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有理数指数の累乗

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有理数指数の累乗

正の実数\(a>0\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、底が\(a\)で指数が\(n\)であるような累乗を、\begin{equation*}a^{n}=\overset{n\text{個}}{\overbrace{a\cdot \cdots \cdot a}}
\end{equation*}と定義し、指数が\(0\)であるような累乗を、\begin{equation*}a^{0}=1
\end{equation*}と定義し、指数が負の整数\(-n\)であるような累乗を、\begin{equation*}a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}
\end{equation*}と定義した上で、これが指数法則などの性質を示すことを示しました。では、正の実数\(a>0\)が与えられたとき、指数を整数から有理数に拡張した累乗をどのように定義すればよいでしょうか。有理数は整数\(z\)と整数\(n\)を用いて\(\frac{z}{n}\)という形で表される実数であるため、正の実数\(a\)の有理数乗は、\begin{equation*}a^{\frac{z}{n}}
\end{equation*}と表現されますが、これをどのように定義すればよいでしょうか。

整数指数の累乗に関する指数法則より、整数\(z\in \mathbb{Z} \)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{equation}\left( a^{z}\right) ^{n}=a^{zn} \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちます。\(z\)が有理数である場合にも\(\left( 1\right) \)が成り立つものと認めるのであれば、\(z=\frac{1}{n}\)とおくことにより、\begin{eqnarray*}\left( a^{\frac{1}{n}}\right) ^{n} &=&a^{\frac{1}{n}n}\quad \because z=\frac{1}{n}\text{および}\left( 1\right) \\
&=&a^{1} \\
&=&a\quad \because \text{整数指数の累乗}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left( a^{\frac{1}{n}}\right) ^{n}=a \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。そこで、\(\left( 2\right) \)を満たす正の実数として\(a^{\frac{1}{n}}\)を定義します。つまり、正の実数\(a\)と自然数\(n\)が与えられたとき、\begin{equation*}b^{n}=a
\end{equation*}を満たす正の実数\(b\)として\(a^{\frac{1}{n}}\)を定義するということです。指数が有理数\(\frac{1}{n}\)であるような累乗\(a^{\frac{1}{n}}\)とは、それを\(n\)乗すると\(a\)になるような正の実数です。その上で、\(a^{\frac{1}{n}}\)を\(\sqrt[n]{a}\)と表記できるものと定めます。つまり、\begin{equation*}\left( \sqrt[n]{a}\right) ^{n}=n
\end{equation*}を満たす正の実数として\(\sqrt[n]{a}\)を定義します。ただ、\(a\)と\(n\)が与えられたときに、それに対して\(\left( 2\right) \)を満たす正の実数\(a^{\frac{1}{n}}\)が存在することは必ずしも自明ではありません。\(a^{\frac{1}{n}}\)が存在することの証明は後ほど行うこととして、ひとまず、\(a^{\frac{1}{n}}\)が1つの実数として定まるものと仮定して話を進めます。

一般の有理数\(\frac{m}{n}\)を指数として持つ累乗\(a^{\frac{m}{n}}\)をどのように定義すればよいでしょうか。仮に、\begin{equation*}a^{\frac{m}{n}}=\left( a^{m}\right) ^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}とみなすのであれば、これは指数が有理数\(\frac{1}{n}\)であるような累乗と解釈できます。つまり、指数が有理数\(\frac{m}{n}\)であるような累乗\(a^{\frac{m}{n}}\)とは、それを\(n\)乗すると\(a^{m}\)になるような正の実数です。改めて整理すると、正の実数\(a\)と有理数\(\frac{m}{n}\)が与えられたとき、\begin{equation*}b^{n}=a^{m}
\end{equation*}を満たす正の実数\(b\)として\(a^{\frac{m}{n}}\)を定義するということです。このとき、\begin{equation*}a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

以上により、指数が有理数であるような累乗の定義が完了しました。

例(有理数乗)
\(8^{\frac{2}{3}}\)とは\(3\)乗すると\(8^{2}\)になるような正の実数です。具体的には、\begin{eqnarray*}8^{\frac{2}{3}} &=&\sqrt[3]{8^{2}} \\
&=&\sqrt[3]{\left( 2^{3}\right) ^{2}}\quad \because 2^{3}=8 \\
&=&\sqrt[3]{\left( 2^{2}\right) ^{3}}\quad \because \text{指数法則} \\
&=&2^{2} \\
&=&4
\end{eqnarray*}となります。

