曲線の主法線ベクトル

曲線の主法線ベクトル

ベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。\(\boldsymbol{f}\)の値域、すなわち\(\boldsymbol{f}\)から定義される曲線は、\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}です。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)において微分可能である場合、そこでの微分係数\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime }\left( a\right) \\
\vdots \\
f_{n}^{\prime }\left( a\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}は点\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)において曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)と接する直線\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{f}\left( a\right) +\left( x-a\right) \boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}の方向ベクトルであるため、\(\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \)を曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の点\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)における接ベクトルと呼びました。これは変数\(x\)の値が\(a\)である瞬間における曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)上の点\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)の進行方向を表すベクトルあり、変数\(x\)の値が\(a\)である瞬間における値\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の瞬間変化率を表します。

接ベクトル\(\boldsymbol{f}^{\prime }\left(a\right) \)はベクトルであるため、向きと大きさに関する情報をともに含んでいます。そこで、ベクトル\(\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \)の向きだけをとり出すために、\(\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \)の大きさを\(1\)に正規化した指標\begin{equation*}\boldsymbol{T}\left( a\right) =\frac{\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right)
}{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \right\Vert }
\end{equation*}を定義し、これを曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の点\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)における単位接ベクトルと呼びました。

区間上に定義されたベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域である区間\(I\)上で\(C^{1}\)級であるとともに、導関数が非ゼロベクトルを値としてとる場合、すなわち、\begin{equation*}\forall x\in I:\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \not=\boldsymbol{0}
\end{equation*}が成り立つ場合、曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)は正則であると言います。この場合、それぞれの\(x\in I\)に対して、そこでの単位接ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{T}\left( x\right) =\frac{\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right)
}{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert }
\end{equation*}を特定するベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{T}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。これを単位接ベクトル関数（unit tangent vector function）と呼ぶこととします。

曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の単位接ベクトル\(\boldsymbol{T}\left( a\right) \)は、変数\(x\)の値が\(a\)である瞬間における\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)上の点\(\boldsymbol{f}\left(a\right) \)の進行方向を表します。仮に点の進行方向が常に一定であれば、変数\(x\)の値が変化しても曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)上の点\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)は直進するしかありません。実際には、変数\(x\)の値が変化するにつれて点\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の進行方向が変化することは起こり得るため、そのような変化を記述するためには、進行方向が変化する方向を記述する必要があります。そしてそれは、単位接ベクトル\(\boldsymbol{T}\left( x\right) \)の瞬間変化率\(\boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) \)として記述されます。

改めて整理します。曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の単位接ベクトル\(\boldsymbol{T}\left( a\right) \)は、変数\(x\)の値が\(a\)である瞬間における\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)上の点\(\boldsymbol{f}\left(a\right) \)の進行方向を表します。その瞬間において、点\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)の進行方向が変化する向きは\(\boldsymbol{T}^{\prime }\left( a\right) \)です。ただし、\(\boldsymbol{T}^{\prime}\left( a\right) \)はベクトルであり、ベクトルは向きと大きさに関する情報をともに含むため、ベクトル\(\boldsymbol{T}^{\prime }\left(a\right) \)の大きさを\(1\)に正規化した指標\begin{equation*}\boldsymbol{N}\left( a\right) =\frac{\boldsymbol{T}^{\prime }\left( a\right)
}{\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( a\right) \right\Vert }
\end{equation*}を導入します。これを曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の点\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)における主法線ベクトル（principal normal vector）と呼びます。この指標が定義可能であるためには、単位接ベクトル関数\(\boldsymbol{T}\)が点\(a\)において微分可能であるとともに\(\boldsymbol{T}^{\prime }\left( a\right) \not=\boldsymbol{0}\)である必要であることに注意してください。

