エピグラフ・ハイポグラフを用いた1変数の凸関数・凹関数の判定

エピグラフを用いた1変数の凸関数の判定

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が凸関数であることは、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in I,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda
f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) \geq
f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、定義にもとづいて関数が凸であることを示す作業は煩雑になりがちです。ただ、関数\(f\)が微分可能である場合、導関数\(f^{\prime }\)が単調増加関数であることと\(f\)が凸関数であることは必要十分です。さらに、関数\(f\)が2階微分可能である場合、2階導関数\(f^{\prime \prime }\)が非負の値のみをとること、すなわち、\begin{equation*}\forall x\in I:f^{\prime \prime }\left( x\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つことは\(f\)が凸関数であることと必要十分です。では、関数\(f\)が微分可能でない場合、\(f\)が凸関数であることを簡単に判定する方法はあるのでしょうか。

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in I\times \mathbb{R} \ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合であるため、空間\(\mathbb{R} ^{2}\)は曲線である\(G\left( f\right) \)を境に、その上部の領域と下部の領域に分割されます。特に、\(G\left( f\right) \)を含めてそれよりも上部の領域であるような\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合を、\begin{equation*}\mathrm{epi}\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in I\times \mathbb{R} \ |\ y\geq f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}で表記し、これを関数\(f\)のエピグラフ（epigraph）と呼びます。定義より、\begin{equation*}G\left( f\right) \subset \mathrm{epi}\left( f\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

例（関数のエピグラフ）

関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフ\(G\left( f\right) \)が下図において曲線として描かれています。\(f\)のエピグラフ\(\mathrm{epi}\left( f\right) \)は\(f\)のグラフである曲線と、それより上方の領域を併せたグレーの領域に相当します。

上の例中の関数\(f\)は下に凸なグラフを持つため、これは凸関数です。さらに、\(f\)が下に凸なグラフを持つことは、グラフの上部の領域に相当する\(f\)のエピグラフが凸集合であることと必要十分であることが図から読み取れます。実際、これは正しい主張です。

例（エピグラフと凸関数）

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x & \left( if\ x\geq 0\right) \\
-x & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は明らかに微分可能ではありません。\(f\)のエピグラフは、\begin{equation*}\mathrm{epi}\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\geq 0\wedge y\geq x\right\} \cup \left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x<0\wedge y\geq -x\right\}
\end{equation*}であり、これは下図のグレーの領域に相当します。これは明らかに凸集合であるため、\(f\)は凸関数です。

ハイポグラフを用いた1変数の凹関数の判定

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が凸関数であることは、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in I,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda
f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) \leq
f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、定義にもとづいて関数が凹であることを示す作業は煩雑になりがちです。ただ、関数\(f\)が微分可能である場合、導関数\(f^{\prime }\)が単調減少関数であることと\(f\)が凹関数であることは必要十分です。関数\(f\)が2階微分可能である場合、2階導関数\(f^{\prime \prime }\)が非正の値のみをとること、すなわち、\begin{equation*}\forall x\in I:f^{\prime \prime }\left( x\right) \leq 0
\end{equation*}が成り立つことは\(f\)が凹関数であることと必要十分です。では、関数\(f\)が微分可能でない場合、\(f\)が凹関数であることを簡単に判定する方法はあるのでしょうか。

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in I\times \mathbb{R} \ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合であるため、空間\(\mathbb{R} ^{2}\)は曲線である\(G\left( f\right) \)を境に、その上部の領域と下部の領域に分割されます。特に、\(G\left( f\right) \)を含めてそれよりも下部の領域であるような\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合を、\begin{equation*}\mathrm{hyp}\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in I\times \mathbb{R} \ |\ y\leq f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}で表記し、これを関数\(f\)のハイポグラフ（hypograph）と呼びます。定義より、\begin{equation*}G\left( f\right) \subset \mathrm{hyp}\left( f\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

例（関数のハイポグラフ）

関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフ\(G\left( f\right) \)が下図において曲線として描かれています。\(f\)のハイポグラフ\(\mathrm{hyp}\left(f\right) \)は\(f\)のグラフである曲線と、それより下方の領域を併せたグレーの領域に相当します。

上の例中の関数\(f\)は上に凸なグラフを持つため、これは凹関数です。さらに、\(f\)が上に凸なグラフを持つことは、グラフの下部の領域に相当する\(f\)のハイポグラフが凸集合であることと必要十分であることが図から読み取れます。実際、これは正しい主張です。

例（ハイポグラフと凹関数）

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
-x & \left( if\ x\geq 0\right) \\
x & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は明らかに微分可能ではありません。\(f\)のハイポグラフは、\begin{equation*}\mathrm{hyp}\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\geq 0\wedge y\leq -x\right\} \cup \left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x<0\wedge y\leq x\right\}
\end{equation*}であり、これは下図のグレーの領域に相当します。これは明らかに凸集合であるため、\(f\)は凹関数です。

演習問題