入れ子構造の閉区間列
以下の3つの性質を満たすユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の区間列\(\left\{ I_{v}\right\} \)が与えられている状況を想定します。
1つ目の性質は、この区間列のすべての項が有界な閉区間であるということです。つまり、この区間列の一般項\(I_{v}\)は、任意の\(i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について\(a_{v}^{\left( i\right) }<b_{v}^{\left( i\right) }\)を満たす点\(\boldsymbol{a}_{v},\boldsymbol{b}_{v}\in \mathbb{R} ^{n}\)を用いて、\begin{equation*}I_{v}=\left[ \boldsymbol{a}_{v},\boldsymbol{b}_{v}\right] =\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{v}^{\left( i\right) },b_{v}^{\left( i\right) }\right] \end{equation*}と表されます。
2つ目の性質は、この区間列\(\left\{ I_{v}\right\} \)が単調減少列であることです。つまり、\begin{equation*}\forall v\in \mathbb{N} :I_{v}\supset I_{v+1}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
I_{1}\supset I_{2}\supset I_{3}\supset \cdots
\end{equation*}が成り立つということです。
3つ目の性質は、この区間列\(\left\{ I_{v}\right\} \)を構成する区間の直径に関するものです。任意の\(v\in \mathbb{N} \)について\(I_{v}\)は有界であるためその直径\(d\left(I_{v}\right) \)が非負の有限な実数として定まることから、区間列\(\left\{I_{v}\right\} \)を構成する区間の直径を項とする数列\(\left\{ d\left( I_{v}\right) \right\} \)が得られますが、この数列が\(0\)へ収束する状況、すなわち、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow +\infty }d\left( I_{v}\right) =0
\end{equation*}が成り立つ状況を想定します。ちなみに、以上の条件は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の区間\(I_{v}\)の各辺に相当する\(\mathbb{R} \)上の区間\(\left[ a_{v}^{\left( i\right)},b_{v}^{\left( i\right) }\right] \)の長さがいずれも\(0\)へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\lim_{v\rightarrow +\infty }\left(
b_{v}^{\left( i\right) }-a_{v}^{\left( i\right) }\right) =0
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。
以上の3つの性質を満たす区間列を入れ子構造の閉区間列（nested sequence of closed intervals）と呼ぶこととします。
&=&\left[ -\frac{1}{v},\frac{1}{v}\right] \times \cdots \times \left[ -\frac{1}{v},\frac{1}{v}\right] \end{eqnarray*}であるものとします。任意の\(v\in \mathbb{N} \)について\(I_{v}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界な閉区間です。また、番号\(v\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}I_{v} &=&\prod_{i=1}^{n}\left[ -\frac{1}{v},\frac{1}{v}\right] \\
&\supset &\prod_{i=1}^{n}\left[ -\frac{1}{v+1},\frac{1}{v+1}\right] \\
&=&I_{v+1}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(\left\{I_{v}\right\} \)は単調減少列です。さらに、\(I_{v}\)の各辺\(\left[ -\frac{1}{v},\frac{1}{v}\right] \)の長さについて、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\left[ \frac{1}{v}-\left( -\frac{1}{v}\right) \right] &=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\frac{2}{v} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、これは、\begin{equation*}
d\left( I_{v}\right) =0
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。したがって、この区間列\(\left\{I_{v}\right\} \)は入れ子構造の閉区間列です。
&=&\left[ 0,\frac{1}{v}\right] \times \cdots \times \left[ 0,\frac{1}{v^{n}}\right] \end{eqnarray*}であるものとします。任意の\(v\in \mathbb{N} \)について\(I_{v}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界な閉区間です。また、番号\(v\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}I_{v} &=&\prod_{i=1}^{n}\left[ 0,\frac{1}{v^{i}}\right] \\
&\supset &\prod_{i=1}^{n}\left[ 0,\frac{1}{\left( v+1\right) ^{i}}\right] \\
&=&I_{v+1}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(\left\{I_{v}\right\} \)は単調減少列です。さらに、\(I_{v}\)の各辺\(\left[ 0,\frac{1}{v^{i}}\right] \)の長さについて、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\left[ \frac{1}{v^{i}}-0\right] &=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\frac{1}{v^{i}} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、これは、\begin{equation*}
