集積点
ユークリッド空間の点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、点\(\boldsymbol{a}\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍とは、点\(\boldsymbol{a}\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点からなる集合\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\varepsilon \right\}
\\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon
\right\}
\end{eqnarray*}です。\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)の任意の近傍が\(\boldsymbol{a}\)とは異なる\(A\)の要素を持つ場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \cap
\left( A\backslash \left\{ \boldsymbol{a}\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つならば、\(\boldsymbol{a}\)を\(A\)の集積点（accumulation point）や極限点（limit point）などと呼びます。つまり、点\(\boldsymbol{a}\)が集合\(A\)の集積点であることとは、点\(\boldsymbol{a}\)からいくらでも近い場所に\(\boldsymbol{a}\)とは異なる\(A\)の点が必ず存在することを意味します。上の定義において、点\(\boldsymbol{a}\)は\(A\)の要素であるとまでは指定されていません。つまり、\(A\)の集積点は\(A\)の要素である場合とそうではない場合の両方が起こり得るということです。
逆に、点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が集合\(A\)の集積点でないこととは、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \cap
\left( A\backslash \left\{ \boldsymbol{a}\right\} \right) =\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、点\(\boldsymbol{a}\)が集合\(A\)の集積点でないこととは、点\(\boldsymbol{a}\)から十分近い場所に\(\boldsymbol{a}\)とは異なる\(A\)の点が存在しないことを意味します。
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)のすべての集積点からなる集合を\(A\)の導集合（derived set）と呼び、\begin{equation*}A^{d}
\end{equation*}で表記します。任意の点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{x}\in A^{d}\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon
}(\boldsymbol{x})\cap \left( A\backslash \{\boldsymbol{x}\}\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。
集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)の集積点\(\boldsymbol{a}\in A^{d}\)が与えられたとき、定義より、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \cap
\left( A\backslash \left\{ \boldsymbol{a}\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。\(A\backslash\left\{ \boldsymbol{a}\right\} \subset A\)であることを踏まえると、このとき、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \cap
A\not=\phi
\end{equation*}もまた明らかに成り立ちますが、これは点\(\boldsymbol{a}\)が集合\(A\)の触点であることの定義に他なりません。つまり\(\boldsymbol{a}\in A^{a}\)です。ただし\(A^{a}\)は\(A\)の閉包です。以上より、\begin{equation*}A^{d}\subset A^{a}
\end{equation*}であることが明らかになりました。集合\(A\)の集積点は必ず\(A\)の触点であるということです。さらに、触点は内点もしくは境界点であるため、すなわち、\begin{equation*}A^{a}=A^{i}\cup A^{f}
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
A^{d}\subset A^{i}\cup A^{f}
\end{equation*}を得ます。ただし、\(A^{i}\)は\(A\)の内部であり、\(A^{f}\)は\(A\)の境界です。集合\(A\)の集積点は必ず\(A\)の内点または境界点であるということです。
結論をまとめると以下の命題を得ます。
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(A^{d}\)は\(A\)の導集合であり、\(A^{a}\)は\(A\)の閉包であり、\(A^{i}\)は\(A\)の内部であり、\(A^{f}\)は\(A\)の境界である。
以上の命題より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の集積点は\(A\)の内点または境界点のどちらか一方であることが明らかになりました。では、逆の主張は成り立つでしょうか。まず、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の内点は集積点であることが保証されます。
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(A^{d}\)は\(A\)の導集合であり、\(A^{i}\)は\(A\)の内部である。
他方で、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の境界点は集積点であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}をとります。半径\(\varepsilon>0\)を任意に選んだとき点\(\boldsymbol{a}\)を中心とする近傍\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)は\(\boldsymbol{a}\)を要素として持つため\(\left\{ \boldsymbol{a}\right\} \)と交わります。同時に、\(\varepsilon >0\)であることから\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ \boldsymbol{a}\right\} \)とも交わります。したがって点\(\boldsymbol{a}\)は\(\left\{ \boldsymbol{a}\right\} \)の境界点です。その一方で、\(\left\{ \boldsymbol{a}\right\} \)は\(\boldsymbol{a}\)以外の要素を持たないため、\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)は\(\boldsymbol{a}\)とは異なる\(\left\{ \boldsymbol{a}\right\} \)の点を要素として持ち得ません。したがって\(\boldsymbol{a}\)は\(\left\{ \boldsymbol{a}\right\} \)の集積点ではありません。
ただし、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の境界点が\(A\)の要素ではない場合には、\(A\)の集積点になることが保証されます。
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(A^{d}\)は\(A\)の導集合であり、\(A^{f}\)は\(A\)の境界点である。
