区間の定義

有界区間

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(a\)以上かつ\(b\)以下であるようなすべての実数からなる集合を、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] =\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(a\)から\(b\)への閉区間（closed interval from \(a\) to \(b\)）と呼びます。また、\(a\)と\(b\)を端点（end point）と呼びます。

端点\(a,b\)はともに閉区間\(\left[ a,b\right] \)の要素であるため、\(\left[ a,b\right] \)は\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合です。さらに、その上界からなる集合と下界からなる集合は、\begin{eqnarray*}
U\left( \left[ a,b\right] \right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ b\leq x\right\} \\
L\left( \left[ a,b\right] \right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ x\leq a\right\}
\end{eqnarray*}であり、これらはともに非空であるため、閉区間\(\left[ a,b\right] \)は有界です。すると\(\mathbb{R}\)の連続性より\(\left[ a,b\right] \)の上限と下限が存在するはずですが、実際、\begin{eqnarray*}
\sup \left[ a,b\right] &=&b \\
\inf \left[ a,b\right] &=&a
\end{eqnarray*}となります。

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(a\)より大きく\(b\)より小さいすべての実数からなる集合を、\begin{equation*}
\left( a,b\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(a\)から\(b\)への開区間（open interval from \(a\) to \(b\)）と呼びます。

有理数の稠密性より\(a<b\)を満たす実数\(a,b\)に対して、\(a<x<b\)を満たす有理数\(x\)が存在します。有理数もまた実数であるため、\(\left( a,b\right) \)は\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合です。さらに、その上界からなる集合と下界からなる集合は、\begin{eqnarray*}
U\left( \left( a,b\right) \right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ b\leq x\right\} \\
L\left( \left( a,b\right) \right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ x\leq a\right\}
\end{eqnarray*}であり、これらはともに非空であるため、開区間\(\left( a,b\right) \)は有界です。すると\(\mathbb{R}\)の連続性より\(\left( a,b\right) \)の上限と下限が存在するはずですが、実際、\begin{eqnarray*}
\sup \left( a,b\right) &=&b \\
\inf \left( a,b\right) &=&a
\end{eqnarray*}となります。

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(a\)以上かつ\(b\)より小さいすべての実数からなる集合を、\begin{equation*}
\lbrack a,b)=\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ a\leq x<b\right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(a\)から\(b\)への右半開区間（right half open interval from \(a\) to \(b\)）と呼びます。また、\(a\)より大きく\(b\)以下であるようなすべての実数からなる集合を、\begin{equation*}
(a,b]=\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ a<x\leq b\right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(a\)から\(b\)への左半開区間（left half open interval from \(a\) to \(b\)）と呼びます。右半開区間と左半開区間を総称して半開区間（half open interval）と呼びます。

端点\(a\)は右半開区間\([a,b)\)の要素であり、端点\(b\)は左半開区間\((a,b]\)の要素であるため、半開区間は\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合です。さらに、これらの上界からなる集合と下界からなる集合は、\begin{eqnarray*}
U\left( [a,b)\right) &=&U\left( (a,b]\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ b\leq x\right\} \\
L\left( [a,b)\right) &=&L\left( (a,b]\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ x\leq a\right\}
\end{eqnarray*}であり、これらはともに非空であるため、半開区間は有界です。すると\(\mathbb{R}\)の連続性より半開区間の上限と下限が存在するはずですが、実際、\begin{eqnarray*}
\sup [a,b) &=&\sup (a,b]=b \\
\inf [a,b) &=&\inf (a,b]=a
\end{eqnarray*}となります。

閉区間、開区間、半開区間はいずれも有界な\(\mathbb{R}\)の部分集合であるため、これらを総称して有界区間（bounded interval）と呼びます。

無限区間

正の無限大（positive infinity）と呼ばれる概念を\(+\infty \)で表記し、負の無限大（negative infinity）と呼ばれる概念を\(-\infty \)で表記した上で、これらを、\begin{equation*}
\forall x\in
\mathbb{R}:-\infty <x<+\infty
\end{equation*}を満たす記号として定義します。つまり、負の無限大\(-\infty \)は任意の実数より小さく、正の無限大\(+\infty \)は任意の実数よりも大きいということです。正負の無限大はいずれも数ではなく、上の関係を満たす形式的な記号にすぎないことに注意してください。

