行列式を用いた連立1次方程式の解法（クラーメルの法則）

連立1次方程式の解の存在判定と求解

連立1次方程式に解が存在することを判定する方法や、解の個数を特定する方法について、これまで明らかになったことを簡単に復習します。

連立1次方程式\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}が解を持つものとします。連立1次方程式\(\left( 1\right) \)は行列方程式\begin{equation}A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} \quad \cdots (2)
\end{equation}と同値であるため、\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)の解集合は一致します。\(\left( 1\right) \)の拡大係数行列\begin{equation*}\widetilde{A}=\left( A,\boldsymbol{b}\right)
\end{equation*}にガウス・ジョルダンの消去法を適用した上で、得られた行標準形\begin{equation*}
\widetilde{B}=\left( B,\boldsymbol{c}\right)
\end{equation*}から行列方程式\begin{equation}
B\boldsymbol{x}=\boldsymbol{c} \quad \cdots (3)
\end{equation}を定義します。ガウス・ジョルダンの消去法は有限回の行基本操作であるため\(\widetilde{A}\)と\(\widetilde{B}\)は行同値であり、したがって先の命題より\(\left( 2\right) \)と\(\left( 3\right) \)の解集合は一致します。ゆえに\(\left( 1\right) \)と\(\left(3\right) \)の解集合もまた一致するため、\(\left( 1\right) \)を解く代わりに\(\left( 3\right) \)を解くことができます。\(B\)は行標準形であるため、\(\left( 3\right) \)の解集合は容易に特定できます。このような解法を掃き出し法やガウスの消去法などと呼びます。

行列式を用いた連立1次方程式の解法（クラーメルの法則）

これまでは連立1次方程式を構成する変数の個数\(n\)と1次方程式の個数\(m\)に制約を設けませんでしたが、以降では、変数の個数と1次方程式の個数がともに\(n\)であるような連立1次方程式\begin{equation}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1j}x_{j}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
\vdots \\
a_{i1}x_{1}+\cdots +a_{ij}x_{j}+\cdots +a_{in}x_{n}=b_{i} \\
\vdots \\
a_{n1}x_{1}+\cdots +a_{nj}x_{j}+\cdots +a_{nn}x_{n}=b_{n}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を議論の対象とします。\(\left( 1\right) \)の係数行列を、\begin{equation*}\Delta =\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}で表記するとともに、係数行列\(\Delta \)の行列式の値が\(0\)ではない状況、すなわち、\begin{equation}\left\vert \Delta \right\vert =\begin{vmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}\not=0 \quad \cdots (2)
\end{equation}である状況を想定します。以上の条件は、\(\Delta \)が正則であることと必要十分です。

変数\(x_{j}\ \left( j=1,\cdots ,n\right) \)を任意に選んだ上で、連立方程式\(\left( 1\right) \)における\(x_{j}\)の係数\begin{equation}a_{1j},\cdots ,a_{ij},\cdots ,a_{nj} \quad \cdots (3)
\end{equation}をすべて取り出します。これは係数行列\(\Delta \)の第\(j\)列の成分に相当します。その上で、\(\left( 3\right) \)の成分の余因子\begin{equation*}A_{1j},\cdots ,A_{ij},\cdots ,A_{nj}
\end{equation*}をそれぞれ計算します。さらに、\(A_{1j}\)を\(\left(1\right) \)の最初の式の両辺に掛けて、\(\cdots \)、\(A_{ij}\)を\(\left( 1\right) \)の\(i\)番目の式の両辺に掛けて、\(\cdots \)、\(A_{nj}\)を\(\left( 1\right) \)の最後の式の両辺に掛けると、\begin{equation}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}A_{1j}x_{1}+\cdots +a_{1j}A_{1j}x_{j}+\cdots
+a_{1n}A_{1j}x_{n}=b_{1}A_{1j} \\
\vdots \\
a_{i1}A_{2j}x_{1}+\cdots +a_{ij}A_{2j}x_{j}+\cdots
+a_{in}A_{2j}x_{n}=b_{i}A_{2j} \\
\vdots \\
a_{n1}A_{nj}x_{1}+\cdots +a_{nj}A_{nj}x_{j}+\cdots
+a_{nn}A_{nj}x_{n}=b_{n}A_{nj}\end{array}\right. \quad \cdots (4)
\end{equation}を得ます。これらの式をすべて加えて整理すると、以下の1次方程式\begin{equation}
\left( \sum_{i=1}^{n}a_{i1}A_{ij}\right) x_{1}+\cdots +\left(
\sum_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}\right) x_{j}+\cdots +\left(
\sum_{i=1}^{n}a_{in}A_{ij}\right) x_{n}=\sum_{i=1}^{n}b_{i}A_{ij} \quad \cdots (5)
\end{equation}を得ます。\(\left( 5\right) \)の左辺中の変数\(x_{j}\)の係数\begin{equation*}\sum_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}
\end{equation*}は係数行列\(\Delta \)の第\(j\)列に沿った余因子展開であるため、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=\left\vert \Delta \right\vert
\end{equation*}を得ます。一方、\(\left(5\right) \)の左辺の\(x_{j}\)以外の変数\(x_{k}\ \left( k\not=j\right) \)の係数\begin{equation*}\sum_{i=1}^{n}a_{ik}A_{ij}
\end{equation*}は係数行列\(\Delta \)の異なる2つの異なる行\(k,j\)に関する余因子展開とは異なる展開式であるため、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{n}a_{ik}A_{ij}=0
\end{equation*}を得ます。以上より、\(\left( 5\right) \)は、\begin{equation*}\left\vert \Delta \right\vert x_{j}=\sum_{i=1}^{n}b_{i}A_{ij}
\end{equation*}となりますが、仮定\(\left( 2\right) \)より\(\left\vert \Delta \right\vert \not=0\)であるため、\begin{equation}x_{j}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}b_{i}A_{ij}}{\left\vert \Delta \right\vert
} \quad \cdots (6)
\end{equation}であることが明らかになりました。