d\left( I_{v}\right) =0
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。したがって、この区間列\(\left\{I_{v}\right\} \)は入れ子構造の閉区間列です。
カントールの縮小区間定理
実数空間\(\mathbb{R} \)上の区間列に関するカントールの縮小区間定理を以下に再掲します。
\forall n\in \mathbb{N} :I_{n}\supset I_{n+1}
\end{equation*}が成り立ち、さらに、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( b_{n}-a_{n}\right) =0
\end{equation*}が成り立つものとする。以上の性質を満たす区間列\(\left\{ I_{n}\right\} \)について、\begin{equation*}\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty }I_{n}\not=\phi
\end{equation*}が成り立つ。しかも、この共通部分は1点集合であり、その唯一の要素は、\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }a_{n}\ \left( =\lim\limits_{n\rightarrow
+\infty }b_{n}\right)
\end{equation*}と一致する。
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の区間列に関しても同様の主張が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する入れ子構造の閉区間列\(\left\{I_{v}\right\} \)が与えられたとき、その共通部分は空ではないという命題、すなわち、\begin{equation*}\bigcap\limits_{v=1}^{+\infty }I_{v}\not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。入れ子構造の閉区間列\(\left\{ I_{v}\right\} \)に関しては、その要素であるすべての区間\(I_{1},I_{2},\cdots \)に属する\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点が必ず存在します。しかも、そのような点は常に1つだけ存在するとともに、その点を具体的に特定することもできます。具体的には以下の通りです。これが\(\mathbb{R} ^{n}\)におけるカントールの縮小区間定理（Cantor’s nested interval theorem）です。
\forall v\in \mathbb{N} :I_{v}\supset I_{v+1}
\end{equation*}が成り立ち、さらに、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }d\left( I_{v}\right) =0
\end{equation*}が成り立つものとする。以上の性質を満たす区間列\(\left\{ I_{v}\right\} \)について、\begin{equation*}\bigcap\limits_{v=1}^{+\infty }I_{v}\not=\phi
\end{equation*}が成り立つ。しかも、この共通部分は1点集合であり、その唯一の要素は、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{a}_{v}\ \left( =\lim_{v\rightarrow
+\infty }\boldsymbol{b}_{v}\right)
\end{equation*}と一致する。
&=&\left[ -\frac{1}{v},\frac{1}{v}\right] \times \cdots \times \left[ -\frac{1}{v},\frac{1}{v}\right] \end{eqnarray*}であるものとします。先に例を通じて確認したように、\(\left\{I_{v}\right\} \)は入れ子構造の閉区間列です。したがって先の命題より、この区間列の共通部分は1点集合であるとともに、その唯一の要素は、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\left( -\frac{1}{v},\cdots ,-\frac{1}{v}\right)
&=&\left( 0,\cdots ,0\right) \\
&=&\boldsymbol{0}
\end{eqnarray*}と一致します。つまり、\begin{equation*}
\bigcap_{v=1}^{+\infty }I_{v}=\left\{ \boldsymbol{0}\right\}
\end{equation*}であるということです。
&=&\left[ 0,\frac{1}{v}\right] \times \cdots \times \left[ 0,\frac{1}{v^{n}}\right] \end{eqnarray*}であるものとします。先に例を通じて確認したように、\(\left\{I_{v}\right\} \)は入れ子構造の閉区間列です。したがって先の命題より、この区間列の共通部分は1点集合であるとともに、その唯一の要素は、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\left( 0,\cdots ,0\right) &=&\left( 0,\cdots
,0\right) \\
&=&\boldsymbol{0}
\end{eqnarray*}と一致します。つまり、\begin{equation*}
\bigcap_{v=1}^{+\infty }I_{v}=\left\{ \boldsymbol{0}\right\}
\end{equation*}であるということです。
演習問題
},b_{v}^{\left( i\right) }\right] =\prod_{i=1}^{n}\bigcap\limits_{v=1}^{+\infty }\left[ a_{v}^{\left( i\right) },b_{v}^{\left( i\right) }\right] \end{equation*}が成り立つことを証明してください。
&=&\left[ 1-\frac{1}{v},1+\frac{1}{v}\right] \times \cdots \times \left[ n-\frac{1}{v},n+\frac{1}{v}\right] \end{eqnarray*}であるものとします。\(\left\{ I_{v}\right\} \)が入れ子構造の閉区間列であることを確認した上で、その共通部分\begin{equation*}\bigcap_{v=1}^{+\infty }I_{v}
\end{equation*}を特定してください。
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