実数\(a\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、ある実数が\(a\)以上であることは、その実数が\(a\)以上かつ\(+\infty \)より小さいことと必要十分です。したがって、\(a\)以上であるようなすべての実数からなる集合を、\begin{eqnarray*}
\lbrack a,+\infty ) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ a\leq x<+\infty \right\} \\
&=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ a\leq x\right\}
\end{eqnarray*}と表すことができます。また、実数\(b\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、ある実数が\(b\)以下であることは、その実数が\(-\infty \)より大きく\(b\)以下であることと必要十分です。したがって、\(b\)以下であるようなすべての実数からなる集合を、\begin{eqnarray*}
(-\infty ,b] &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ -\infty <x\leq b\right\} \\
&=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}と表すことができます。これらを無限閉区間（infinite closed interval）と呼びます。

\([a,+\infty )\)はその端点\(a\)を要素として持ち、\((-\infty ,b]\)はその端点\(b\)を要素として持つため、無限閉区間は\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合です。さらに、その上界からなる集合と下界からなる集合は、\begin{eqnarray*}
U\left( [a,+\infty )\right) &=&\phi \\
L\left( [a,+\infty )\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ x\leq a\right\} \\
U\left( (-\infty ,b]\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ b\leq x\right\} \\
L\left( (-\infty ,b]\right) &=&\phi
\end{eqnarray*}となります。\(L\left( [a,+\infty )\right)\)と\(U\left( (-\infty ,b]\right) \)はともに非空であるため、\([a,+\infty )\)は下に有界であり、\((-\infty ,b]\)は上に有界です。すると\(\mathbb{R}\)の連続性より\([a,+\infty )\)の下限と\((-\infty ,b]\)の上限がそれぞれ存在するはずですが、実際、\begin{eqnarray*}
\inf \left( [a,+\infty )\right) &=&a \\
\sup \left( (-\infty ,b]\right) &=&b
\end{eqnarray*}となります。一方、\(\sup [a,+\infty )\)と\(\inf (-\infty ,b]\)はいずれも存在しません。

実数\(a\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、ある実数が\(a\)より大きいことは、その実数が\(a\)より大きく\(+\infty \)より小さいことと必要十分です。したがって、\(a\)より大きいすべての実数からなる集合を、\begin{eqnarray*}
(a,+\infty ) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ a<x<+\infty \right\} \\
&=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ a<x\right\}
\end{eqnarray*}と表すことができます。また、実数\(b\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、ある実数が\(b\)より小さいことは、その実数が\(-\infty \)より大きく\(b\)より小さいことと必要十分です。したがって、\(b\)より小さいすべての実数からなる集合を、\begin{eqnarray*}
(-\infty ,b) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ -\infty <x<b\right\} \\
&=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ x<b\right\}
\end{eqnarray*}と表すことができます。これらを無限開区間（infinite open interval）と呼びます。

実数\(a,b\)をそれぞれ任意に選んだとき、アルキメデスの性質より、\(a\)より大きい実数や、\(b\)より小さい実数は必ず存在します。したがって、無限閉区間\((a,+\infty ),(-\infty ,b)\)は\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合です。その上界からなる集合と下界からなる集合は、\begin{eqnarray*}
U\left( (a,+\infty )\right) &=&\phi \\
L\left( (a,+\infty )\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ x<a\right\} \\
U\left( (-\infty ,b)\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ b<x\right\} \\
L\left( (-\infty ,b)\right) &=&\phi
\end{eqnarray*}となります。\(L\left( (a,+\infty )\right) \)と\(U\left( (-\infty ,b)\right) \)はともに非空であるため、\((a,+\infty )\)は下に有界であり、\((-\infty ,b)\)は上に有界です。すると\(\mathbb{R}\)の連続性より\((a,+\infty )\)の下限と\((-\infty ,b)\)の上限がそれぞれ存在するはずですが、実際、\begin{eqnarray*}
\inf \left( (a,+\infty )\right) &=&a \\
\sup \left( (-\infty ,b)\right) &=&b
\end{eqnarray*}となります。一方、\(\sup (a,+\infty )\)と\(\inf (-\infty ,b)\)はいずれも存在しません。