単位接ベクトル関数\(\boldsymbol{T}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が微分可能であるとともに非ゼロベクトルを値としてとる場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall x\in I:\boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) \not=\boldsymbol{0}
\end{equation*}が成り立つ場合には、それぞれの\(x\in I\)に対して、そこでの主法線ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{N}\left( x\right) =\frac{\boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right)
}{\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert }
\end{equation*}を特定するベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{N}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。これを主法線ベクトル関数（principal normal vector function）と呼ぶこととします。

主法線ベクトルと単位接ベクトルは直交する

主法線ベクトルと単位接ベクトルは常に直交します。

以上の命題は、点の方向を変える力は、点が進んでいる方向の真横からしか働かないという物理的なルールを表したものになっています。なぜ、このようなルールが成立するのでしょうか。

単位接ベクトル\(\boldsymbol{T}\left( x\right) \)は点の進行方向を表し、主法線ベクトル\(\boldsymbol{N}\left( x\right) \)は点が曲がる方向を表しますが、\(\boldsymbol{T}\left( x\right) \)と\(\boldsymbol{N}\left( x\right) \)はともに長さ\(1\)の単位ベクトルであることに注意してください。曲がる方向\(\boldsymbol{N}\left( x\right) \)が進行方向\(\boldsymbol{T}\left( x\right) \)と直交しない場合、曲がる方向が進行方向と同じ向きを含んでいるため、それは点の動きを速くしたり遅くする形でも作用することになり、その結果、次の瞬間における単位接ベクトル\(\boldsymbol{T}\left( x+\Delta x\right) \)が単位ベクトルではなくなってしまいます。一方、曲がる方向\(\boldsymbol{N}\left( x\right) \)が進行方向\(\boldsymbol{T}\left( x\right) \)と直交する場合には、次の瞬間における単位接ベクトル\(\boldsymbol{T}\left(x+\Delta x\right) \)は単位ベクトルであり続けます。

以上のことを厳密に示します。まず、\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx}\left\Vert \boldsymbol{T}\left( x\right) \right\Vert ^{2} &=&\frac{d}{dx}\boldsymbol{T}\left( x\right) \cdot \boldsymbol{T}\left(
x\right) \\
&=&\boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) \cdot \boldsymbol{T}\left(
x\right) +\boldsymbol{T}\left( x\right) \cdot \boldsymbol{T}^{\prime }\left(
x\right) \quad \because \text{内積の微分} \\
&=&2\left[ \boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) \cdot \boldsymbol{T}\left( x\right) \right] \end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx}\left\Vert \boldsymbol{T}\left( x\right) \right\Vert ^{2}
&=&\left. \frac{d}{dy}y^{2}\right\vert _{y=\left\Vert \boldsymbol{T}\left(
x\right) \right\Vert }\cdot \frac{d}{dx}\left\Vert \boldsymbol{T}\left(
x\right) \right\Vert \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&2\left\Vert \boldsymbol{T}\left( x\right) \right\Vert \cdot \frac{d}{dx}\left\Vert \boldsymbol{T}\left( x\right) \right\Vert
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
2\left[ \boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) \cdot \boldsymbol{T}\left(
x\right) \right] =2\left\Vert \boldsymbol{T}\left( x\right) \right\Vert
\cdot \frac{d}{dx}\left\Vert \boldsymbol{T}\left( x\right) \right\Vert
\end{equation*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx}\left\Vert \boldsymbol{T}\left( x\right) \right\Vert &=&\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{T}\left( x\right) \right\Vert }\boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) \cdot \boldsymbol{T}\left( x\right) \\
&=&\boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) \cdot \boldsymbol{T}\left(
x\right) \quad \because \left\Vert \boldsymbol{T}\left( x\right) \right\Vert
=1
\end{eqnarray*}を得ます。ただし、\(\boldsymbol{N}\left( x\right) =\frac{\boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) }{\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert }\)であるため\(\boldsymbol{N}\left( x\right) \)は\(\boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) \)と同一方向のベクトルであり、したがって\(\boldsymbol{N}\left(x\right) \)と\(\boldsymbol{T}\left( x\right) \)のなす角を\(\theta \)で表記する場合、これは\(\boldsymbol{T}^{\prime }\left(x\right) \)と\(\boldsymbol{T}\left( x\right) \)のなす角でもあるため、\begin{eqnarray*}\frac{d}{dx}\left\Vert \boldsymbol{T}\left( x\right) \right\Vert
&=&\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert \left\Vert
\boldsymbol{T}\left( x\right) \right\Vert \cos \left( \theta \right) \\
&=&\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert \cos
\left( \theta \right) \quad \because \left\Vert \boldsymbol{T}\left(
x\right) \right\Vert =1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\frac{d}{dx}\left\Vert \boldsymbol{T}\left( x\right) \right\Vert =\left\Vert
\boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert \cos \left( \theta
\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。ただし、\(\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert \not=0\)です。

