確認テスト I（凸関数）

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください（各5点）。

1. \(f\)が狭義凹関数であることを微分を用いて証明してください。
2. \(f\)が狭義凹関数であることをハイポグラフを用いて証明してください。
3. \(f\)が凸関数ではないことをエピグラフを用いて証明してください。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{1}{xy}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が狭義凸関数であることを証明してください。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が凸関数と凹関数のどちらでもないことを証明してください。

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が凸関数であるものとします。以下の問いに答えてください（各5点）。

1. \(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を選びます。このとき、任意の\(x\in \left[ a,b\right] \)について、\begin{equation*}f\left( x\right) \leq \frac{b-x}{b-a}f\left( a\right) +\frac{x-a}{b-a}f\left( b\right) \end{equation*}が成り立つことを証明してください。
2. 任意の\(x\in \left( a,b\right) \)について、\begin{equation*}\frac{f\left( x\right) -f\left( a\right) }{x-a}\leq \frac{f\left( b\right)-f\left( a\right) }{b-a}\leq \frac{f\left( b\right) -f\left( x\right) }{b-x}
   \end{equation*}が成り立つことを証明してください。
3. \(f\)は微分可能であるものとします。問2の結果を用いて、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) \leq \frac{f\left( b\right) -f\left( a\right) }{b-a}\leq f^{\prime }\left( b\right) \end{equation*}が成り立つことを証明してください。
4. \(f\)は2階微分可能であるものとします。問3の結果を用いて、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime }\left( a\right) &\geq &0 \\f^{\prime \prime }\left( b\right) &\geq &0
   \end{eqnarray*}がともに成り立つことを証明してください。

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が狭義単調増加な凸関数であるものとします。\(f\)の逆関数を\(f^{-1}:\mathbb{R} \supset f\left( I\right) \rightarrow I\)で表記します。\(f\)と\(f^{-1}\)はともに2階微分可能であるものとします。以上の条件のもとでは、\(f^{-1}\)が凹関数であることを証明してください。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が連続な凸関数である場合には、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\int_{0}^{1}f\left( \boldsymbol{x}+\lambda \left( \boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}\right) \right) d\lambda \leq \frac{f\left( \boldsymbol{x}\right) +f\left( \boldsymbol{y}\right) }{2}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。