例(有理数乗)
\(8^{-\frac{2}{3}}\)とは\(3\)乗すると\(8^{-2}\)になるような正の実数です。具体的には、\begin{eqnarray*}8^{-\frac{2}{3}} &=&\sqrt[3]{8^{-2}} \\
&=&\sqrt[3]{\left( 2^{3}\right) ^{-2}}\quad \because 2^{3}=8 \\
&=&\sqrt[3]{\left( 2^{-2}\right) ^{3}}\quad \because \text{指数法則} \\
&=&2^{-2} \\
&=&\frac{1}{2\cdot 2} \\
&=&\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}となります。

例(有理数乗)
\(n\)年間で物価が\(P_{1}\)から\(P_{2}\)まで変化したとき、1年あたりの物価上昇率を\(r\)とおくのであれば、\begin{equation*}P_{2}=P_{1}\left( 1+r\right) ^{n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。これを解くと、\begin{equation*}
\frac{P_{2}}{P_{1}}=\left( 1+r\right) ^{n}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( \frac{P_{2}}{P_{1}}\right) ^{\frac{1}{n}}=1+r
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
r=\left( \frac{P_{2}}{P_{1}}\right) ^{\frac{1}{n}}=1
\end{equation*}を得ます。\(\left( \frac{P_{2}}{P_{1}}\right) ^{\frac{1}{n}}\)は正の実数\(\frac{P_{2}}{P_{1}}\)の有理数\(\frac{1}{n}\)乗です。
例(有理数乗)
正の実数\(a\)と整数\(z\)が与えられたとき、整数\(z\)は有理数\(\frac{z}{1}\)とみなせるため、整数乗\(a^{z}\)を有理数乗\(a^{\frac{z}{1}}\)とみなすことができます。有理数乗の定義より、\(a^{z}\)すなわち\(a^{\frac{z}{1}}\)とはそれを\(1\)乗すると\(a^{z}\)になるような正の実数、すなわち、\begin{equation*}b^{1}=a^{z}
\end{equation*}を満たす正の実数\(b\)です。\(b^{1}=b\)であるため、\begin{equation*}b=a^{z}
\end{equation*}を得ますが、これは整数乗の定義に他なりません。有理数乗は整数乗の拡張であるということです。

 

有理数乗の存在証明

繰り返しになりますが、正の実数\(a\)と自然数\(n\)が与えられたとき、指数が\(\frac{1}{n}\)であるような累乗\(a^{\frac{1}{n}}\)もしくは\(\sqrt[n]{a}\)とは、\begin{equation*}b^{n}=a
\end{equation*}を満たす正の実数\(b\)として定義されます。では、このような\(b\)は必ず存在するのでしょうか。証明には実数の連続性関数の極限および連続性に関する知識が必要であるため、それらについて学んでから読み返してください。

命題(指数が有理数であるような累乗の存在証明)
正の実数\(a>0\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}b^{n}=a
\end{equation*}を満たす正の実数\(b>0\)が1つだけ存在する。
証明

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繰り返しになりますが、正の実数\(a\)と整数\(z\)および自然数\(n\)が与えられたとき、指数が有理数\(\frac{z}{n}\)であるような累乗\(a^{\frac{z}{n}}\)もしくは\(\sqrt[n]{a^{z}}\)は、\begin{equation*}b^{n}=a^{z}
\end{equation*}を満たす正の実数\(b\)として定義されます。では、このような\(b\)は必ず存在するのでしょうか。\(a^{z}\)は整数乗であるため1つの実数として定まります。したがって先の命題より、上の関係を満たす正の実数\(b\)が存在することが示されました。

命題(指数が有理数であるような累乗の存在証明)
正の実数\(a>0\)と整数\(z\in \mathbb{Z} \)および自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}b^{n}=a^{z}
\end{equation*}を満たす正の実数\(b>0\)が1つだけ存在する。

 

有理数乗の符号

正の実数\(a\)と有理数\(r\)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{r}>0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、有理数指数の累乗は正の実数です。

命題(有理数乗の符号)

正の実数\(a>0\)と有理数\(r\in \mathbb{Q} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{r}>0
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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有理数乗の解釈

正の実数\(a>0\)と有理数\(r\in \mathbb{Q} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{-r}=\left( \frac{1}{a}\right) ^{r}=\left( a^{r}\right) ^{-1}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(a\)の\(-r\)乗は\(a\)の逆数の\(r\)乗や、\(a\)の\(r\)乗の\(-1\)乗と一致します。

命題(有理数乗の解釈)

正の実数\(a>0\)と有理数\(r\in \mathbb{Q} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{-r}=\left( \frac{1}{a}\right) ^{r}=\left( a^{r}\right) ^{-1}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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底を共有する累乗の積