これまでの議論を整理します。\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)の集積点は内点または境界点になることが保証されるため、集積点を探す際には内点と境界点だけを候補とすることができます。また、\(A\)のすべての内点は集積点であることが保証されます。一方、\(A\)の境界点は集積点であるとは限りません。\(A\)の要素ではない\(A\)の境界点は\(A\)の集積点になることが保証されますが、\(A\)の要素であるような\(A\)の境界点は\(A\)の集積点になるとは限りません。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)のすべての集積点を特定する上で以下の指針が役に立ちます。
- \(A\)の内点はいずれも\(A\)の集積点である。
- \(A\)の要素ではない\(A\)の境界点はいずれも\(A\)の集積点である。
- \(A\)の要素である\(A\)の境界点は\(A\)の集積点である場合とそうでない場合がある（ここだけチェックが必要）。
- それ以外には\(A\)の集積点は存在しない。
\end{equation*}と定義されます。この集合の導集合は、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \right)
^{d}=C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}です。ただし、\(C_{\varepsilon}\left( \boldsymbol{a}\right) \)は点\(\boldsymbol{a}\)が中心で半径\(\varepsilon \)の閉近傍であり、\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) \leq \varepsilon
\right\}
\end{equation*}と定義されます（演習問題）。
^{d}=C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}です（演習問題）。
&=&\prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right) \\
&=&\left( a_{1},b_{1}\right) \times \cdots \times \left( a_{n},b_{n}\right)
\end{eqnarray*}の導集合は、\begin{equation*}
\left( \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right) ^{d}=\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] \end{equation*}です。ただし、\begin{eqnarray*}
\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] &=&\prod\limits_{i=1}^{n}\left[
a_{i},b_{i}\right] \\
&=&\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{eqnarray*}です（演習問題）。
a_{i},b_{i}\right] \\
&=&\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{eqnarray*}の導集合は、\begin{equation*}
\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] ^{d}=\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] \end{equation*}です（演習問題）。
a_{i},+\infty \right) \\
&=&\left( a_{1},+\infty \right) \times \cdots \times \left( a_{n},+\infty
\right)
\end{eqnarray*}の導集合は、\begin{equation*}
\left( \boldsymbol{a},+\infty \right) ^{d}=[\boldsymbol{a},+\infty )
\end{equation*}です。ただし、\begin{eqnarray*}
\lbrack \boldsymbol{a},+\infty ) &=&\prod\limits_{i=1}^{n}[a_{i},+\infty )
\\
&=&[a_{1},+\infty )\times \cdots \times \lbrack a_{n},+\infty )
\end{eqnarray*}です（演習問題）。
\\
&=&[a_{1},+\infty )\times \cdots \times \lbrack a_{n},+\infty )
\end{eqnarray*}の導集合は、\begin{equation*}
\lbrack \boldsymbol{a},+\infty )^{d}=[\boldsymbol{a},+\infty )
\end{equation*}です（演習問題）。
\end{equation*}です（演習問題）。
\end{equation*}です（演習問題）。
\end{equation*}です（演習問題）。
\end{equation*}です（演習問題）。
&=&\left\{ -1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\cdots ,\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているとき、導集合は、\begin{equation*}
A^{d}=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}となります（演習問題）。これは\(A\)集積点が\(A\)の点ではない例です。
&=&\left\{ -1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\cdots ,0,\cdots ,\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているとき、導集合は、\begin{equation*}
A^{d}=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}となります（演習問題）。これは\(A\)集積点が\(A\)の点である例です。
点列を用いた集積点の定義
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が\(A\)の集積点であることを判定する方法としては、集積点の定義にもとづいて確認する方法や、先の方針にもとづいて確認する方法などがあります。ただ、集積点は点列の極限を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用した方が集積点であることを容易に判定できる場合があります。順を追って説明します。
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)と点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選びます。一般に、\(A\)の点を項とするとともに、すべて項が点\(\boldsymbol{a}\)とは異なり、なおかつ点\(\boldsymbol{a}\)に収束する点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は存在するとは限りません。つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\boldsymbol{x}_{v}\in A\backslash \left\{ \boldsymbol{a}\right\} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}=\boldsymbol{a}
\end{eqnarray*}をともに満たす点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は存在するとは限らないということです。しかし、点\(\boldsymbol{a}\)が集合\(A\)の集積点である場合には、以上の性質を満たす点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が必ず存在します。
上の命題の逆もまた成立します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)と点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(A\)の点を項とするとともに任意の項が点\(\boldsymbol{a}\)とは異なり、なおかつ点\(\boldsymbol{a}\)へ収束する点列が存在する場合には、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\boldsymbol{x}_{v}\in A\backslash \left\{ \boldsymbol{a}\right\} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}=\boldsymbol{a}
