エピグラフ・ハイポグラフを用いた1変数の狭義凸関数・狭義凹関数の判定

エピグラフを用いた1変数の狭義凸関数の判定

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が狭義凸関数であることは、\begin{equation*}\forall x_{1}\in I,\ \forall x_{2}\in I\backslash \left\{ x_{1}\right\} ,\
\forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\lambda f\left( x_{1}\right) +\left(
1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) >f\left( \lambda x_{1}+\left(
1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、定義にもとづいて関数が狭義凸であることを示す作業は煩雑になりがちです。これまで明らかにしたように、関数\(f\)が微分可能である場合、導関数\(f^{\prime }\)が狭義単調増加関数であることと\(f\)が狭義凸関数であることは必要十分です。さらに、関数\(f\)が2階微分可能である場合、2階導関数\(f^{\prime \prime }\)が正の値のみをとるならば\(f\)は狭義凸関数です（逆は成り立つとは限らない）。では、関数\(f\)が微分可能であるとは限らない場合、\(f\)が狭義凸関数であることを容易に判定する方法はあるのでしょうか。

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in I\times \mathbb{R} \ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合であるため、空間\(\mathbb{R} ^{2}\)は曲線である\(G\left( f\right) \)を境に、その上部の領域と下部の領域に分割されます。特に、\(G\left( f\right) \)を含めてそれよりも上部の領域であるような\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合を、\begin{equation*}\mathrm{epi}\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in I\times \mathbb{R} \ |\ y\geq f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}で表記し、これを関数\(f\)のエピグラフ（epigraph）と呼びます。定義より以下の関係\begin{equation*}G\left( f\right) \subset \mathrm{epi}\left( f\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

例（関数のエピグラフ）

関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフ\(G\left( f\right) \)が下図において曲線として描かれています。定義域\(I\)が開区間であることに注意してください。

\(f\)のエピグラフ\(\mathrm{epi}\left(f\right) \)は\(f\)のグラフである曲線と、それより上方の領域を併せたグレーの領域に相当します。\(\mathrm{epi}\left( f\right) \)は狭義凸集合であるとともに、\(f\)は狭義凸関数です。

関数のエピグラフが狭義凸集合である場合、その関数は狭義凸関数です。

例（エピグラフと狭義凸関数）

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}+\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)において明らかに微分可能ではありません。\(f\)のエピグラフは、\begin{equation*}\mathrm{epi}\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y\geq x^{2}+\left\vert x\right\vert \right\}
\end{equation*}であり、これは下図のグレーの領域に相当します。これは明らかに狭義凸集合であるため、\(f\)は狭義凸関数です。

関数の定義域が開区間ではない場合、先の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、狭義凸関数のエピグラフは狭義凸集合であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例（関数のエピグラフ）

関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフ\(G\left( f\right) \)が下図において曲線として描かれています。先の例とは異なり、定義域\(I\)が閉区間であることに注意してください。

\(f\)のエピグラフ\(\mathrm{epi}\left(f\right) \)は\(f\)のグラフである曲線と、それより上方の領域を併せたグレーの領域に相当します。定義域\(I\)の左側の端点上にあり、なおかつ\(\mathrm{epi}\left( f\right) \)に属する2つの異なる点を選んだとき、それらの間にある点は\(\mathrm{epi}\left(f\right) \)の内点ではなく境界点であり、ゆえに\(\mathrm{epi}\left( f\right) \)は狭義凸集合ではありません。他方で、\(f\)は狭義凸関数です。

関数の定義域が開区間である場合には、先の命題の逆の主張もまた成り立ちます。したがって以下を得ます。

先の命題は開区間上に定義された関数が狭義凸であるための必要十分条件を与えているため、関数が狭義凸でないことを示す際にも利用できます。具体的には、開区間上に定義された関数のエピグラフが狭義凸集合でない場合、その関数は狭義凸関数ではありません。

ハイポグラフを用いた1変数の狭義凹関数の判定

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が狭義凹関数であることは、\begin{equation*}\forall x_{1}\in I,\ \forall x_{2}\in I\backslash \left\{ x_{1}\right\} ,\
\forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\lambda f\left( x_{1}\right) +\left(
1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) <f\left( \lambda x_{1}+\left(
1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、定義にもとづいて関数が狭義凹であることを示す作業は煩雑になりがちです。これまで明らかにしたように、関数\(f\)が微分可能である場合、導関数\(f^{\prime }\)が狭義単調減少関数であることと\(f\)が狭義凹関数であることは必要十分です。さらに、関数\(f\)が2階微分可能である場合、2階導関数\(f^{\prime \prime }\)が負の値のみをとるならば\(f\)は狭義凹関数です（逆は成り立つとは限らない）。では、関数\(f\)が微分可能であるとは限らない場合、\(f\)が狭義凹関数であることを容易に判定する方法はあるのでしょうか。