正の実数\(a>0\)と有理数\(r_{1},r_{2}\in \mathbb{Q} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{r_{1}}\cdot a^{r_{2}}=a^{r_{1}+r_{2}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、底\(a\)を共有する\(a^{r_{1}}\)と\(a^{r_{2}}\)が与えられたとき、それらの積\(a^{r_{1}}\cdot a^{r_{2}}\)を求めるためには指数どうしの和\(r_{1}+r_{2}\)をとり、それを指数とする累乗\(a^{r_{1}+r_{2}}\)をとればよいということです。「累乗の積」に関する問題は「指数の和」に関する問題へと帰着させられます。

命題(底を共有する累乗の積)
正の実数\(a>0\)と有理数\(r_{1},r_{2}\in \mathbb{Q} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{r_{1}}\cdot a^{r_{2}}=a^{r_{1}+r_{2}}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(底を共有する累乗の積)
上の命題より、\begin{eqnarray*}
2^{-\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{3}{2}} &=&2^{-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}}=2 \\
3^{\frac{1}{4}}\cdot 3^{\frac{3}{4}} &=&3^{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=3 \\
\left( \frac{2}{3}\right) ^{\frac{1}{2}}\cdot \left( \frac{2}{3}\right) ^{-\frac{1}{4}} &=&\left( \frac{2}{3}\right) ^{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}=\left(
\frac{2}{3}\right) ^{\frac{1}{4}}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

底を共有する累乗の商

正の実数\(a>0\)と有理数\(r_{1},r_{2}\in \mathbb{Q} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\frac{a^{r_{1}}}{a^{r_{2}}}=a^{r_{1}-r_{2}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、底\(a\)を共有する\(a^{r_{1}}\)と\(a^{r_{2}}\)が与えられたとき、それらの商\(\frac{a^{r_{1}}}{a^{r_{2}}}\)を求めるためには指数どうしの差\(r_{1}-r_{2}\)をとり、それを指数とする累乗\(a^{r_{1}-r_{2}}\)をとればよいということです。「累乗の商」に関する問題は「指数の差」に関する問題へと帰着させられます。

命題(底を共有する累乗の商)
正の実数\(a>0\)と有理数\(r_{1},r_{2}\in \mathbb{Q} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\frac{a^{r_{1}}}{a^{r_{2}}}=a^{r_{1}-r_{2}}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(底を共有する累乗の商)
上の命題より、\begin{eqnarray*}
\frac{2^{\frac{1}{2}}}{2^{-\frac{1}{2}}} &=&2^{\frac{1}{2}-\left( \frac{1}{2}\right) }=2 \\
\frac{3^{-\frac{1}{4}}}{2^{-\frac{1}{2}}} &=&3^{\left( -\frac{1}{4}\right)
-\left( -\frac{1}{2}\right) }=3^{\frac{1}{4}} \\
\left( \frac{2}{3}\right) ^{-\frac{1}{4}}/\left( \frac{2}{3}\right) ^{\frac{1}{2}} &=&\left( \frac{2}{3}\right) ^{-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}=\left( \frac{2}{3}\right) ^{-\frac{3}{4}}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

累乗の累乗

正の実数\(a>0\)と有理数\(r_{1},r_{2}\in \mathbb{Q} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( a^{r_{1}}\right) ^{r_{2}}=a^{r_{1}r_{2}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、累乗\(a^{r_{1}}\)が与えられたとき、さらにその累乗\(\left( a^{r_{1}}\right) ^{r_{2}}\)を求めるためには指数どうしの積\(r_{1}r_{2}\)をとり、それを指数とする累乗\(a^{r_{1}r_{2}}\)をとればよいということです。「累乗の累乗」に関する問題は「累乗の積」に関する問題へと帰着させられます。

命題(累乗の累乗)
正の実数\(a>\)と有理数\(r_{1},r_{2}\in \mathbb{Q} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( a^{r_{1}}\right) ^{r_{2}}=a^{r_{1}r_{2}}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(累乗の累乗)
上の命題より、\begin{eqnarray*}
\left( 2^{\frac{1}{3}}\right) ^{-\frac{1}{2}} &=&2^{\frac{1}{3}\left( -\frac{1}{2}\right) }=2^{-\frac{1}{6}} \\
\left( 3^{-\frac{1}{2}}\right) ^{\frac{1}{4}} &=&3^{\left( -\frac{1}{2}\right) \frac{1}{4}}=3^{-\frac{1}{8}} \\
\left( \left( \frac{2}{3}\right) ^{-\frac{1}{2}}\right) ^{-\frac{1}{4}}
&=&\left( \frac{2}{3}\right) ^{\left( -\frac{1}{2}\right) \left( -\frac{1}{4}\right) }=\left( \frac{2}{3}\right) ^{\frac{1}{8}}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