係数行列\(\Delta \)の第\(j\)列の項\(a_{1j},\cdots ,a_{ij},\cdots ,a_{nj}\)を連立方程式\(\left( 1\right) \)の定数項\(b_{1},\cdots ,b_{i},\cdots ,b_{n}\)にそれぞれ置き換えることにより得られる正方行列を、\begin{equation*}\Delta _{j}=\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & b_{1} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{i1} & \cdots & b_{i} & \cdots & a_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & \cdots & b_{n} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}で表記します。行列\(\Delta _{j}\)の第\(j\)列以外のすべての成分は係数行列\(\Delta \)と一致することを踏まえた上で\(\Delta _{j}\)を第\(j\)列に沿って余因子展開すると、\begin{eqnarray*}\left\vert \Delta _{j}\right\vert &=&b_{1}A_{1j}+\cdots +b_{i}A_{ij}+\cdots
+b_{n}A_{nj} \\
&=&\sum\limits_{i=1}^{n}b_{i}A_{ij}
\end{eqnarray*}を得ます。これを用いて\(\left( 6\right) \)を言い換えると、\begin{equation*}x_{j}=\frac{\left\vert \Delta _{j}\right\vert }{\left\vert \Delta
\right\vert }
\end{equation*}を得ます。任意の変数\(x_{j}\ \left( j=1,\cdots ,n\right) \)について同様の議論が成立するため、連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の解は、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{j} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{\left\vert \Delta _{1}\right\vert }{\left\vert \Delta \right\vert } \\
\vdots \\
\frac{\left\vert \Delta _{j}\right\vert }{\left\vert \Delta \right\vert } \\
\vdots \\
\frac{\left\vert \Delta _{1}\right\vert }{\left\vert \Delta \right\vert }\end{array}\right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。これをクラーメルの法則（Cramer’s rule）と呼びます。

クラーメルの公式は、変数の個数と1次方程式の個数が同数であるような連立1次方程式の解を与える公式であることに注意してください。

係数行列の行列式の値がゼロである場合

クラーメルの公式は、係数行列の行列式の値が非ゼロであるような連立1次方程式にのみ適用可能です。係数行列の行列式の値がゼロである場合、そのような連立1次方程式は解を持たないか、あるいは、無数の解を持ちます。以下の例より明らかです。

同次連立1次方程式が非ゼロ解を持つための条件

変数の個数と1次方程式の個数が同数であるような連立1次方程式について、係数行列の行列式の値がゼロである場合、そのような連立1次方程式は解を持たないか、あるいは、無数の解を持つことが明らかになりました。一方、そのような連立1次方程式が同次連立1次方程式である場合には、係数行列の行列式の値がゼロであることと、非ゼロベクトルとは異なる解が存在することは必要十分になります。

先の命題の主張は変数の個数と方程式の個数が同数であるような同次連立1次方程式を対象としたものであることに注意してください。変数の個数と方程式の個数が異なる場合には、そもそも係数行列は正方行列にならないため行列式が定義不可能であり、したがって先の判定条件を検証することさえできません。すでに学んだように、一般の同次連立1次方程式に関しては、変数の個数が\(n\)であり係数行列が\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)である場合、以下の関係\begin{eqnarray*}\text{自明解だけを持つ}
&\Leftrightarrow &\mathrm{rank}\left( A\right) =n \\
\text{自明解とは異なる解を持つ} &\Leftrightarrow &\mathrm{rank}\left(
A\right) <n
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

演習問題