対数関数は狭義凸関数または狭義凹関数
対数関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値が、\(a\not=1\)かつ\(a>0\)を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\log _{a}\left( x\right)
\end{equation*}と表されているということです。
底が\(0<a<1\)を満たす対数関数は狭義凸関数であり、底が\(a>1\)を満たす対数関数は狭義凹関数です。
命題（対数関数は狭義凸関数または狭義凹関数）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値が、\(a\not=1\)かつ\(a>0\)を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\log _{a}\left( x\right)
\end{equation*}と表されるものとする。以下が成り立つ。
\end{equation*}と表されるものとする。以下が成り立つ。
- \(0<a<1\)ならば、\(f\)は狭義凸関数である。
- \(a>1\)ならば、\(f\)は狭義凹関数である。
例（対数関数は狭義凸関数または狭義凹関数）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(e>1\)であるため、先の命題より\(f\)は狭義凹関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(e>1\)であるため、先の命題より\(f\)は狭義凹関数です。
例（対数関数は狭義凸関数または狭義凹関数）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\log _{10}\left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(10>1\)であるため、先の命題より\(f\)は狭義凹関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(10>1\)であるため、先の命題より\(f\)は狭義凹関数です。
例（対数関数は狭義凸関数または狭義凹関数）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\log _{2}\left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(2>1\)であるため、先の命題より\(f\)は狭義凹関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(2>1\)であるため、先の命題より\(f\)は狭義凹関数です。
例（対数関数は狭義凸関数または狭義凹関数）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\log _{\frac{1}{2}}\left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(0<\frac{1}{2}<1\)であるため、先の命題より\(f\)は狭義凸関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(0<\frac{1}{2}<1\)であるため、先の命題より\(f\)は狭義凸関数です。
対数関数の定数倍
対数関数の定数倍の凹凸は以下の通りです。
命題（対数関数の定数倍）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値が、\(a\not=1\)かつ\(a>0\)を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\log _{a}\left( x\right)
\end{equation*}と表されるものとする。実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\(cf:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。以下が成り立つ。
\end{equation*}と表されるものとする。実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\(cf:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。以下が成り立つ。
- \(0<a<1\)かつ\(c>0\)ならば、\(cf\)は狭義凸関数である。
- \(0<a<1\)かつ\(c<0\)ならば、\(cf\)は狭義凹関数である。
- \(a>1\)かつ\(c>0\)ならば、\(cf\)は狭義凹関数である。
- \(a>1\)かつ\(c<0\)ならば、\(cf\)は狭義凸関数である。
- \(c=0\)ならば、\(cf\)は凸関数かつ凹関数である。
例（対数関数の定数倍）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\ln \left( x\right) }{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(e>1\)ゆえに\(\ln \left( x\right) \)は狭義凹関数です。狭義凹関数の正の定数\(\frac{1}{2}\)倍は狭義凹関数であるため\(f\)は狭義凹関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(e>1\)ゆえに\(\ln \left( x\right) \)は狭義凹関数です。狭義凹関数の正の定数\(\frac{1}{2}\)倍は狭義凹関数であるため\(f\)は狭義凹関数です。
例（対数関数の定数倍）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(e>1\)ゆえに\(\ln \left( x\right) \)は狭義凹関数です。狭義凹関数の負の定数\(-1\)倍は狭義凸関数であるため\(f\)は狭義凸関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(e>1\)ゆえに\(\ln \left( x\right) \)は狭義凹関数です。狭義凹関数の負の定数\(-1\)倍は狭義凸関数であるため\(f\)は狭義凸関数です。
対数関数と凸関数・凹関数の和
対数関数と凸関数ないし凹関数の和について以下が成り立ちます。
命題（対数関数と凸関数・凹関数の和）
\(\mathbb{R} _{++}\)の部分集合であるような区間上に定義された関数\(f,g:\mathbb{R} _{++}\supset I\rightarrow \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} _{++}\supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。以下が成り立つ。
- \(f,g\)の一方が\(0<a<1\)を満たす底\(a\in \mathbb{R} \)を持つ対数関数で、他方が凸関数であるならば、\(f+g\)は狭義凸関数である。
- \(f,g\)の一方が\(a>1\)を満たす底\(a\in \mathbb{R} \)を持つ対数関数で、他方が凹関数であるならば、\(f+g\)は狭義凹関数である。
例（対数関数と凸関数・凹関数の和）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x\right) +2x+1