\end{eqnarray*}をともに満たす点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が存在する場合、この点\(\boldsymbol{a}\)は\(A\)の集積点であることが保証されます。
以上の2つの命題より、集積点という概念は点列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の点とするとともに任意の項が\(\boldsymbol{a}\)とは異なり、なおかつ点\(\boldsymbol{a}\)へ収束する点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が存在する場合、極限に相当する点\(\boldsymbol{a}\)のいくらでも近い場所に\(\boldsymbol{a}\)とは異なる\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の点が無数に存在します。したがって、\(\boldsymbol{a}\)が\(A\)の集積点である場合には、\(\boldsymbol{a}\)とは異なる\(A\)の点をたどりながら点\(\boldsymbol{a}\)に限りなく近づくことが可能です。
点列を用いて集積点であることを判定する
先の命題より、集積点に関する議論を点列の収束に関する議論に置き換えて考えることができます。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が\(A\)の集積点であることを示すためには、\(A\)の点を項とするとともに任意の項が\(\boldsymbol{a}\)とは異なり、なおかつ\(\boldsymbol{a}\)へ収束する点列が存在することを示せばよいことになります。
\end{equation*}について考えます。先に示したように、\begin{eqnarray*}
\left( N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \right) ^{d}
&=&C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) \leq \varepsilon
\right\}
\end{eqnarray*}であるため、\(C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)上の任意の点は\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)の集積点です。同じことを点列を用いて示します。まずは、\(d\left( b,\boldsymbol{a}\right) <\varepsilon \)すなわち\(b\in N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)を満たす点\(b\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。\(v\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、中心が\(b\)であり、半径が、\begin{equation*}\delta \left( v\right) =\frac{\varepsilon -d\left( \boldsymbol{a},b\right) }{v+1}
\end{equation*}であるような近傍\begin{equation*}
N_{\delta \left( v\right) }\left( b\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},b\right) <\delta \left( v\right) \right\}
\end{equation*}は\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)の真部分集合です。そこで、一般項が、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}\in N_{\delta \left( v\right) }\left( b\right)
\end{equation*}を満たす点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)に注目します。この点列の任意の項は\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)の要素であるとともに\(b\)とは異なり、なおかつその極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\delta \left( v\right) &=&\lim_{v\rightarrow
+\infty }\frac{\varepsilon -d\left( \boldsymbol{a},b\right) }{v+1} \\
&=&0
\end{eqnarray*}ゆえに、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}=b
\end{equation*}であるため、先の命題より\(b\)は\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)の集積点です。続いて、\(d\left( b,\boldsymbol{a}\right) =\varepsilon \)を満たす点\(b\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。\(v\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、中心が\(b\)であり、半径が、\begin{equation*}\delta \left( v\right) =\frac{\varepsilon }{v}
\end{equation*}であるような近傍\begin{equation*}
N_{\delta \left( v\right) }\left( b\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},b\right) <\delta \left( v\right) \right\}
\end{equation*}は\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)と交わります。そこで、一般項が、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}\in N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \cap
N_{\delta \left( v\right) }\left( b\right)
\end{equation*}を満たす点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)に注目します。この点列の任意の項は\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)の要素であるとともに\(b\)とは異なり、なおかつその極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\delta \left( v\right) &=&\lim_{v\rightarrow
+\infty }\frac{\varepsilon }{v} \\
&=&0
\end{eqnarray*}ゆえに、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}=b
\end{equation*}であるため、先の命題より\(b\)は\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)の集積点です。
点列を用いて集積点ではないことを判定する
繰り返しになりますが、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)と点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\(\boldsymbol{a}\)が\(A\)の集積点であることは、\(A\)の点を項とするとともに任意の項が\(\boldsymbol{a}\)とは異なり、なおかつ\(\boldsymbol{a}\)へ収束する点列が存在することと必要十分です。したがって、\(A\)の点を項とするとともに任意の項が\(\boldsymbol{a}\)とは異なり、なおかつ\(\boldsymbol{a}\)へ収束する点列が存在しないことを示せば、\(\boldsymbol{a}\)は\(A\)の集積点ではないことを示したことになります。もしくは、\(A\)の点を項とするとともに任意の項が\(\boldsymbol{a}\)とは異なり、なおかつ\(\boldsymbol{a}\)へ収束する点列が存在するものと仮定して矛盾を導けば、背理法より、\(\boldsymbol{a}\)は\(A\)の集積点ではないことになります。
