確認テスト II（集合の濃度）

以下の2つの区間\begin{eqnarray*}
\left( 0,1\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0<x<1\right\} \\
\left[ 0,1\right] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq x\leq 1\right\}
\end{eqnarray*}の濃度が一致すること、すなわち、\begin{equation*}
\left\vert \left( 0,1\right) \right\vert =\left\vert \left[ 0,1\right] \right\vert
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。ただし、\begin{equation*}
\left\vert \left( 0,1\right) \right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}であることを既知の事実として用いることができます。

以下の集合\begin{equation*}
A=\left\{ a+b\sqrt{2}\in \mathbb{R} \ |\ a,b\in \mathbb{Z} \right\}
\end{equation*}を定義します。これに対して、以下の集合\begin{equation*}\mathbb{R} \backslash A
\end{equation*}が非可算集合であることを証明してください。

無限集合\(A\)に対して単射\(f:A\rightarrow \mathbb{N} \)が存在することは、\(A\)が可算集合であるための必要十分条件であることを証明してください。

有理数集合\(\mathbb{Q} \)の有限部分集合をすべて集めることにより得られる集合族が可算集合であることを証明してください。

以下の問いに答えてください。

1. \(\mathbb{N} \)から\(\left\{ 0,1\right\} \)への写像をすべて集めることにより得られる集合を、\begin{equation*}F=\left\{ f:\mathbb{N} \rightarrow \left\{ 0,1\right\} \ |\ f\text{は写像}\right\} \end{equation*}で表記します。この集合の濃度について、\begin{equation*}
   \left\vert F\right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
   \end{equation*}が成り立つことを証明してください。ただし、\begin{equation*}
   \left\vert 2^{\mathbb{N} }\right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
   \end{equation*}であることを既知の事実として用いることができます（20点）。
2. \(\mathbb{R} \)から\(\left\{ 0,1\right\} \)への写像をすべて集めることにより得られる集合を、\begin{equation*}F=\left\{ f:\mathbb{N} \rightarrow \left\{ 0,1\right\} \ |\ f\text{は写像}\right\} \end{equation*}で表記します。この集合の濃度について、\begin{equation*}
   \left\vert F\right\vert >\left\vert \mathbb{R} \right\vert
   \end{equation*}が成り立つことを証明してください。ただし、\begin{equation*}
   \left\vert 2^{\mathbb{R} }\right\vert >\left\vert \mathbb{R} \right\vert
   \end{equation*}であることを既知の事実として用いることができます（10点）。