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実数指数の累乗

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実数指数の累乗

正の実数\(a>0\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、底が\(a\)で指数が\(n\)であるような累乗\(a^{n}\)を、\begin{equation*}a^{n}=\overset{n\text{個}}{\overbrace{a\cdot \cdots \cdot a}}
\end{equation*}と定義し、指数が\(0\)であるような累乗\(a^{0}\)を、\begin{equation*}a^{0}=1
\end{equation*}と定義し、指数が負の整数\(-n\)であるような累乗\(a^{-n}\)を、\begin{equation*}a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}
\end{equation*}と定義しました。さらに、指数が有理数\(\frac{m}{n}\ \left( m\in \mathbb{Z} ,n\in \mathbb{N} \right) \)であるような累乗\(a^{\frac{m}{n}}\ \left( =\sqrt[n]{a^{m}}\right) \)を、それを\(n\)乗すると\(a^{m}\)になるような正の実数として、すなわち、\begin{equation*}b^{n}=a^{m}
\end{equation*}を満たす正の実数\(b\)として定義しました。加えて、これらはいずれも1つの実数として定まるとともに、指数法則を満たすことを示しました。では、正の実数\(a>0\)が与えられたとき、指数を有理数から実数へ拡張した累乗をどのように定義すればよいのでしょうか。つまり、正の実数\(a>0\)と実数\(x\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{x}
\end{equation*}をどのように定義すればよいでしょうか。これまで導入した概念を動員しながら順番に考えていきます。

正の実数\(a>0\)と実数\(x\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選びます。指数が有理数であるような累乗は1つの実数として定まるため、任意の有理数\(r\in \mathbb{Q} \)に対して\(a^{r}\)が1つの実数として定まることが保証されます。そこで、\(x\)より小さいそれぞれの有理数\(r\)について\(a^{r}\)をとった上で、それらの集合を、\begin{equation*}S\left( a,x\right) =\left\{ a^{r}\in \mathbb{R} \ |\ r<x\wedge r\in \mathbb{Q} \right\}
\end{equation*}と表記します。以上を踏まえた上で、底が\(a>1\)を満たす場合には、任意の指数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、累乗\(a^{x}\)を、\begin{equation}a^{x}=\sup S\left( a,x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}と定義します。また、底が\(a=1\)である場合には、任意の指数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、累乗\(1^{x}\)を、\begin{equation*}1^{x}=1
\end{equation*}と定義します。最後に、底が\(1>a>0\)を満たす場合には\(\frac{1}{a}>1\)となるため、任意の指数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、累乗\(a^{x}\)を、\begin{equation*}a^{x}=\left( \frac{1}{a}\right) ^{-x}
\end{equation*}と定義します。\(\left( 1\right) \)よりこれは、\begin{equation*}a^{x}=\sup \left( \frac{1}{a},-x\right)
\end{equation*}と言い換え可能です。

以上より、指数が実数であるような累乗の定義が完了しました。ただ、\(a^{x}\)を上のように定義した場合、これが常に1つの実数として定まることは明らかではありません。後ほど\(a^{x}\)が1つの実数として定まることを証明します。

例(実数指数の累乗)
底が\(2\)で指数が無理数\(\sqrt{2}\)であるような累乗\(2^{\sqrt{2}}\)は、\begin{eqnarray*}2^{\sqrt{2}} &=&\sup S\left( 2,\sqrt{2}\right) \\
&=&\sup \left\{ 2^{r}\in \mathbb{R} \ |\ r<\sqrt{2}\wedge r\in \mathbb{Q} \right\}
\end{eqnarray*}と定義され、底が\(1\)で指数が無理数\(\sqrt{2}\)であるような累乗\(1^{\sqrt{2}}\)は、\begin{equation*}1^{\sqrt{2}}
\end{equation*}と定義され、底が\(\frac{1}{2}\)で指数が無理数\(\sqrt{2}\)であるような累乗\(\left( \frac{1}{2}\right) ^{\sqrt{2}}\)は、\begin{eqnarray*}\left( \frac{1}{2}\right) ^{\sqrt{2}} &=&2^{-\sqrt{2}} \\
&=&\sup S\left( 2,-\sqrt{2}\right) \\
&=&\sup \left\{ 2^{r}\in \mathbb{R} \ |\ r<-\sqrt{2}\wedge r\in \mathbb{Q} \right\}
\end{eqnarray*}と定義されます。