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in I\times \mathbb{R} \ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合であるため、空間\(\mathbb{R} ^{2}\)は曲線である\(G\left( f\right) \)を境に、その上部の領域と下部の領域に分割されます。特に、\(G\left( f\right) \)を含めてそれよりも下部の領域であるような\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合を、\begin{equation*}\mathrm{hyp}\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in I\times \mathbb{R} \ |\ y\leq f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}で表記し、これを関数\(f\)のハイポグラフ（hypograph）と呼びます。定義より以下の関係\begin{equation*}G\left( f\right) \subset \mathrm{hyp}\left( f\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

例（関数のハイポグラフ）

関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフ\(G\left( f\right) \)が下図において曲線として描かれています。定義域\(I\)が開区間であることに注意してください。

\(f\)のハイポグラフ\(\mathrm{hyp}\left( f\right) \)は\(f\)のグラフである曲線と、それより下方の領域を併せたグレーの領域に相当します。\(\mathrm{hyp}\left( f\right) \)は狭義凸集合であるとともに、\(f\)は狭義凹関数です。

関数のハイポグラフが狭義凸関数である場合、その関数は狭義凹関数です。

例（ハイポグラフと狭義凹関数）

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x^{2}-\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)において明らかに微分可能ではありません。\(f\)のハイポグラフは、\begin{equation*}\mathrm{hyp}\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y\leq -x^{2}-\left\vert x\right\vert \right\}
\end{equation*}であり、これは下図のグレーの領域に相当します。これは明らかに狭義凸集合であるため、\(f\)は狭義凹関数です。

関数の定義域が開区間ではない場合、先の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、狭義凹関数のハイポグラフは狭義凸集合であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例（関数のハイポグラフ）

関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフ\(G\left( f\right) \)が下図において曲線として描かれています。先の例とは異なり、定義域\(I\)が閉区間であることに注意してください。

\(f\)のハイポグラフ\(\mathrm{hyp}\left(f\right) \)は\(f\)のグラフである曲線と、それより下方の領域を併せたグレーの領域に相当します。定義域\(I\)の左側の端点上にあり、なおかつ\(\mathrm{hyp}\left( f\right) \)に属する2つの異なる点を選んだとき、それらの間にある点は\(\mathrm{hyp}\left( f\right) \)の内点ではなく境界点であり、ゆえに\(\mathrm{hyp}\left( f\right) \)は狭義凸集合ではありません。他方で、\(f\)は狭義凹関数です。

関数の定義域が開区間である場合には、先の命題の逆の主張もまた成り立ちます。したがって以下を得ます。

先の命題は開区間上に定義された関数が狭義凹であるための必要十分条件を与えているため、関数が狭義凹でないことを示す際にも利用できます。具体的には、開区間上に定義された関数のハイポグラフが狭義凸集合でない場合、その関数は狭義凹関数ではありません。

エピグラフを用いた1変数の拡大実数値をとる狭義凸関数の判定

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が狭義凸関数であることは、\begin{equation*}\forall x_{1}\in \mathrm{dom}\left( f\right) ,\ \forall x_{2}\in \mathrm{dom}\left( f\right) \backslash \left\{ x_{1}\right\} ,\ \forall \lambda \in
\left( 0,1\right) :\lambda f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right)
f\left( x_{2}\right) >f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right)
x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。拡大実数値をとる狭義凸関数に関しても、それをエピグラフを用いて表現できます。

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)に対して、そのエピグラフを、\begin{equation*}\mathrm{epi}\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y\geq f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義します。\(f\)は拡大実数を値としてとり得る一方で、エピグラフの定義において\(y\)は実数だけを値としてとり得る状況を想定していることに注意してください。言い換えると、\(x\)がとり得る値の範囲を\(f\)の有効領域\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) <+\infty \right\}
\end{equation*}に制限した上でエピグラフを定義するということです。

拡大実数値をとる狭義凸関数に関しても、実数値をとる狭義凸関数と同様の命題が成り立ちます。

以下の命題も成り立ちます。

エピグラフを用いた1変数の拡大実数値をとる狭義凹関数の判定

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)が狭義凹関数であることは、\begin{equation*}\forall x_{1}\in \mathrm{dom}\left( f\right) ,\ \forall x_{2}\in \mathrm{dom}\left( f\right) \backslash \left\{ x_{1}\right\} ,\ \forall \lambda \in
\left( 0,1\right) :\lambda f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right)
f\left( x_{2}\right) <f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right)
x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。拡大実数値をとる狭義凹関数に関しても、それをハイポグラフを用いて表現できます。

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)に対して、そのハイポグラフを、\begin{equation*}\mathrm{hyp}\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y\leq f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義します。\(f\)は拡大実数を値としてとり得る一方で、ハイポグラフの定義において\(y\)は実数だけを値としてとり得る状況を想定していることに注意してください。言い換えると、\(x\)がとり得る値の範囲を\(f\)の有効領域\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) >+\infty \right\}
\end{equation*}に制限した上でハイポグラフを定義するということです。

拡大実数値をとる狭義凸関数に関しても、実数値をとる狭義凸関数と同様の命題が成り立ちます。

以下の命題も成り立ちます。

演習問題