点の進行方向\(\boldsymbol{T}\left(x\right) \)と曲がる方向\(H\left( x\right) \)のなす角\(\theta \)が直角である場合には\(\cos \left( \theta \right)=0\)であるため、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}\frac{d}{dx}\left\Vert \boldsymbol{T}\left( x\right) \right\Vert =0
\end{equation*}を得ます。つまり、この場合、\(x\)が変化しても単位接ベクトル\(\boldsymbol{T}\left( x\right) \)の大きさは変化せず、ゆえに\(\boldsymbol{T}\left( x\right) \)は単位ベクトルであり続けます。一方、なす角\(\theta \)が直角ではない場合には\(\cos \left(\theta \right) \not=0\)であるため、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}\frac{d}{dx}\left\Vert \boldsymbol{T}\left( x\right) \right\Vert \not=0
\end{equation*}を得ます。つまり、この場合、\(x\)が変化すると単位接ベクトル\(\boldsymbol{T}\left( x\right) \)の大きさが変化してしまうため、\(\boldsymbol{T}\left( x\right) \)が単位ベクトルであるというルールから逸脱してしまいます。

接ベクトルの変化率の分解

接ベクトル\(\boldsymbol{f}^{\prime }\left(x\right) \)はベクトルであるため方向と大きさを持ちます。接ベクトル\(\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \)の向きは曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)上の点\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)が進んでいる方向を表し、\(\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \)の大きさは点\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)が進む際の速さを表します。したがって、接ベクトルの瞬間変化率\(\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( t\right) \)をとると、その中には点\(\boldsymbol{f}\left(x\right) \)が進んでいる方向の変化率（方向を変える力）と、点\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)が進む際の速さの変化率（速さを変える力）が混在していることになります。実際には、これらの変化率を分解できます。

接ベクトル\(\boldsymbol{f}^{\prime }\left(x\right) \)の変化率は、以下の形\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( x\right) =\frac{d}{dx}\left\Vert
\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert \boldsymbol{T}\left(
x\right) +\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert
\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert \boldsymbol{N}\left( x\right)
\end{equation*}で分解可能であることが明らかになりました。

第1項\(\frac{d}{dx}\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left(x\right) \right\Vert \boldsymbol{T}\left( x\right) \)は単位接ベクトル\(\boldsymbol{T}\left( x\right) \)にスカラー\(\frac{d}{dx}\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert \)がかかっています。\(\boldsymbol{T}\left( x\right) \)は現在の進行方向であるため、そのスカラー倍は現在の方向と同じ方向（または真後ろ）に働いています。したがって、\(\frac{d}{dx}\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert \)は速さを変える力の大きさを表しています。

第2項\(\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right)\right\Vert \left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert
\boldsymbol{N}\left( x\right) \)は主法線ベクトル\(\boldsymbol{N}\left( x\right) \)にスカラー\(\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right)\right\Vert \left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert \)がかかっています。\(\boldsymbol{N}\left( x\right) \)は進行方向が変化する向きであるため、そのスカラー倍は方向を変える方向（進行方向と垂直）に働いています。したがって、\(\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert \left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert \)は方向を変える力の大きさを表しています。

演習問題