ユークリッド空間上のコンパクト集合

被覆

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、これに対して\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が存在して、\(A\)が\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の和集合の部分集合になる場合には、すなわち、以下の2つの条件\begin{equation*}A\subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}がともに成り立つ場合には、\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)を\(A\)の被覆（covering）と呼びます。同じことを、\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)は\(A\)を被覆する（cover）と言うこともできます。

例（被覆）

\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合である有界な閉区間\begin{equation*}A=\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}が与えられているものとします。これは下図において正方形の領域として描かれています（境界を含む）。

点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の閉近傍を、\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( x_{1},x_{2}\right) =\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right)
\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ d\left( \left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right)
\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と表記します。これは点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)を中心とし\(\varepsilon \)を半径とする円盤です（境界の円を含む）。以上を踏まえたとき、以下のような\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合族\begin{equation*}\mathfrak{A}=\left\{ C_{\frac{1}{2}}\left( 0,0\right) ,C_{\frac{1}{2}}\left(
0,1\right) ,C_{\frac{1}{2}}\left( 1,0\right) ,C_{\frac{1}{2}}\left(
1,1\right) \right\}
\end{equation*}の和集合\(\cup \mathfrak{A}\)は上図のグレーの領域であるため（境界を含む）、この集合族\(\mathfrak{A}\)は\(A\)の被覆ではありません。

一方、以下のような\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合族\begin{equation*}\mathfrak{B}=\left\{ C_{\frac{1}{2}}\left( 0,0\right) ,C_{\frac{1}{2}}\left(
0,1\right) ,C_{\frac{1}{2}}\left( 1,0\right) ,C_{\frac{1}{2}}\left(
1,1\right) ,C_{\frac{1}{2}}\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \right\}
\end{equation*}の和集合\(\cup \mathfrak{B}\)は上図のグレーの領域であるため（境界を含む）、この集合族\(\mathfrak{B}\)は\(A\)の被覆です。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が有限集合である場合には、すなわち、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\subset \mathbb{R} ^{n} \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda } \\
&&\left( c\right) \ \Lambda \text{は有限集合}
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合には、\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)を\(A\)の有限被覆（finite covering）と呼びます。同じことを、\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)は\(A\)を有限被覆する（finite cover）と言うこともできます。有限集合\(\Lambda \)は何らかの自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}\Lambda =\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}と表現できるため、\(A\)の有限被覆を\(\left\{ A_{i}\right\}_{i=1}^{n}\)と表記できます。このような事情を踏まえると、\(A\)の有限被覆\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)が満たすべき条件を、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} :A_{i}\subset \mathbb{R} ^{n} \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup_{i=1}^{n}A_{i} \\
&&\left( c\right) \ n\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}と表現できます。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が可算集合である場合には、すなわち、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\subset \mathbb{R} ^{n} \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda } \\
&&\left( c\right) \ \Lambda \text{は可算集合}
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合には、\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)を\(A\)の可算被覆（countable covering）と呼びます。同じことを、\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)は\(A\)を可算被覆する（countable cover）と言うこともできます。可算集合\(\Lambda \)として、\begin{equation*}\Lambda =\mathbb{N} =\left\{ 1,2,\cdots \right\}
\end{equation*}を採用すれば、\(A\)の有限被覆を\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)や\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{+\infty }\)などで表記できます。このような事情を踏まえると、\(A\)の可算被覆\(\left\{A_{i}\right\} _{i=1}^{+\infty }\)が満たすべき条件を、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \mathbb{R} :A_{i}\subset \mathbb{R} ^{n} \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup_{i\in \mathbb{N} }A_{i}
\end{eqnarray*}と表現できます。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素がいずれも\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合である場合、すなわち、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)を\(A\)の開被覆（open covering）と呼びます。ただし、\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系を表す記号です。

