指数関数は狭義凸関数
指数関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\(a\not=1\)かつ\(a>0\)を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =a^{x}
\end{equation*}と表されるということです。
指数関数は狭義凸関数です。
命題（指数関数は狭義凸関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\(a\not=1\)かつ\(a>0\)を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =a^{x}
\end{equation*}と表されるものとする。\(a\)の値によらず、\(f\)は狭義凸関数である。
\end{equation*}と表されるものとする。\(a\)の値によらず、\(f\)は狭義凸関数である。
例（指数関数は狭義凸関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は指数関数であるため狭義凸関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は指数関数であるため狭義凸関数です。
例（指数関数は狭義凸関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は指数関数であるため狭義凸関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は指数関数であるため狭義凸関数です。
例（指数関数は狭義凸関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は指数関数であるため狭義凸関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は指数関数であるため狭義凸関数です。
指数関数の定数倍
指数関数の正の定数倍は狭義凸関数であり、負の定数倍は狭義凹関数です。
命題（指数関数の定数倍）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\(a\not=1\)かつ\(a>0\)を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =a^{x}
\end{equation*}と表されるものとする。実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\(cf:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。以下が成り立つ。
\end{equation*}と表されるものとする。実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\(cf:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。以下が成り立つ。
- \(c>0\)ならば、\(cf\)は狭義凸関数である。
- \(c<0\)ならば、\(cf\)は狭義凹関数である。
- \(c=0\)ならば、\(cf\)は凸関数かつ凹関数である。
例（指数関数の定数倍）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{e^{x}}{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は指数関数\(e^{x}\)の正の定数\(\frac{1}{2}\)倍であるため、先の命題より\(f\)は狭義凸関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は指数関数\(e^{x}\)の正の定数\(\frac{1}{2}\)倍であるため、先の命題より\(f\)は狭義凸関数です。
例（指数関数の定数倍）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-e^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は指数関数\(e^{x}\)の負の定数\(-1\)倍であるため、先の命題より\(f\)は狭義凹関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は指数関数\(e^{x}\)の負の定数\(-1\)倍であるため、先の命題より\(f\)は狭義凹関数です。
指数関数と凸関数の和
指数関数と凸関数の和は狭義凸関数です。
命題（指数関数の定数倍）
区間上に定義された関数\(f,g:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に選んだとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)の一方が指数関数で他方が凸関数であるならば、\(f+g\)は狭義凸関数である。
例（指数関数と凸関数の和）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}+2x+1
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は指数関数\(e^{x}\)とアフィン関数\(2x+1\)の和ですが、アフィン関数は凸関数であるため、先の命題より\(f\)は狭義凸関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は指数関数\(e^{x}\)とアフィン関数\(2x+1\)の和ですが、アフィン関数は凸関数であるため、先の命題より\(f\)は狭義凸関数です。
指数関数との合成関数
1変数関数と指数関数の合成関数に関して以下が成り立ちます。
命題（指数関数との合成関数）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、\(a>1\)を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)と関数\(g:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =a^{g\left( x\right) }
\end{equation*}と表されるものとする。以下が成り立つ。
\end{equation*}と表されるものとする。以下が成り立つ。
- \(g\)が凸関数ならば、\(f\)は凸関数である。
- \(g\)が定数関数ではないアフィン関数ならば、\(f\)は狭義凸関数である。
- \(g\)が狭義凸関数ならば、\(f\)は狭義凸関数である。
例（指数関数との合成関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{2x+1}
\end{equation*}を定めるものとします。\(e>1\)であるとともに\(2x+1\)は定数関数ではないアフィン関数であるため、先の命題より\(f\)は狭義凸関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(e>1\)であるとともに\(2x+1\)は定数関数ではないアフィン関数であるため、先の命題より\(f\)は狭義凸関数です。
例（指数関数との合成関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{e^{x}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(e>1\)であるとともに\(e^{x}\)は狭義凸関数であるため、先の命題より\(f\)は狭義凸関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(e>1\)であるとともに\(e^{x}\)は狭義凸関数であるため、先の命題より\(f\)は狭義凸関数です。
多変数関数と指数関数の合成関数に関しても同様の主張が成り立ちます。
命題（指数関数との合成関数）
凸集合上に定義された関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して定める値が、\(a>1\)を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)と関数\(g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =a^{g\left( \boldsymbol{x}\right) }
\end{equation*}と表されるものとする。以下が成り立つ。
\end{equation*}と表されるものとする。以下が成り立つ。
- \(g\)が凸関数ならば、\(f\)は凸関数である。
- \(g\)が定数関数ではないアフィン関数ならば、\(f\)は狭義凸関数である。
- \(g\)が狭義凸関数ならば、\(f\)は狭義凸関数である。
例（指数関数との合成関数）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,x\right) =e^{x+y}
\end{equation*}を定めるものとします。\(e>1\)であるとともに\(x+y\)は定数関数ではないアフィン関数であるため、先の命題より\(f\)は狭義凸関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(e>1\)であるとともに\(x+y\)は定数関数ではないアフィン関数であるため、先の命題より\(f\)は狭義凸関数です。
例（指数関数との合成関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x^{4}+y^{4}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(e>1\)であるとともに\(x^{4}+y^{4}\)は狭義凸関数であるため、先の命題より\(f\)は狭義凸関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(e>1\)であるとともに\(x^{4}+y^{4}\)は狭義凸関数であるため、先の命題より\(f\)は狭義凸関数です。
演習問題
問題（指数関数と凸関数の和）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}+2x+1
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が狭義凸関数であることを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が狭義凸関数であることを示してください。
問題（指数関数どうしの和）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}+2^{x}+\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が狭義凸関数であることを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が狭義凸関数であることを示してください。
問題（指数関数と凸関数の和）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-e^{x}+2x+1
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が狭義凹関数であることを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が狭義凹関数であることを示してください。
問題（指数関数と1変数の凸関数の合成関数）
それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2e^{x}+1
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が狭義凸関数であることを示してください。
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が狭義凸関数であることを示してください。
問題（指数関数と1変数の凸関数の合成関数）
それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3^{x^{2}}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が狭義凸関数であることを示してください。
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が狭義凸関数であることを示してください。
問題（指数関数と多変数の凸関数の合成関数）
それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =3^{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が狭義凸関数であることを示してください。
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が狭義凸関数であることを示してください。
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