例(実数乗の一般性)
底が\(2\)で指数が自然数\(3\)であるような累乗\(2^{3}\)は、\begin{equation}2^{3}=2\cdot 2\cdot 2=8 \quad \cdots (1)
\end{equation}と定義されます。自然数は実数であることから、\(2^{3}\)を指数が実数であるような累乗とみなすこともできます。つまり、\begin{eqnarray*}2^{3} &=&\sup S\left( 2,3\right) \\
&=&\sup \left\{ 2^{r}\in \mathbb{R} \ |\ r<3\wedge r\in \mathbb{Q} \right\}
\end{eqnarray*}とみなすということです。これは\(\left( 1\right) \)と一致するため(演習問題)、指数が実数であるような累乗の定義は、指数が自然数であるような累乗の定義の一般化になっています。
例(実数乗の一般性)
底が\(2\)で指数が整数\(-3\)であるような累乗\(2^{3}\)は、\begin{equation}2^{-3}=\frac{1}{2\cdot 2\cdot 2}=\frac{1}{8} \quad \cdots (1)
\end{equation}と定義されます。整数は実数であることから、\(2^{-3}\)を指数が実数であるような累乗とみなすこともできます。つまり、\begin{eqnarray*}2^{-3} &=&\sup S\left( 2,-3\right) \\
&=&\sup \left\{ 2^{r}\in \mathbb{R} \ |\ r<-3\wedge r\in \mathbb{Q} \right\}
\end{eqnarray*}とみなすということです。これは\(\left( 1\right) \)と一致するため(演習問題)、指数が実数であるような累乗の定義は、指数が整数であるような累乗の定義の一般化になっています。
例(実数乗の一般性)
底が\(2\)で指数が有理数\(\frac{1}{2}\)であるような累乗\(2^{\frac{1}{2}}\)すなわち\(\sqrt{2}\)は、\begin{equation}b^{2}=2 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす正の実数\(b\)として定義されます。有理数は実数であることから、\(2^{\frac{1}{2}}\)を指数が実数であるような累乗とみなすこともできます。つまり、\begin{eqnarray*}2^{\frac{1}{2}} &=&\sup S\left( 2,\frac{1}{2}\right) \\
&=&\sup \left\{ 2^{r}\in \mathbb{R} \ |\ r<\frac{1}{2}\wedge r\in \mathbb{Q} \right\}
\end{eqnarray*}です。これは\(\left( 1\right) \)を満たすような正の実数\(b\)と一致するため(演習問題)、指数が実数であるような累乗の定義は、指数が有理数であるような累乗の定義の一般化になっています。

 

実数乗の存在証明

繰り返しになりますが、正の実数\(a>0\)と実数\(x\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、底が\(a\)で指数が\(x\)であるような累乗\(a^{x}\)は、\begin{equation*}a^{x}=\left\{
\begin{array}{cc}
\sup S\left( a,x\right) & \left( if\ a>1\right) \\
1 & \left( if\ a=1\right) \\
\left( \frac{1}{a}\right) ^{-x} & \left( if\ a<1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定義されます。ただし、\begin{equation*}
S\left( a,x\right) =\left\{ a^{r}\in \mathbb{R} \ |\ r<x\wedge r\in \mathbb{Q} \right\}
\end{equation*}です。したがって、\(a^{x}\)が常に1つの実数として定まるためには、\(a\)や\(x\)に関わらず\(S\left(a,x\right) \)が上限を持つことを保証する必要があります。

命題(実数乗の存在証明)
正の実数\(a>0\)と実数\(x\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}a^{x}=\left\{
\begin{array}{cc}
\sup S\left( a,x\right) & \left( if\ a>1\right) \\
1 & \left( if\ a=1\right) \\
\left( \frac{1}{a}\right) ^{-x} & \left( if\ a<1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}は1つの実数として定まる。ただし、\begin{equation*}
S\left( a,x\right) =\left\{ a^{r}\in \mathbb{R} \ |\ r<x\wedge r\in \mathbb{Q} \right\}
\end{equation*}である。

証明

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実数乗の一般性

指数が実数であるような累乗を定義することに成功しましたが、これは指数が有理数であるような累乗の一般化になっています。

命題(実数乗の一般性)

正の実数\(a>0\)と有理数\(r\in \mathbb{Q} \)が与えられたとき、そこから以下の集合\begin{equation*}S\left( a,r\right) =\left\{ a^{s}\in \mathbb{R} \ |\ s<r\wedge s\in \mathbb{Q} \right\}
\end{equation*}を定義する。このとき、\begin{equation*}
a^{r}=\left\{
\begin{array}{cc}
\sup S\left( a,r\right) & \left( if\ a>1\right) \\
1 & \left( if\ a=1\right) \\
\sup S\left( \frac{1}{a},-r\right) & \left( if\ a<1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}という関係が成り立つ。ただし、左辺の\(a^{r}\)は指数が有理数であるような累乗であり、\(r=\frac{z}{n}\ \left( z\in \mathbb{Z} ,n\in \mathbb{N} \right) \)である場合、これは、\begin{equation*}y^{n}=a^{z}
\end{equation*}を満たす正の実数\(y>0\)として定義される。