\end{equation*}について考えます。先に示したように、\begin{eqnarray*}
\left( N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \right) ^{d}
&=&C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) \leq \varepsilon
\right\}
\end{eqnarray*}であるため、\(C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)上の任意の点は\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)の集積点です。したがって、\(C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)の補集合に属する点は\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)の集積点ではありませんが、同じことを点列を用いて示します。点\(b\in \left( C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \right) ^{c}\)が\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)の集積点であるものと仮定します。\(b\in \left( C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \right) ^{c}\)ゆえに、\begin{equation}d\left( b,\boldsymbol{a}\right) >\varepsilon \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(b\)が\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)の集積点である場合、先の命題より、任意の項が\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)の要素であるとともに\(b\)とは異なり、なおかつ\(b\)へ収束する点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が存在します。つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :d\left( \boldsymbol{x}_{v},\boldsymbol{a}\right) <\varepsilon \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\boldsymbol{x}_{v}\not=b \\
&&\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}=b
\end{eqnarray*}をすべて満たす点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が存在するということです。\(\left(a\right) \)より、この点列の極限\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)についても、\begin{equation*}d\left( \lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v},\boldsymbol{a}\right)
<\varepsilon
\end{equation*}が成り立ちますが、これと\(\left( c\right) \)より、\begin{equation*}d\left( b,\boldsymbol{a}\right) <\varepsilon
\end{equation*}を得ます。これは\(\left(1\right) \)と矛盾であるため、背理法より\(b\)は\(N_{\varepsilon}\left( \boldsymbol{a}\right) \)の集積点でないことが明らかになりました。
集積点の存在定理
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合は集積点を持つとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を構成します。点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。\(\left\{ \boldsymbol{a}\right\} \)の要素を項とするとともに任意の項が\(\boldsymbol{x}\)とは異なり、なおかつ\(\boldsymbol{x}\)へ収束する点列を任意に選ぶと、その点列の極限は\(\boldsymbol{a}\)にならざるを得ませんが、\(\boldsymbol{a}\)は\(\boldsymbol{x}\)とは異なるため、点\(\boldsymbol{x}\)は\(\left\{ \boldsymbol{a}\right\} \)の集積点ではありません。任意の点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)について同様であるため、\(\left\{ \boldsymbol{a}\right\} \)は集積点を持たないことが明らかになりました。
上の例に限らず、一般に、有限集合は集積点を持ちません。
以上の議論により、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が集積点を持つためには\(A\)は無限集合でなければならないことが明らかになりました。さらに、\(A\)が無限集合かつ有界である場合には、\(A\)の集積点が存在することを保証できます。
導集合を用いた閉集合の定義
閉包と導集合の関係を整理します。\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)のすべての集積点に\(A\)のすべての要素を加えれば\(A\)のすべての触点が得られます。
\end{equation*}という関係が成り立つ。
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A^{a}=A
\end{equation*}が成り立つことは\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であるための必要十分条件ですが、先の命題を踏まえると、このとき、\begin{eqnarray*}A^{a}=A &\Leftrightarrow &A\cup A^{d}=A\quad \because A^{a}=A\cup A^{d} \\
&\Leftrightarrow &A\cup A^{d}\subset A\quad \because A\subset A\cup A^{d}\text{は恒真} \\
&\Leftrightarrow &A^{d}\subset A
\end{eqnarray*}すなわち、以下の関係\begin{equation*}
A^{a}=A\Leftrightarrow A^{d}\subset A
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(A\)の導集合が\(A\)の部分集合であることと\(A\)が閉集合であることは必要十分です。
\end{equation*}が成り立つことと、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であることは必要十分である。
以上の命題は、閉集合という概念が導集合という概念から定義可能であることを示唆します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)対してその導集合\(A^{d}\)が定義されていれば、以下の条件\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の閉集合}\Leftrightarrow
A^{d}\subset A
\end{equation*}を満たすものとして閉集合の概念を間接的に定義できるということです。
導集合を用いた閉集合であることの判定
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の閉集合}\Leftrightarrow
A^{d}\subset A
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合が閉集合であることを示すためには、\(A\)の導集合\(A^{d}\)を特定した上で、それが\(A\)の部分集合であることを示せばよいということになります。