無限開区間と無限閉区間はいずれも有界区間ではないため、これらを非有界区間（unbounded interval）や無限区間（infinite interval）などと呼びます。

負の無限大\(-\infty \)より大きく正の無限大\(+\infty \)より小さい実数からなる集合を、\begin{equation*}
\left( -\infty ,+\infty \right) =\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ -\infty <x<+\infty \right\}
\end{equation*}で表し、これを全区間（total interval）と呼びます。正負の無限大の定義より、\begin{equation*}
\mathbb{R}=\left( -\infty ,+\infty \right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、全区間はすべての実数からなる集合です。

区間の特徴づけ

有界区間\([a,b],(a,b),[a,b),(a,b]\)と無限区間\([a,+\infty ),(-\infty ,b],(a,+\infty ),(-\infty ,b)\)および全区間\(\left( -\infty ,+\infty\right) \)を総称して区間（interval）と呼びます。

複数の実数を要素として持つ区間\(I\subset \mathbb{R} \)を任意に選び、さらにその要素である2つの異なる実数\(a,b\in I\)をそれぞれ任意に選びます。\(a\not=b\)であるため、\(a<b\)と\(b<a\)のどちらか一方が成り立ちますが、\(a<b\)としても一般性は失われません。このとき、\(x\in \left( a,b\right) \)すなわち\(a<x<b\)を満たす実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、この\(x\)は明らかに区間\(I\)の要素です。つまり、区間に属する異なる2つの実数を任意に選んだとき、それらの間にある任意の実数もまたその区間に属します。

実は、その逆もまた成立します。つまり、複数の実数を要素として持つ\(\mathbb{R} \)の部分集合\(I\)が与えられたとき、\(I\)に属する異なる2つの要素の間にある任意の実数もまた\(I\)に属する場合、\(I\)は区間であることが保証されます。以上を踏まえると、区間を以下のように特徴づけることができます。

1点集合や空集合は区間

複数の実数を要素として持つ\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を対象に、それが区間であるか検討してきました。では、1点集合や空集合は区間でしょうか。

複数の実数を要素として持つ\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\begin{equation}\forall a,b\in A:\left[ a<b\Rightarrow \forall x\in \left( a,b\right) :x\in A\right] \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことは、\(A\)が区間であるための必要十分条件です。そこで、\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)を対象とする形でこの定義を採用すれば、\(\mathbb{R} \)の部分集合である1点集合や空集合が区間であるか検討できます。具体的には以下の通りです。

1点集合\(\left\{ c\right\} \subset \mathbb{R} \)が区間ではないものと仮定します。つまり、\(\left( 1\right) \)の否定に相当する以下の命題\begin{equation}\exists a,b\in \left\{ c\right\} :\left[ a<b\wedge \exists x\in \left(
a,b:x\not\in \left\{ c\right\} \right) \right] \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つものと仮定するということです。ただし、集合\(\left\{c\right\} \)は\(a<b\)を満たす異なる要素\(a,b\in \left\{ c\right\} \)を持たないため\(\left( 2\right) \)は偽です。したがって背理法より、1点集合\(\left\{ c\right\} \)は区間であることが明らかになりました。

空集合\(\phi \subset \mathbb{R} \)が区間ではないものと仮定します。つまり、\(\left( 1\right) \)の否定に相当する以下の命題\begin{equation}\exists a,b\in \phi :\left[ a<b\wedge \exists x\in \left( a,b:x\not\in \phi
\right) \right] \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立つものと仮定するということです。ただし、空集合は要素を持たないため\(\left( 3\right) \)は偽です。したがって背理法より、空集合\(\phi \)は区間であることが明らかになりました。

区間の定義として\(\left(1\right) \)を採用した場合、1点集合や空集合もまた区間とみなされることが明らかになりました。このような事情を踏まえた上で、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が区間であることを、\begin{equation*}\forall a,b\in A:\left[ a<b\Rightarrow \forall x\in \left( a,b\right) :x\in A\right] \end{equation*}が成り立つこととして定義します。

演習問題