確認テスト II（連立1次方程式）

写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)は線形写像であるとともに、以下の条件\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
1\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
2 \\
3 \\
5\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
2 \\
-1\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
2\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を満たすものとします。\(\boldsymbol{f}\)によるベクトル\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)の像\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}を特定してください。

写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{4}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right) \in \mathbb{R} ^{4}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}+2x_{2}+3x_{3}-x_{4} \\
3x_{1}+5x_{2}+8x_{3}-2x_{4} \\
x_{1}+x_{2}+2x_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください（各10点）。

1. \(\boldsymbol{f}\)が線形写像であることを示してください。
2. \(\boldsymbol{f}\)の核\(\ker \left( \boldsymbol{f}\right) \)の基底を特定してください。
3. \(\boldsymbol{f}\)の階数を求めてください。

以下のベクトル\begin{equation*}
\boldsymbol{u}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。その上で、それぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\(\boldsymbol{x}\)の\(\boldsymbol{u}\)へのベクトル射影\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\mathrm{proj}_{\boldsymbol{u}}\boldsymbol{x}=\frac{\boldsymbol{u}\cdot \boldsymbol{x}}{\left\Vert \boldsymbol{u}\right\Vert ^{2}}\boldsymbol{u}
\end{equation*}を像として定める写像\begin{equation*}
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}を定義します。以下の問いに答えてください（各10点）。

1. \(\boldsymbol{f}\)が線形写像であることを証明してください。
2. \(\boldsymbol{f}\)の核\(\ker \left( \boldsymbol{f}\right) \)の基底を求めた上で、\(\ker \left( \boldsymbol{f}\right) \)の次元を求めてください。
3. \(\boldsymbol{f}\)の値域\(\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) \)の基底を求めた上で、\(\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) \)の次元を求めてください。
4. \(\boldsymbol{f}\)の標準行列\(M\left( \boldsymbol{f}\right) \)を求めてください。
5. \(\mathbb{R} ^{3}\)の基底として以下のベクトル集合\begin{equation*}\beta =\left\{ \left( \begin{array}{c}
   1 \\
   0 \\
   0\end{array}\right) ,\left(
   \begin{array}{c}
   -1 \\
   1 \\
   0\end{array}\right) ,\left(
   \begin{array}{c}
   0 \\
   -1 \\
   1\end{array}\right) \right\}
   \end{equation*}を採用した場合のベクトル\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)の座標ベクトル\begin{equation*}\left[ \left(
   \begin{array}{c}
   x \\
   y \\
   z\end{array}\right) \right] _{\beta }
   \end{equation*}を特定してください。