道
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の2つの点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられた状況を想定します。有界閉区間\(\left[ 0,1\right] \subset \mathbb{R} \)上に定義された連続なベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \boldsymbol{f}\left( 0\right) =\boldsymbol{a} \\
&&\left( b\right) \ \boldsymbol{f}\left( 1\right) =\boldsymbol{b}
\end{eqnarray*}を満たす場合、\(\boldsymbol{f}\)を\(\boldsymbol{a}\)から\(\boldsymbol{b}\)へ行く道（path）と呼びます。また、\(\boldsymbol{a}\)を道\(\boldsymbol{f}\)の始点（initial point）と呼び、\(\boldsymbol{b}\)を道\(\boldsymbol{f}\)の終点（terminal point）と呼びます。
\end{equation*}を定めるベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を定義します。\(\boldsymbol{f}\)は\(t\)に関する多項式であるため連続です。さらに、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( 0\right) &=&\boldsymbol{a} \\
\boldsymbol{f}\left( 1\right) &=&\boldsymbol{b}
\end{eqnarray*}であるため、\(\boldsymbol{f}\)は\(\boldsymbol{a}\)から\(\boldsymbol{b}\)へ行く道です。\(\boldsymbol{f}\)は\(\boldsymbol{a}\)と\(\boldsymbol{b}\)を結ぶ線分（line segment）に他なりません。線分は道です。
\end{equation*}を満たすベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が定義可能です。\(\boldsymbol{f}\)は定値関数であるため連続であり、ゆえに\(\boldsymbol{f}\)は\(\boldsymbol{a}\)から\(\boldsymbol{a}\)へ行く道です。そこで、このような道\(\boldsymbol{f}\)を点\(\boldsymbol{a}\)における定値道（constant path）と呼びます。
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)は連続であるとともに、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( 0\right) &=&\boldsymbol{a} \\
\boldsymbol{f}\left( 1\right) &=&\boldsymbol{b}
\end{eqnarray*}が成り立つということです。以上を踏まえた上で、それぞれの\(s\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left( s\right) =\boldsymbol{f}\left( 1-t\right)
\end{equation*}を定めるベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を定義します。\(\boldsymbol{f}\)は連続であるため\(\boldsymbol{g}\)は連続であり、さらに、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{g}\left( 0\right) &=&\boldsymbol{f}\left( 1\right) =\boldsymbol{b} \\
\boldsymbol{g}\left( 1\right) &=&\boldsymbol{f}\left( 0\right) =\boldsymbol{a}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\boldsymbol{g}\)は\(\boldsymbol{b}\)から\(\boldsymbol{a}\)への道です。
\end{equation*}と\(\boldsymbol{b}\)から\(\boldsymbol{c}\)へ行く道\begin{equation*}\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)は連続であるとともに、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( 0\right) &=&\boldsymbol{a} \\
\boldsymbol{f}\left( 1\right) &=&\boldsymbol{b} \\
\boldsymbol{g}\left( 0\right) &=&\boldsymbol{b} \\
\boldsymbol{g}\left( 1\right) &=&\boldsymbol{c}
\end{eqnarray*}が成り立つということです。以上を踏まえた上で、それぞれの\(t\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{h}\left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\boldsymbol{f}\left( 2t\right) & \left( if\ 0\leq t\leq \frac{1}{2}\right)
\\
\boldsymbol{g}\left( 2t-1\right) & \left( if\ \frac{1}{2}\leq t\leq
1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{h}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を定義します。\(\boldsymbol{f}\)は連続であるため\(\boldsymbol{h}\)は\([0,\frac{1}{2})\)上で連続であり、\(\boldsymbol{g}\)は連続であるため\(\boldsymbol{h}\)は\((\frac{1}{2},1]\)上で連続です。さらに\(\boldsymbol{f}\left( 1\right) =\boldsymbol{g}\left( 0\right) =\boldsymbol{b}\)より\(\boldsymbol{h}\)は点\(\frac{1}{2}\)においても連続です。以上より\(\boldsymbol{h}\)は\(\left[ 0,1\right] \)上で連続です。さらに、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{h}\left( 0\right) &=&\boldsymbol{f}\left( 0\right) =\boldsymbol{a} \\
\boldsymbol{h}\left( \frac{1}{2}\right) &=&\boldsymbol{f}\left( 1\right) =\boldsymbol{b} \\
\boldsymbol{h}\left( 1\right) &=&\boldsymbol{g}\left( 1\right) =\boldsymbol{c}
