多変数のベクトル値関数と多変数関数の合成関数
多変数のベクトル値関数と多変数関数\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f} &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m} \\
g &:&\mathbb{R} ^{m}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられた状況を想定します。加えて、\(\boldsymbol{f}\)の値域が\(g\)の定義域の部分集合であるものとします。つまり、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\forall x\in X:\boldsymbol{f}\left( x\right) \in Y \quad \cdots (1)\end{equation}が成り立つということです。
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)は自身の定義域\(X\)の要素であるベクトル\(x\in X\)に対してベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を定めますが、仮定\(\left( 1\right) \)より、このベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)は関数\(g:\mathbb{R} ^{m}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(Y\)の要素であるため、\(g\)はこのベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \in Y\)に対して実数\begin{equation*}g\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) \right) =\left( g_{1}\left( f\left(
x\right) \right) ,\cdots ,g_{m}\left( f\left( x\right) \right) \right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を定めます。
このような事情を踏まえると、先のような2つの関数\(\boldsymbol{f},g\)が与えられた場合には、関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の要素であるそれぞれのベクトル\(x\in X\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( g\circ \boldsymbol{f}\right) \left( x\right) =g\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) \right)
\end{equation*}を定める多変数関数\begin{equation*}
g\circ \boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを\(\boldsymbol{f}\)と\(g\)の合成関数（composite function）と呼びます。
\begin{array}{c}
x+y \\
x-y\end{array}\right)
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)の値域は明らかに\(g\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合であるため合成関数\(g\circ \boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ \boldsymbol{f}\right) \left( x,y\right) &=&g\left(
\boldsymbol{f}\left( x,y\right) \right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( x+y,x-y\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&\left( x+y\right) \left( x-y\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。
\begin{array}{c}
-y \\
3x\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}として記述されているものとします。ただし、ベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x,y\right) \)の向きは力が作用する方向に、\(\boldsymbol{f}\left( x,y\right) \)の長さは力の大きさにそれぞれ対応しています。関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、そのノルム\begin{equation*}g\left( x,y\right) =\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域は明らかに関数\(g\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合であるため合成関数\(g\circ \boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ \boldsymbol{f}\right) \left( x,y\right) &=&g\left(
\boldsymbol{f}\left( x,y\right) \right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( -y,3x\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&\sqrt{\left( -y\right) ^{2}+\left( 3x\right) ^{2}}\quad \because g\text{の定義} \\
&=&\sqrt{y^{2}+9x^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、合成関数\(g\circ \boldsymbol{f}\)は点\(\left( x,y\right) \)に作用する力の大きさを特定する関数です。
合成関数の定義域
多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の値域が多変数の実数値関数\(g:\mathbb{R} ^{m}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の部分集合である場合には、つまり、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\forall x\in X:\boldsymbol{f}\left( x\right) \in Y \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つ場合には合成関数\(g\circ \boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。
一方、上の条件が成り立たない場合には、すなわち、\(\left( 1\right) \)の否定である、\begin{equation}\exists x_{0}\in X:\boldsymbol{f}\left( x_{0}\right) \not\in Y \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つ場合には、点\(\boldsymbol{f}\left( x_{0}\right) \)はおいてそもそも関数\(g\)は定義されていないため\(g\left( \boldsymbol{f}\left( x_{0}\right) \right) \)は定義不可能であり、したがって点\(x_{0}\)において合成関数\(g\circ \boldsymbol{f}\)は定義不可能です。ゆえに、\(\left( 2\right) \)が成り立つ場合には合成関数\(g\circ \boldsymbol{f}\)の定義域として\(X\)を採用できません。
\(\left( 2\right) \)が成り立つ状況において合成関数\(g\circ \boldsymbol{f}\)を定義するためには\(\left( 2\right) \)を満たす点\(x_{0}\)を定義域\(X\)から除外する必要があります。つまり、合成関数\(g\circ \boldsymbol{f}\)の定義域として、\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \in Y\)を満たすような点\(x\in X\)からなる集合\begin{equation*}D\left( g\circ \boldsymbol{f}\right) =\left\{ x\in X\ |\ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in Y\right\}
\end{equation*}を採用する必要があります。
\begin{array}{c}
x+y \\
x-y\end{array}\right)
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =\frac{1}{xy}
\end{equation*}を定めるものとします。\(g\)の定義域が、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ xy\not=0\right\}
\end{equation*}であることを踏まえると、合成関数\(g\circ \boldsymbol{f}\)の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( g\circ \boldsymbol{f}\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \boldsymbol{f}\left( x,y\right) \in X\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x+y,x-y\right) \in X\right\} \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x+y\right) \left( x-y\right) \not=0\right\}
\end{eqnarray*}となります。さらに、この合成関数\(g\circ \boldsymbol{f}:D\left( g\circ \boldsymbol{f}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in D\left( g\circ \boldsymbol{f}\right) \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ \boldsymbol{f}\right) \left( x,y\right) &=&g\left(
\boldsymbol{f}\left( x,y\right) \right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( x+y,x-y\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\left( x+y\right) \left( x-y\right) }\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。
演習問題
\begin{array}{c}
x+1 \\
y+1\end{array}\right)
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =\frac{1}{x+y}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y\not=0\right\}
\end{equation*}です。合成関数\(g\circ \boldsymbol{f}\)とその定義域を特定してください。
\begin{array}{c}
y \\
x \\
z^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y,z\right) =\ln \left( x+y+z\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x+y+z>0\right\}
\end{equation*}です。合成関数\(g\circ \boldsymbol{f}\)とその定義域を特定してください。
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