確認テスト II（ユークリッド空間の位相）

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A^{i}=\left( \left( A^{c}\right) ^{a}\right) ^{c}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。ただし、集合\(B\subset \mathbb{R} ^{n}\)について\(B^{i}\)は\(B\)の内部、\(B^{c}\)は\(B\)の補集合、\(B^{a}\)は\(B\)の閉包です。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の閉集合}\Leftrightarrow
A^{f}\subset A
\end{equation*}が成り立つことを本文中で証明しました。ただし、\(A^{f}\)は\(A\)の境界です。さらに、以下の関係\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の開集合}\Leftrightarrow A^{f}\cap
A=\phi
\end{equation*}もまた成り立つことを証明してください（必要性と十分性それぞれ10点）。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の導集合（\(A\)の集積点からなる集合）を\(A^{d}\)で表記します。以下の問いに答えてください。

1. 集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\cup A^{d}\end{equation*}が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であることを証明してください（20点）。
2. 集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\cup A^{d}\end{equation*}は\(A\)を部分集合として持つ閉集合の中でも最小の閉集合であることを証明してください（10点）。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の空ではない部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)と点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)の間の距離は、\begin{equation*}d\left( \boldsymbol{x},A\right) =\inf \left\{ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{a}\in A\right\}
\end{equation*}と定義されます。以上を踏まえたとき、集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)について以下の命題\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ d\left( \boldsymbol{x},A\right) =0\Rightarrow \boldsymbol{x}\in A\right] \end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であるための必要十分条件であることを証明してください（必要性と十分性それぞれ15点）。