コンパクト集合の部分閉集合はコンパクト
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合であることとは、\(A\)の開被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選んだとき、それに対して有限部分被覆が必ず存在することとして定義されます。つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{eqnarray*}をともに満たす集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選んだとき（\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)は\(A\)の開被覆）、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \exists n\in \mathbb{N} :\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\in \Lambda \\
&&\left( d\right) \ A\subset \bigcup_{i=1}^{n}A_{\lambda _{i}}
\end{eqnarray*}が成り立つ（\(\left\{ A_{\lambda_{i}}\right\} _{i=1}^{n}\)は\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の有限部分被覆）ことを意味します。ただし、\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合系を表す記号です。
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)がコンパクト集合であることを示すためには、\(A\)の任意の開被覆が有限部分被覆を持つことを示す必要があり、その手続きは面倒です。ハイネ・ボレルの被覆定理（Heine-Borel’s covering theorem）はコンパクト集合を特定する上で非常に有益な示唆を与えてくれます。
この定理について解説する前に、前提知識としていくつか命題を示します。まず、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)がコンパクト集合である場合、\(A\)の部分集合であるような任意の閉集合もまたコンパクト集合になります。
有界な閉区間はコンパクト集合
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界な閉区間はコンパクト集合です。
a_{i},b_{i}\right] \\
&=&\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{eqnarray*}は\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合である。
a_{i},b_{i}\right] \\
\left[ \boldsymbol{c},\boldsymbol{d}\right] &=&\prod\limits_{i=1}^{n}\left[
c_{i},d_{i}\right] \end{eqnarray*}を構成します。先の命題より、これらはともに\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合です。コンパクト集合どうしの共通部分はコンパクト集合であるため、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] \cap \left[ \boldsymbol{c},\boldsymbol{d}\right] =\phi
\end{equation*}はコンパクト集合です。コンパクト集合どうしの和集合はコンパクト集合であるため、\begin{equation*}
\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] \cup \left[ \boldsymbol{c},\boldsymbol{d}\right] \end{equation*}はコンパクト集合です。ただし、\(\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] \)と\(\left[ \boldsymbol{c},\boldsymbol{d}\right] \)は互いに素であるため、これらの和集合は有界閉区間ではありません。\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界閉区間はコンパクト集合である一方で、コンパクト集合は有界閉区間であるとは限らないということです。
有界な閉集合はコンパクト集合
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界な閉区間はコンパクト集合であることが明らかになりましたが、閉区間を閉集合に置き換えた主張もまた成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界な閉集合はコンパクト集合です。
\end{equation*}を構成すると、これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界な閉集合です。したがって、先の命題より、1点集合\(\left\{ \boldsymbol{a}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合です。
a_{i},b_{i}\right] \\
\left[ \boldsymbol{c},\boldsymbol{d}\right] &=&\prod\limits_{i=1}^{n}\left[
c_{i},d_{i}\right] \end{eqnarray*}を構成します。その上で、これらの和集合\begin{equation*}
\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] \cup \left[ \boldsymbol{c},\boldsymbol{d}\right] \end{equation*}をとります。先に示したように、これは有界閉区間ではない一方でコンパクト集合です。同じことを先の命題から導きます。\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界閉区間は閉集合であるため\(\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] ,\left[ \boldsymbol{c},\boldsymbol{d}\right] \)はともに閉集合です。閉集合どうしの和集合は閉集合であるため\(\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] \cup \left[ \boldsymbol{c},\boldsymbol{d}\right] \)は閉集合です。さらに、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] \cup \left[ \boldsymbol{c},\boldsymbol{d}\right] \subset \left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{d}\right] \end{equation*}が成り立つため\(\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] \cup \left[ \boldsymbol{c},\boldsymbol{d}\right] \)は有界です。以上より、\(\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] \cup \left[ \boldsymbol{c},\boldsymbol{d}\right] \)は有界な閉区間であることが示されたため、先の命題より\(\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right]\cup \left[ \boldsymbol{c},\boldsymbol{d}\right] \)はコンパクト集合です。