\end{eqnarray*}であるため、\(\boldsymbol{h}\)は\(\boldsymbol{a}\)から\(\boldsymbol{b}\)を経由して\(\boldsymbol{c}\)へ行く道です。前半\(t\in \left[ 0,\frac{1}{2}\right] \)では\(\boldsymbol{f}\)をもとの2倍の速さ辿り、後半\(t\in \left[ \frac{1}{2},1\right] \)では\(\boldsymbol{g}\)をもとの2倍の速さで辿ります。このような道\(\boldsymbol{h}\)を\(\boldsymbol{f}\)と\(\boldsymbol{g}\)の接続（concatenation）と呼び、\begin{equation*}\boldsymbol{h}=\boldsymbol{f}\ast \boldsymbol{g}
\end{equation*}で表記します。
弧状連結集合
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(X\)および連続なベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられているものとします。\(\boldsymbol{f}\)の値域は、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \left[ 0,1\right] \right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left(
t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in \left[ 0,1\right] \right\}
\end{equation*}と定義されますが、これは\(\boldsymbol{f}\left( t\right) \)の軌跡に相当します。したがって、以下の条件\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \left[ 0,1\right] \right) \subset X
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\boldsymbol{f}\left( t\right) \)の軌跡が\(X\)内に存在することを意味します。このとき、\(\boldsymbol{f}\)を\(X\)内の道（path in \(X\)）と呼びます。\(\boldsymbol{f}\)が\(X\)内の道であることは、\(\boldsymbol{f}\left( t\right) \)の終集合が\(X\)であることを意味するため、\(\boldsymbol{f}\)が\(X\)内の道であることを、\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow X
\end{equation*}と表記できることに注意してください。また、区間\(\left[ 0,1\right] \)は\(\mathbb{R} \)上の連結集合であり、連続関数の像は連結集合であるため、\(\boldsymbol{f}\)が\(X\)内の道である場合、その値域\(\boldsymbol{f}\left( \left[ 0,1\right] \right) \)は\(X\)上の連結集合です。
集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)上の2つの点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in X\)を任意に選んだとき、それに対して、\(\boldsymbol{a}\)から\(\boldsymbol{b}\)へ行く\(X\)内の道が必ず存在する場合には、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \boldsymbol{f}\left( 0\right) =\boldsymbol{a} \\
&&\left( b\right) \ \boldsymbol{f}\left( 1\right) =\boldsymbol{b}
\end{eqnarray*}を満たす連続関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow X\)が存在する場合には、\(X\)は弧状連結（path connected）であると言います。つまり、\(X\)が弧状連結である場合には、\(X\)上の2つの点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\)を任意に選んだとき、\(X\)内を通りながら\(\boldsymbol{a}\)から\(\boldsymbol{b}\)へ行く道が存在します。
定義域が\(\left[ 0,1\right] \subset \mathbb{R} \)であり終集合が\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)であるような連続な多変数からなる集合を、\begin{equation*}\mathcal{C}\left( \left[ 0,1\right] ,X\right) =\left\{ \boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow X\ |\ \boldsymbol{f}\text{は連続}\right\}
\end{equation*}と表記するのであれば、\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)が弧状連結集合であることを、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in X,\ \exists \boldsymbol{f}\in
\mathcal{C}\left( \left[ 0,1\right] ,X\right) :\left[ \boldsymbol{f}\left(
0\right) =\boldsymbol{a}\wedge \boldsymbol{f}\left( 1\right) =\boldsymbol{b}\right]
\end{equation*}と表現できます。
\end{equation*}を定めるベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を定義します。つまり、\(\boldsymbol{f}\)は線分ですが、先に示したように\(\boldsymbol{f}\)は\(\boldsymbol{a}\)から\(\boldsymbol{b}\)へ行く道です。さらに、任意の\(t\in \left[ 0,1\right] \)について、\begin{equation*}\left( 1-t\right) \boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が明らかに成り立つため、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\left( \left[ 0,1\right] \right) \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を得ます。以上より、\(\mathbb{R} ^{n}\)が弧状連結集合であることが明らかになりました。
\end{equation*}と定義されます。ただし、\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はユークリッド距離です。点の近傍\(N_{\varepsilon}\left( \boldsymbol{c}\right) \)は弧状連結集合です（演習問題）。
\end{equation*}を定義します。これは弧状連結集合です（演習問題）。
\phi \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}ですが、空集合は弧状連結集合です（演習問題）。