積の累乗

正の実数\(a,b>0\)と有理数\(r\in \mathbb{Q} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( ab\right) ^{r}=a^{r}b^{r}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、正の実数\(a,b\)が与えられたとき、それらの積の累乗\(\left( ab\right) ^{r}\)を求めるためには、\(a\)の累乗\(a^{r}\)と\(b\)の累乗\(b^{r}\)をそれぞれとり、それらの積をとればよいということです。「積の累乗」に関する問題は「累乗の積」に関する問題へと帰着させられます。

命題(積の累乗)
正の実数\(a,b>0\)と有理数\(r\in \mathbb{Q} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( ab\right) ^{r}=a^{r}b^{r}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(積の累乗)
上の命題より、\begin{eqnarray*}
\left( 2\cdot 3\right) ^{-\frac{1}{2}} &=&2^{-\frac{1}{2}}\cdot 3^{-\frac{1}{2}} \\
\left( 3\cdot 2\right) ^{\frac{1}{4}} &=&3^{\frac{1}{4}}\cdot 2^{\frac{1}{4}}
\\
\left( \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{5}\right) ^{-\frac{2}{5}} &=&\left( \frac{2}{3}\right) ^{-\frac{2}{5}}\cdot \left( \frac{2}{5}\right) ^{-\frac{2}{5}}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

商の累乗

正の実数\(a,b>0\)と有理数\(r\in \mathbb{Q} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( \frac{a}{b}\right) ^{r}=\frac{a^{r}}{b^{r}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、正の実数\(a,b\)が与えられたとき、それらの商の累乗\(\left( \frac{a}{b}\right) ^{r}\)を求めるためには、\(a\)の累乗\(a^{r}\)と\(b\)の累乗\(b^{r}\)をそれぞれとり、それらの商をとればよいということです。「商の累乗」に関する問題は「累乗の商」に関する問題へと帰着させられます。

命題(商の累乗)
正の実数\(a,b>0\)と有理数\(r\in \mathbb{Q} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( \frac{a}{b}\right) ^{r}=\frac{a^{r}}{b^{r}}
\end{equation*}が成り立つ。

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例(積の累乗)
上の命題より、\begin{eqnarray*}
\left( \frac{2}{3}\right) ^{-\frac{1}{2}} &=&\frac{2^{-\frac{1}{2}}}{3^{-\frac{1}{2}}} \\
\left( \frac{3}{2}\right) ^{\frac{1}{4}} &=&\frac{3^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{1}{4}}} \\
\left( \frac{2}{3}/\frac{2}{5}\right) ^{-\frac{2}{5}} &=&\left( \frac{2}{3}\right) ^{-\frac{2}{5}}/\left( \frac{2}{5}\right) ^{-\frac{2}{5}}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

指数法則

得られた結果をまとめておきましょう。指数が有理数であるような累乗を計算する際には以下の関係式を利用できます。これらを総称して指数法則(laws of exponents)と呼びます。

命題(指数法則)
以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall a>0,\ \forall r\in \mathbb{Q} :a^{-r}=\left( \frac{1}{a}\right) ^{r}=\left( a^{r}\right) ^{-1} \\
&&\left( b\right) \ \forall a>0,\ \forall r_{1},r_{2}\in \mathbb{Q} :a^{r_{1}}\cdot a^{r_{2}}=a^{r_{1}+r_{2}} \\
&&\left( c\right) \ \forall a>0,\ \forall r_{1},r_{2}\in \mathbb{Q} :\frac{a^{r_{1}}}{a^{r_{2}}}=a^{r_{1}-r_{2}} \\
&&\left( d\right) \ \forall a>0,\ \forall r_{1},r_{2}\in \mathbb{Q} :\left( a^{r_{1}}\right) ^{r_{2}}=a^{r_{1}r_{2}} \\
&&\left( e\right) \ \forall a,b>0,\ \forall r\in \mathbb{Q} :\left( ab\right) ^{r}=a^{r}b^{r} \\
&&\left( f\right) \ \forall a,b>0,\ \forall r\in \mathbb{Q} :\left( \frac{a}{b}\right) ^{r}=\frac{a^{r}}{b^{r}}
\end{eqnarray*}

 

演習問題

問題(有理数乗)
以下の値を計算してください。

  1. \(8^{\frac{5}{3}}\)
  2. \(81^{\frac{3}{4}}\)
  3. \(\sqrt{125^{\frac{2}{3}}}\)
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次回は指数が実数であるような累乗について解説します。

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