^{d}=C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}です。つまり、\begin{equation*}
\left( C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \right) ^{d}\subset
C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}が成り立つため\(C_{\varepsilon}\left( \boldsymbol{a}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合です。
a_{i},b_{i}\right] \\
&=&\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{eqnarray*}の導集合は、\begin{equation*}
\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] ^{d}=\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] \end{equation*}です。つまり、\begin{equation*}
\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] ^{d}\subset \left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] \end{equation*}が成り立つため\(\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合です。
\\
&=&[a_{1},+\infty )\times \cdots \times \lbrack a_{n},+\infty )
\end{eqnarray*}の導集合は、\begin{equation*}
\lbrack \boldsymbol{a},+\infty )^{i}=[\boldsymbol{a},+\infty )
\end{equation*}です。つまり、\begin{equation*}
\lbrack \boldsymbol{a},+\infty )^{d}\subset \lbrack \boldsymbol{a},+\infty )
\end{equation*}が成り立つため\([\boldsymbol{a},+\infty )\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合です。
\end{equation*}です。つまり、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} ^{n}\right) ^{d}\subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立つため\(\mathbb{R} ^{n}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合です。
\end{equation*}です。つまり、\begin{equation*}
\phi ^{d}\subset \phi
\end{equation*}が成り立つため\(\phi \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合です。
&=&\left\{ -1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\cdots ,0,\cdots ,\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているとき、導集合は、\begin{equation*}
A^{d}=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}です。つまり、\begin{equation*}
A^{d}\subset A
\end{equation*}が成り立つため\(A\)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。
導集合を用いた閉集合ではないことの判定
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の閉集合}\Leftrightarrow
A^{d}\subset A
\end{equation*}が成り立つのであれば、以下の関係\begin{equation*}
A\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の閉集合ではない}\Leftrightarrow A^{d}\not\subset A
\end{equation*}もまた成立します。したがって、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合が閉集合ではないことを示すためには、\(A\)の集積点の中に\(A\)の要素ではないものが存在することを示せばよいということになります。
\end{equation*}と定義されます。この集合の導集合は、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \right)
^{d}=C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \right) ^{d}\subset
N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}は成り立たず、したがって\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合ではありません。
&=&\prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right) \\
&=&\left( a_{1},b_{1}\right) \times \cdots \times \left( a_{n},b_{n}\right)
\end{eqnarray*}の導集合は、\begin{equation*}
\left( \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right) ^{d}=\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] \end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right) ^{d}\subset \left( \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right)
\end{equation*}は成り立たず、したがって\(\left( \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合ではありません。
a_{i},+\infty \right) \\
&=&\left( a_{1},+\infty \right) \times \cdots \times \left( a_{n},+\infty
\right)
\end{eqnarray*}の導集合は、\begin{equation*}
\left( \boldsymbol{a},+\infty \right) ^{d}=[\boldsymbol{a},+\infty )
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( \boldsymbol{a},+\infty \right) ^{d}\subset \left( \boldsymbol{a},+\infty \right)
\end{equation*}は成り立たず、したがって\(\left( \boldsymbol{a},+\infty \right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合ではありません。
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{d}\subset \mathbb{Q} ^{n}
\end{equation*}は成り立たず、したがって\(\mathbb{Q} ^{n}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合ではありません。
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( \left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\right) ^{d}\subset \left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}