証明

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実数乗の符号

正の実数\(a\)と実数\(x\)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{x}>0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、実数指数の累乗は正の実数です。

命題(実数乗の符号)
正の実数\(a>0\)と実数\(x\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{x}>0
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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底を共有する累乗の積

正の実数\(a>0\)と実数\(x,y\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、底\(a\)を共有する\(a^{x}\)と\(a^{y}\)が与えられたとき、それらの積\(a^{x}\cdot a^{y}\)を求めるためには指数どうしの和\(x+y\)をとり、それを指数とする累乗\(a^{x+y}\)をとればよいということです。「累乗の積」に関する問題は「指数の和」に関する問題へと帰着させられます。

命題(底を共有する累乗の積)
正の実数\(a>0\)と実数\(x,y\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}
\end{equation*}が成り立つ。

 

底を共有する累乗の商

正の実数\(a>0\)と実数\(x,y\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\frac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、底\(a\)を共有する\(a^{x}\)と\(a^{y}\)が与えられたとき、それらの商\(\frac{a^{x}}{a^{y}}\)を求めるためには指数どうしの差\(x-y\)をとり、それを指数とする累乗\(a^{x-y}\)をとればよいということです。「累乗の商」に関する問題は「指数の差」に関する問題へと帰着させられます。

命題(底を共有する累乗の商)
正の実数\(a>0\)と実数\(x,y\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\frac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y}
\end{equation*}が成り立つ。

 

累乗の累乗

正の実数\(a>0\)と実数\(x,y\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( a^{x}\right) ^{y}=a^{xy}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、累乗\(a^{x}\)が与えられたとき、さらにその累乗\(\left( a^{x}\right) ^{y}\)を求めるためには指数どうしの積\(xy\)をとり、それを指数とする累乗\(a^{xy}\)をとればよいということです。「累乗の累乗」に関する問題は「累乗の積」に関する問題へと帰着させられます。

命題(累乗の累乗)
正の実数\(a>0\)と実数\(x,y\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( a^{x}\right) ^{y}=a^{xy}
\end{equation*}が成り立つ。

 

積の累乗

正の実数\(a,b>0\)と実数\(x\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( ab\right) ^{x}=a^{x}b^{x}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、正の実数\(a,b\)が与えられたとき、それらの積の累乗\(\left( ab\right) ^{x}\)を求めるためには、\(a\)の累乗\(a^{x}\)と\(b\)の累乗\(b^{x}\)をそれぞれとり、それらの積をとればよいということです。「積の累乗」に関する問題は「累乗の積」に関する問題へと帰着させられます。

命題(積の累乗)
正の実数\(a,b>0\)と実数\(x\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( ab\right) ^{x}=a^{x}b^{x}
\end{equation*}が成り立つ。

 

商の累乗

正の実数\(a,b>0\)と実数\(x\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( \frac{a}{b}\right) ^{x}=\frac{a^{x}}{b^{x}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、正の実数\(a,b\)が与えられたとき、それらの商の累乗\(\left( \frac{a}{b}\right) ^{x}\)を求めるためには、\(a\)の累乗\(a^{x}\)と\(b\)の累乗\(b^{x}\)をそれぞれとり、それらの商をとればよいということです。「商の累乗」に関する問題は「累乗の商」に関する問題へと帰着させられます。

命題(商の累乗)
正の実数\(a,b>0\)と実数\(x\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( \frac{a}{b}\right) ^{x}=\frac{a^{x}}{b^{x}}
\end{equation*}が成り立つ。

 

指数法則

得られた結果をまとめておきましょう。指数が実数であるような累乗を計算する際には以下の関係式を利用できます。これらを総称して指数法則(laws of exponents)と呼びます。

命題(指数法則)
以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall a>0,\ \forall x,y\in \mathbb{R} :a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y} \\
&&\left( b\right) \ \forall a>0,\ \forall x,y\in \mathbb{R} :\frac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y} \\
&&\left( c\right) \ \forall a>0,\ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left( a^{x}\right) ^{y}=a^{xy} \\
&&\left( d\right) \ \forall a,b>0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( ab\right) ^{x}=a^{x}b^{x} \\
&&\left( e\right) \ \forall a,b>0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( \frac{a}{b}\right) ^{x}=\frac{a^{x}}{b^{x}}
\end{eqnarray*}

次回は指数関数を定義します。

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