1変数の凸関数・凹関数の定数倍
区間上に定義された1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in I\)に対して以下の値\begin{equation*}\left( cf\right) \left( x\right) =cf\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな1変数関数\begin{equation*}
cf:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
\(f\)が凸関数である場合、\(c\geq 0\)ならば\(cf\)もまた凸関数であり、\(c\leq 0\)ならば\(cf\)は凹関数です。
\(f\)が狭義凸関数である場合、\(c>0\)ならば\(cf\)もまた狭義凹関数であり、\(c<0\)ならば\(cf\)は狭義凸関数です。ちなみに、\(c=0\)の場合に\(cf\)はゼロだけを値としてとり得る定数関数であるため、これは狭義凸関数と狭義凹関数のどちらでもありません。
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(cf:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。このとき以下が成り立つ。
- \(f\)が凸関数であるとともに\(c\geq 0\)であるならば、\(cf\)は凸関数である。
- \(f\)が凸関数であるとともに\(c\leq 0\)であるならば、\(cf\)は凹関数である。
- \(f\)が狭義凸関数であるとともに\(c>0\)であるならば、\(cf\)は狭義凸関数である。
- \(f\)が狭義凸関数であるとともに\(c<0\)であるならば、\(cf\)は狭義凹関数である。
凹関数と狭義凹関数に関しても同様の主張が成り立ちます。
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(cf:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。このとき以下が成り立つ。
- \(f\)が凹関数であるとともに\(c\geq 0\)であるならば、\(cf\)は凹関数である。
- \(f\)が凹関数であるとともに\(c\leq 0\)であるならば、\(cf\)は凸関数である。
- \(f\)が狭義凹関数であるとともに\(c>0\)であるならば、\(cf\)は狭義凹関数である。
- \(f\)が狭義凹関数であるとともに\(c<0\)であるならば、\(cf\)は狭義凸関数である。
\end{equation*}を定めるものとします。\(x+1\)は凸関数かつ凹関数であるため、その正の実数倍である\(f\)もまた凸関数かつ凹関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(x^{2}\)は狭義凸関数であるため、その正の実数倍である\(f\)もまた狭義凸関数です。
多変数の凸関数・凹関数のスカラー倍
多変数の凸関数と凹関数についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
凸集合上に定義された多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して以下の値\begin{equation*}\left( cf\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =cf\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を定める新たな多変数関数\begin{equation*}
cf:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
\(f\)が凸関数である場合、\(c\geq 0\)ならば\(cf\)もまた凸関数であり、\(c\leq 0\)ならば\(cf\)は凹関数です。
\(f\)が狭義凸関数である場合、\(c>0\)ならば\(cf\)もまた狭義凹関数であり、\(c<0\)ならば\(cf\)は狭義凸関数です。ちなみに、\(c=0\)の場合に\(cf\)はゼロだけを値としてとり得る定数関数であるため、これは狭義凸関数と狭義凹関数のどちらでもありません。
- \(f\)が凸関数であるとともに\(c\geq 0\)であるならば、\(cf\)は凸関数である。
- \(f\)が凸関数であるとともに\(c\leq 0\)であるならば、\(cf\)は凹関数である。
- \(f\)が狭義凸関数であるとともに\(c>0\)であるならば、\(cf\)は狭義凸関数である。
- \(f\)が狭義凸関数であるとともに\(c<0\)であるならば、\(cf\)は狭義凹関数である。
凹関数と狭義凹関数に関しても同様の主張が成り立ちます。
- \(f\)が凹関数であるとともに\(c\geq 0\)であるならば、\(cf\)は凹関数である。
- \(f\)が凹関数であるとともに\(c\leq 0\)であるならば、\(cf\)は凸関数である。
- \(f\)が狭義凹関数であるとともに\(c>0\)であるならば、\(cf\)は狭義凹関数である。
- \(f\)が狭義凹関数であるとともに\(c<0\)であるならば、\(cf\)は狭義凸関数である。
\end{equation*}を定めるものとします。\(x+y+1\)は凸関数かつ凹関数であるため、その正のスカラー倍である\(f\)もまた凸関数かつ凹関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(x^{2}+y^{2}\)は狭義凸関数であるため、その正のスカラー倍である\(f\)もまた狭義凸関数です。
演習問題
&&\left( b\right) \ -2f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}の凹凸を判定してください。
&&\left( b\right) \ -f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}の凹凸を判定してください。
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