\end{equation*}は成り立たず、したがって\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合ではありません。
&=&\left\{ -1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\cdots ,\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているとき、導集合は、\begin{equation*}
A^{d}=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
A^{d}\subset A
\end{equation*}は成り立たず、したがって\(A\)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。
点列の集積点と点列の値域の集積点の関係
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)と点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、点\(\boldsymbol{a}\)を中心とする任意の近傍が\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)に属する無限個の点を要素として持つ場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \text{は}\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \text{に属する無限個の点を要素として持つ}
\end{equation*}が成り立つ場合には、このような点\(\boldsymbol{a}\)を点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点と呼びます。ただし、点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点であることと、\(\boldsymbol{a}\)へ収束する\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の部分列が存在することは必要十分です。
一方で、点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の値域\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ v\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合であるため、点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)がこの値域の集積点であるか検討できます。
一般に、点列の値域の集積点は、その点列の集積点でもあります。
先の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、点列の集積点は、その点列の値域の集積点であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}と表されるものとします。部分列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{l\left( v\right) }\right\} \)を任意に選んだとき、その一般項は、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{l\left( v\right) }=\boldsymbol{a}
\end{equation*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{l\left( v\right) }
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{a} \\
&=&\boldsymbol{a}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、\(\boldsymbol{a}\)は\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の集積点です。その一方で、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の値域は、\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ v\in \mathbb{N} \right\} =\left\{ \boldsymbol{a}\right\}
\end{equation*}ですが、この値域の要素を項とする点列の任意の項は\(\boldsymbol{a}\)になってしまうため、\(\boldsymbol{a}\)は\(\left\{ \boldsymbol{a}\right\} \)の集積点ではありません。
演習問題
^{d}=C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}であることを証明してください。
^{d}=C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}であることを証明してください。
&=&\prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right) \\
&=&\left( a_{1},b_{1}\right) \times \cdots \times \left( a_{n},b_{n}\right)
\end{eqnarray*}の導集合が、\begin{equation*}
\left( \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right) ^{d}=\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] \end{equation*}であることを示してください。
a_{i},b_{i}\right] \\
&=&\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{eqnarray*}の導集合が、\begin{equation*}
\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] ^{d}=\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] \end{equation*}であることを示してください。
a_{i},+\infty \right) \\
&=&\left( a_{1},+\infty \right) \times \cdots \times \left( a_{n},+\infty
\right)
\end{eqnarray*}の導集合が、\begin{equation*}
\left( \boldsymbol{a},+\infty \right) ^{d}=[\boldsymbol{a},+\infty )
\end{equation*}であることを示してください。
\\
&=&[a_{1},+\infty )\times \cdots \times \lbrack a_{n},+\infty )
\end{eqnarray*}の導集合が、\begin{equation*}
\lbrack \boldsymbol{a},+\infty )^{i}=[\boldsymbol{a},+\infty )
\end{equation*}であることを示してください。
\end{equation*}であることを証明してください。
\end{equation*}であることを証明してください。
\end{equation*}であることを証明してください。
&=&\left\{ -1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\cdots ,\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right\}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。導集合\(A^{d}\)を求めてください。
&=&\left\{ -1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\cdots ,0,\cdots ,\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right\}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。導集合\(A^{d}\)を求めてください。
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}は成り立つとは限らないことを証明してください。
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