非弧状連結集合
集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)が弧状連結集合であることは、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in X,\ \exists \boldsymbol{f}\in
\mathcal{C}\left( \left[ 0,1\right] ,X\right) :\left[ \boldsymbol{f}\left(
0\right) =\boldsymbol{a}\wedge \boldsymbol{f}\left( 1\right) =\boldsymbol{b}\right]
\end{equation*}が成り立つこととして定義されるため、\(X\)が弧状連結集合ではないことは、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in X,\ \forall \boldsymbol{f}\in
\mathcal{C}\left( \left[ 0,1\right] ,X\right) :\left[ \boldsymbol{f}\left(
0\right) \not=\boldsymbol{a}\vee \boldsymbol{f}\left( 1\right) \not=\boldsymbol{b}\right]
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(X\)上の少なくとも2つの点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\)について、\(X\)内の任意の道が、その始点が\(a\)ではないか終点が\(b\)ではないかのどちらか一方であるということです。この場合、\(X\)は非弧状連結（non-path connected）であると言います。
\end{equation*}を定義します。この集合が非弧状連結であることを示すために、弧状連結であるものと仮定して矛盾を導きます。この場合、以下の条件\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f}\left( 0\right) &=&\boldsymbol{a} \\
\boldsymbol{f}\left( 1\right) &=&\boldsymbol{b}
\end{eqnarray*}を満たす連続関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \left\{ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right\} \)が存在します。さらにこの場合、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \left[ 0,1\right] \right) =\left\{ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right\}
\end{equation*}が成り立ちます。\(\left[ 0,1\right] \)は\(\mathbb{R} \)上の連結集合であり、連続関数による連結集合の像は連結集合であるため\(\boldsymbol{f}\left( \left[0,1\right] \right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の連結集合です。その一方で、\(\left\{ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の非連結集合であるため、これが\(\boldsymbol{f}\left( \left[ 0,1\right] \right) \)と一致することは矛盾です。したがって背理法より、\(\left\{ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right\} \)は非弧状連結集合であることが明らかになりました。
&&\left( b\right) \ A\not=\phi \\
&&\left( c\right) \ B\not=\phi \\
&&\left( d\right) \ A\cap B=\phi
\end{eqnarray*}が成り立つということです。この場合、これらの和集合\begin{equation*}
A\cup B
\end{equation*}は非弧状連結集合です。
弧状連結集合は連結集合
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(X\)が弧状連結である場合、\(X\)が連結であることが保証されます。
連結集合は弧状連結集合であるとは限らない
弧状連結集合は常に連結集合であることが明らかになりましたが、逆の主張は成り立つとは限りません。連結集合は弧状連結集合であるとは限らないということです。以下の例より明らかです。
B &=&\left\{ \left( x,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \frac{1}{2}\leq x\leq 1\right\}
\end{eqnarray*}と定義します。\(A\)は原点\(\left( 0,0\right) \)と点\(\left( 1,\frac{1}{n}\right) \)を結ぶ線分からなる集合であり、\(B\)は\(x\)軸上の\(\frac{1}{2}\)から\(1\)までの線分です。これらの集合の和集合\begin{equation*}A\cup B
\end{equation*}に注目した場合、これは連結集合である一方で弧状連結ではありません（演習問題）。
数直線における連結集合と弧状連結集合の関係
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)について、\(X\)が弧状連結集合である場合には\(X\)は連結集合である一方で、その逆は成り立つとは限らないことが明らかになりました。一方、1次元ユークリッド空間すなわち数直線\(\mathbb{R} \)においては、逆の主張も成り立ちます。つまり、数直線の部分集合\(X\subset \mathbb{R} \)について、\(X\)が弧状連結であることと連結であることは必要十分です。
演習問題
\end{equation*}と定義されます。\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{c}\right) \)が弧状連結集合であることを証明してください。
\end{equation*}を定義します。これが弧状連結であることを証明してください。
\phi \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が弧状連結であることを証明してください。
\end{equation*}が非弧状連結集合であることを証明してください。
B &=&\left\{ \left( x,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \frac{1}{2}\leq x\leq 1\right\}
\end{eqnarray*}と定義します。これらの集合の和集合\begin{equation*}
A\cup B
\end{equation*}は連結集合である一方で弧状連結ではないことを証明してください。
\end{equation*}が成り立つものとします。この場合、和集合\begin{equation*}
\bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}が弧状連結であることを証明してください。
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