コンパクト集合は有界な閉集合
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界な閉区間は\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合であることが示されましたが、実はその逆もまた成立します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合は有界な閉集合であることが保証されます。
ハイネ・ボレルの被覆定理
これまでの議論より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合がコンパクト集合であることと、その集合が有界な閉集合であることが必要十分であることが明らかになりました。つまり、有界な閉集合としてコンパクト集合を定義できるということです。これがユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)におけるハイネ・ボレルの被覆定理（Heine-Borel’s covering theorem）定理です。
\end{equation*}が与えられているものとします。このとき、以下の関係\begin{equation*}
A=\bigcup\limits_{i=1}^{m}\left\{ \boldsymbol{a}_{i}\right\}
\end{equation*}が成り立ちます。1点集合\(\left\{ \boldsymbol{a}_{i}\right\} \)は閉集合です。有限個の閉集合の和集合は閉集合であるため\(A\)は閉集合です。また、有限集合は有界です。つまり、\(A\)は有界な閉集合であるため、ハイネ・ボレルの被覆定理より、\(A\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合であることが明らかになりました。
コンパクト集合ではないことの証明
ハイネ・ボレルの被覆定理より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合がコンパクト集合であることを示すためには、それが\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界な閉集合であることを示せばよいことになります。逆に、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合が有界ではない場合や閉集合ではない場合などには、その集合はコンパクト集合ではありません。
a_{i},+\infty \right) \\
\left( -\infty ,\boldsymbol{b}\right) &=&\prod\limits_{i=1}^{n}\left(
-\infty ,b_{i}\right)
\end{eqnarray*}や無限半閉区間\begin{eqnarray*}
\lbrack \boldsymbol{a},+\infty ) &=&\prod\limits_{i=1}^{n}[a_{i},+\infty )
\\
(-\infty ,\boldsymbol{b}] &=&\prod\limits_{i=1}^{n}(-\infty ,b_{i}] \end{eqnarray*}を定義します。これらは有界ではないため\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合ではありません。同様に、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{n}\end{equation*}もまた有界ではないため\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合ではありません。
a_{i},b_{i}\right)
\end{equation*}や有界半開区間\begin{eqnarray*}
(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}] &=&\prod\limits_{i=1}^{n}(a_{i},b_{i}] \\
\lbrack \boldsymbol{a},\boldsymbol{b})
&=&\prod\limits_{i=1}^{n}[a_{i},b_{i})
\end{eqnarray*}を定義します。これらは有界であるものの閉集合ではないため\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合ではありません。
\end{equation*}を定義します。これは有界であるものの閉集合ではないため\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合ではありません。
実数空間上のコンパクト集合とユークリッド空間上のコンパクト集合の関係
実数空間上の開集合の直積をとれば、それはユークリッド空間上の開集合になります。
\end{equation*}はユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合である。
部分距離空間におけるハイネ・ボレルの被覆定理
ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)の部分距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)においてハイネボレルの被覆定理は成り立つとは限りません。つまり、\(X\)の部分集合\(A\subset X\)において、\(A\)が\(X\)上のコンパクト集合であることと、\(A\)が\(X\)上の有界な閉集合であることは必要十分であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}に注目します。\(X\subset X\)であるため、\(X\)が\(X\)上のコンパクト集合であるか検討できます。\(X\)は\(X\)上の有界な閉集合ですが、\(X\)は\(X\)上のコンパクト集合ではありません。したがって、\(X\)を舞台とした場合にはハイネ・ボレルの被覆定理は成り立ちません（演習問題）。
演習問題
\end{equation*}に注目します。\(X\)は\(X\)上の有界な閉集合であること、また、\(X\)は\(X\)上のコンパクト集合ではないことを証明してください。
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