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は狭義凹な対数関数\(\ln \left( x\right) \)とアフィン関数\(2x+1\)の和ですが、アフィン関数は凹関数であるため、\(f\)は狭義凹関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は狭義凹な対数関数\(\ln \left( x\right) \)とアフィン関数\(2x+1\)の和ですが、アフィン関数は凹関数であるため、\(f\)は狭義凹関数です。
対数関数との合成関数
1変数関数と対数関数の合成関数に関して以下が成り立ちます。
命題（対数関数との合成関数）
\(\mathbb{R} _{++}\)の部分集合であるような区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} _{++}\supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、\(a>1\)を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)と関数\(g:\mathbb{R} _{++}\supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\log _{a}g\left( x\right)
\end{equation*}と表されるものとする。以下が成り立つ。
\end{equation*}と表されるものとする。以下が成り立つ。
- \(g\)が凹関数ならば、\(f\)は凹関数である。
- \(g\)が定数関数ではないアフィン関数ならば、\(f\)は狭義凹関数である。
- \(g\)が狭義凹関数ならば、\(f\)は狭義凹関数である。
例（対数関数との合成関数）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( 2x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(e>1\)であるとともに\(2x+1\)は定数関数ではないアフィン関数であるため、先の命題より\(f\)は狭義凹関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(e>1\)であるとともに\(2x+1\)は定数関数ではないアフィン関数であるため、先の命題より\(f\)は狭義凹関数です。
例（対数関数との合成関数）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( 1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 1,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( \ln \left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(e>1\)であるとともに\(\ln \left( x\right) \)は狭義凹関数であるため、先の命題より\(f\)は狭義凹関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(e>1\)であるとともに\(\ln \left( x\right) \)は狭義凹関数であるため、先の命題より\(f\)は狭義凹関数です。
多変数関数と対数関数の合成関数に関しても同様の主張が成り立ちます。
命題（対数関数との合成関数）
凸集合上に定義された関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して定める値が、\(a>1\)を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)と、\(g\left( X\right) \subset \left( 0,+\infty \right) \)を満たす関数\(g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =\log _{a}g\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}と表されるものとする。以下が成り立つ。
\end{equation*}と表されるものとする。以下が成り立つ。
- \(g\)が凹関数ならば、\(f\)は凹関数である。
- \(g\)が定数関数ではないアフィン関数ならば、\(f\)は狭義凹関数である。
- \(g\)が狭義凹関数ならば、\(f\)は狭義凹関数である。
例（対数関数との合成関数）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\ln \left( x+y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y>0\right\}
\end{equation*}です。\(e>1\)であるとともに\(x+y\)は定数関数ではないアフィン関数であるため、先の命題より\(f\)は狭義凹関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y>0\right\}
\end{equation*}です。\(e>1\)であるとともに\(x+y\)は定数関数ではないアフィン関数であるため、先の命題より\(f\)は狭義凹関数です。
例（対数関数との合成関数）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\ln \left( -x^{4}-y^{4}+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ -x^{4}-y^{4}+1>0\right\}
\end{equation*}です。\(e>1\)であるとともに\(-x^{4}-y^{4}+1\)は狭義凹関数であるため、先の命題より\(f\)は狭義凸関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ -x^{4}-y^{4}+1>0\right\}
\end{equation*}です。\(e>1\)であるとともに\(-x^{4}-y^{4}+1\)は狭義凹関数であるため、先の命題より\(f\)は狭義凸関数です。
演習問題
問題（対数関数との和）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x\right) +2x+1
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が狭義凹関数であることを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が狭義凹関数であることを示してください。
問題（対数関数どうしの和）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x\right) +\log _{2}\left( x\right) -\log _{\frac{1}{2}}\left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が狭義凹関数であることを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が狭義凹関数であることを示してください。
問題（対数関数どうしの和）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\ln \left( x\right) +2x+1
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が狭義凸関数であることを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が狭義凸関数であることを示してください。
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