被覆の部分被覆

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が与えられているものとします。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\subset \mathbb{R} ^{n} \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです。それに対して、やはり\(A\)の被覆であるような\(\left\{A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の部分集合が存在する場合には、つまり、\begin{equation*}\left( c\right) \ \exists M\subset \Lambda :A\subset \bigcup_{\lambda \in
M}A_{\lambda }
\end{equation*}が成り立つ場合、このような集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in M}\)を\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda\in \Lambda }\)の部分被覆（subcovering）と呼びます。これは、被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }\)の要素である集合によって\(A\)が覆われている場合、実際には、部分被覆\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in M}\)の要素である集合さえあれば\(A\)を覆うのに十分であることを意味します。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が与えられているものとします。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\subset \mathbb{R} ^{n} \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです。それに対して、有限集合であるような\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の部分集合が存在する場合には、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \exists M\subset \Lambda :A\subset \bigcup_{\lambda \in
M}A_{\lambda } \\
&&\left( d\right) \ M\text{は有限集合}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、このような集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in M}\)を\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の有限部分被覆（finite subcover）と呼びます。また、被覆に対してその有限部分被覆が存在する場合、その被覆は有限被覆に落とせる（reducible to a finite cove）と言います。これは、被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素である集合によって\(A\)が覆われている場合、実際には、部分被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in M}\)の要素である有限個の集合さえあれば\(A\)を覆うのに十分であることを意味します。

コンパクト集合

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の開被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選んだとき、それに対して有限部分被覆が必ず存在するのであれば、\(A\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合（compact set）と呼びます。より正確には、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)がコンパクト集合であることとは、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{eqnarray*}をともに満たす集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選んだとき（\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)は\(A\)の開被覆）、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \exists n\in \mathbb{N} :\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\in \Lambda \\
&&\left( d\right) \ A\subset \bigcup_{i=1}^{n}A_{\lambda _{i}}
\end{eqnarray*}が成り立つ（\(\left\{ A_{\lambda_{i}}\right\} _{i=1}^{n}\)は\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の有限部分被覆）ことを意味します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)がコンパクト集合であるとは、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合からなる集合族によって\(A\)を覆ったつもりでも、実はそれらの中の有限個の開集合によって\(A\)が覆えていることを意味します。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)がコンパクト集合であるためには、\(A\)の「任意の」開被覆がそれぞれ有限部分被覆が持つ必要があります。言い換えると、\(A\)の開被覆の中に有限部分被覆を持つものが「存在する」ことを示しただけでは、\(A\)がコンパクト集合であることを示したことになりません。\(A\)がコンパクト集合であることを示すためには、\(A\)の「任意の」開被覆がそれぞれ有限部分被覆を持つことを示す必要があります。

集合はコンパクトであるとは限らない

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)がコンパクト集合であることとは、\(A\)の任意の開被覆が有限部分被覆が持つことを意味します。したがって、逆に、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合でないこととは、\(A\)の開被覆の中に有限部分被覆を持たないものが存在することを意味します。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合はコンパクト集合であるとは限りません。以下の例より明らかです。

コンパクト集合どうしの共通部分はコンパクト集合

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合を要素とする集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が与えられた場合、その共通部分\begin{equation*}\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合になることが保証されます。

上の命題中のコンパクト集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }\)の添字集合\(\Lambda \)は任意の集合であることに注意してください。したがって、以下がいずれも成り立ちます。

コンパクト集合どうしの和集合はコンパクト集合

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合を要素として持つ有限集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)を任意に選んだ場合、その和集合\begin{equation*}\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_{i}
\end{equation*}もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合になることが保証されます。

先の命題は「有限個のコンパクト集合の和集合はコンパクト集合である」という主張に相当します。一方、以下の例から明らかであるように、無限個のコンパクト集合の和集合はコンパクト集合になるとは限りません。これはコンパクト集合族の共通部分とは異なる点です。

無限個のコンパクト集合の和集合がコンパクト集合になる場合もあります。以下の例より明らかです。

部分距離空間上のコンパクト集合

ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)が与えられているものとします。つまり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はベクトルを成分とするそれぞれの順序対\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(
x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{equation*}を定めます。距離関数\(d\)は以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} :d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} :\left[ d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=0\Leftrightarrow \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} :d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=d\left( \boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} :d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) \leq d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) +d\left( \boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right)
\end{eqnarray*}を満たします。

