度が等しいことの証明）
以下の2つの集合\(A,B\)について、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert
\end{equation*}が成り立つことを、全単射\(f:A\rightarrow B\)を具体的に構成することにより証明してください（各8点）。
\end{equation*}が成り立つことを、全単射\(f:A\rightarrow B\)を具体的に構成することにより証明してください（各8点）。
- 集合\(A,B\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ 3n\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \\B &=&\left\{ 4m\in \mathbb{R} \ |\ m\in \mathbb{N} \right\}
\end{eqnarray*}として与えられる場合。 - 集合\(A,B\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ 2n\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{Z} \right\} \\B &=&\left\{ m^{2}\in \mathbb{R} \ |\ m\in \mathbb{Z} \right\}
\end{eqnarray*}として与えられる場合。 - 集合\(A,B\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}A &=&\left[ 0,100\right] \\B &=&\left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}として与えられる場合。
- 集合\(A,B\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}A &=&\left( 0,1\right) \\B &=&\left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)
\end{eqnarray*}として与えられる場合。
問題2（22点）
問題（単射が全単射であるための条件）
写像\(f:A\rightarrow A\)が与えられているものとします。加えて、\(f\)は単射であるものとします。以下の問いに答えてください（各11点）。
- \(A\)が有限集合である場合には、\(f\)は必ず全単射であると言えるでしょうか。\(f\)が全単射である場合には証明を行い、そうではない場合には反例を提示してください。
- \(A\)が可算集合である場合には、\(f\)は必ず全単射であると言えるでしょうか。\(f\)が全単射である場合には証明を行い、そうではない場合には反例を提示してください。
問題3（24点）
問題（可算集合）
以下の集合はそれぞれ可算集合でしょうか。可算集合であること、もしくは可算集合ではないことを証明してください（各8点）。
- \(A=\left\{ \left( m,n\right) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \ |\ m\leq n\right\} \)
- \(B=\mathbb{Q} ^{100}\)
- \(C=\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)
問題4（22点）
問題（有限集合上の同値関係と濃度）
有限集合\(A\)および\(A\)上の同値関係\(R\subset A\times A\)が与えられているものとします。以下の問いに答えてください（各11点）。
- 両者の濃度の間には以下の関係\begin{equation*}\left\vert A\right\vert \leq \left\vert R\right\vert
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。 - \(\left\vert A\right\vert =\left\vert R\right\vert \)が成り立つ場合、\(R\)の要素をすべて特定してください。
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