非空な部分集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それにあわせて距離関数\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域を\(X\times X\)へ制限して\(d_{X}:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)とすれば、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in X\times
X:d_{X}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(d_{X}\)を定義すれば、この\(d_{X}\)もまた距離関数としての性質\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in
X:d_{X}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:\left[
d_{X}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=0\Leftrightarrow \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:d_{X}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=d_{X}\left( \boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in X:d_{X}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) \leq d_{X}\left(
\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) +d_{X}\left( \boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right)
\end{eqnarray*}を満たすため、\begin{equation*}
\left( X,d_{X}\right)
\end{equation*}もまた距離空間になります。これをもとの空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)の部分距離空間と呼びます。集合\(X\)上に距離関数\(d_{X}\)が定義されていることが文脈から明らかである場合には、部分距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)をシンプルに、\begin{equation*}X
\end{equation*}と表記できるものと定めます。

部分距離空間は距離空間であるため、部分距離空間においても、その部分集合がコンパクト集合であるか検討できます。具体的には以下の通りです。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分距離空間\(X\)が与えられている状況を想定します。部分距離空間の点\(\boldsymbol{a}\in X\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍は、点\(\boldsymbol{a}\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(X\)の点からなる集合\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }^{X}\left( \boldsymbol{a}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ d_{X}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\varepsilon
\right\} \\
&=&X\cap N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{eqnarray*}として定義されます。その上で、部分距離空間の部分集合\(A\subset X\)が\(X\)上の開集合であることは、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{a}\in A,\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon
}^{X}\left( \boldsymbol{a}\right) \subset A
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。部分距離空間\(X\)上の開集合をすべて集めてできる集合族を\(X\)の開集合系と呼び、これを、\begin{equation*}\mathcal{O}\left( X\right)
\end{equation*}で表記します。部分距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}A\in \mathcal{O}\left( X\right) \Leftrightarrow \exists B\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) :A=B\cap X
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、部分距離空間\(X\)上の部分集合\(A\)が\(X\)上の開集合であることと、\(A\)をもとの空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の何らかの開集合\(B\)と部分距離空間\(X\)の共通部分として表せることは必要十分です。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分距離空間\(X\)が与えられている状況を想定します。\(X\)の部分集合\(A\)が\(X\)上のコンパクト集合であることとは、\(A\)の開被覆\(\left\{A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選んだとき、それに対して有限部分被覆が必ず存在することとして定義されます。ただし、ここでの開被覆を構成する開集合は\(X\)上の開集合です。つまり、\(A\)が\(X\)上のコンパクト集合であることとは、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in \mathcal{O}\left( X\right) \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }
\end{eqnarray*}を満たす集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選んだとき（\(\left\{ A_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }\)は\(A\)の開被覆）、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \exists n\in \mathbb{N} :\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\in \Lambda \\
&&\left( d\right) \ A\subset \bigcup_{i=1}^{n}A_{\lambda _{i}}
\end{eqnarray*}が成り立つ（\(\left\{ A_{\lambda_{i}}\right\} _{i=1}^{n}\)は\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の有限部分被覆）ことを意味します。

部分距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)が\(X\)上のコンパクト集合であることと、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合であることは必要十分です。

ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)の部分距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)が与えられているものとします。\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合である場合、これと\(X\)の共通部分\(A\cap X\)は\(X\)上のコンパクト集合になるとは限りません。以下の例より明らかです。

その一方で、部分距離空間\(X\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合である場合には主張は成り立ちます。

先の命題の逆も成り立つとは限りません。つまり、ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)の部分距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)が与えられた状況において集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\(A\cap X\)が\(X\)上のコンパクト集合であっても、\(A\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合であるとは限りません。以下の例より明らかです。

演習問題