ユークリッド空間における区間列の定義と具体例

ユークリッド空間上の区間列

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(I\subset \mathbb{R} ^{n}\)が区間であることとは、\(n\)個の\(\mathbb{R} \)上の区間\(I_{1},\cdots ,I_{n}\subset \mathbb{R} \)の直積\begin{equation*}I=I_{1}\times \cdots \times I_{n}
\end{equation*}として表現できることを意味します。\(I_{1},\cdots ,I_{n}\)がいずれも\(\mathbb{R} \)上の有界区間であれば\(I\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界区間であり、\(I_{1},\cdots ,I_{n}\)の中の少なくとも1つが\(\mathbb{R} \)上の無限区間であれば\(I\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の無限区間です。

\(\mathbb{R} ^{n}\)上の区間を順番に並べたもの\begin{equation*}I_{1},I_{2},\cdots ,I_{v},\cdots
\end{equation*}を区間列（sequence of intervals）と呼びます。

区間列をフォーマルな形で表現します。区間列とは無限個の区間を順番に並べたものであるため、それを総体的に表現するためには区間列を構成する\(1\)番目の区間\(I_{1}\)、\(2\)番目の区間\(I_{2}\)、\(3\)番目の区間\(I_{3}\)、\(\cdots \)などをすべて特定する必要があります。区間列は無限個の区間の並びですが、このような作業を実際に無限回行うことは不可能です。ただ、このような作業を「それぞれの自然数\(v\in \mathbb{N} \)に対して区間\(I_{v}\)を1つずつ定めること」として一般化できます。区間は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合、すなわち\(\mathbb{R} ^{n}\)のベキ集合\(2^{\mathbb{R} ^{n}}\)の要素であることを踏まえると、区間列を表現することとは、\(\mathbb{N} \)から\(2^{\mathbb{R} ^{n}}\)への写像を与えることと実質的に同じです。そのようなこともあり、区間列を写像\begin{equation*}I:\mathbb{N} \rightarrow 2^{\mathbb{R} ^{n}}
\end{equation*}として定義することもできます。この写像\(I\)がそれぞれの自然数\(v\)に対して定める像\(I\left( v\right) \)は、区間列を構成する\(v\)番目の区間です。

通常、写像\(f:A\rightarrow B\)が定義域の値\(a\in A\)に対して定める像を\(f\left( a\right) \in B\)と表記しますが、区間列に相当する写像\(I:\mathbb{N} \rightarrow 2^{\mathbb{R} ^{n}}\)が自然数\(v\in \mathbb{N} \)に対して定める像\(I\left(v\right) \in 2^{\mathbb{R} ^{n}}\)に関しては、これを、\begin{equation*}I_{n}
\end{equation*}と表記し、区間列の項（term）と呼びます。区間列を\(\left\{ I_{v}\right\}_{v=1}^{\infty }\)や\(\left\{ I_{v}\right\} _{v\in \mathbb{N} }\)、もしくはよりシンプルに\(\left\{ I_{v}\right\} \)と表記することもできます。

自然数を\(1\)から始まる整数と定義するのであれば、区間列を構成する前から\(v\)番目の項は\(I_{v}\)であり、これを区間列の第\(v\)項（\(v\)-th term）と呼びます。特に、区間列の最初の項\(I_{1}\)を初項（first term）と呼びます。

区間列の第\(v\)項\(I_{v}\)が具体的な形で与えられているならば、\(I_{v}\)中の\(v\)に具体的な自然数を代入することにより、すべての項を具体的な形で明らかにできます。つまり、\(I_{v}\)は区間列のすべての項を一般化した表現と考えられるため、これを一般項（general term）と呼ぶこともあります。区間列の一般項\(I_{v}\)の形が分かっている場合には、その区間列を「一般項が\(I_{v}\)の区間列」と呼ぶこともできます。

単調な区間列

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の区間列\(\left\{ I_{v}\right\} \)に関して、\begin{equation*}\forall v\in \mathbb{N} :I_{v}\subset I_{v+1}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
I_{1}\subset I_{2}\subset I_{3}\subset \cdots
\end{equation*}が成り立つ場合、この区間列を単調増加列（monotone increasing sequence）と呼びます。

区間列\(\left\{ I_{v}\right\} \)が単調増加であることを示すための最もシンプルな方法は、隣り合う2つの区間の包含関係を確認するというものです。つまり、番号\(v\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}I_{v}\subset I_{v+1}
\end{equation*}が成り立つことを示せば\(\left\{ I_{v}\right\} \)が単調増加であることを示したことになります。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の区間列\(\left\{ I_{v}\right\} \)に関して、\begin{equation*}\forall v\in \mathbb{N} :I_{v}\supset I_{v+1}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
I_{1}\supset I_{2}\supset I_{3}\supset \cdots
\end{equation*}が成り立つ場合、この区間列を単調減少列（monotone decreasing sequence）と呼びます。

区間列\(\left\{ I_{v}\right\} \)が単調減少であることを示すための最もシンプルな方法は、隣り合う2つの区間の包含関係を確認するというものです。つまり、番号\(v\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}I_{v}\supset I_{v+1}
\end{equation*}が成り立つことを示せば\(\left\{ I_{v}\right\} \)が単調減少であることを示したことになります。

単調増加列と単調減少列を総称して単調列（monotone sequence）と呼びます。言い換えると、ある区間列が単調列であることとは、その区間列が単調増加もしくは単調減少の少なくとも一方であることを意味します。ちなみに、以下の例のように、単調増加かつ単調減少であるような区間列も存在します。

区間列は単調であるとは限りません。以下の例より明らかです。

区間列の共通部分と和集合

区間列\(\left\{ I_{v}\right\} \)は可算個の区間を順番に並べたものですが、区間は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合であるため、区間列を可算個の\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合を要素として持つ\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族とみなした上で、区間列の共通部分や和集合などをとることができます。具体的には、区間列\(\left\{ I_{v}\right\} \)の共通部分とは、\(\left\{ I_{v}\right\} \)の要素であるすべての区間の要素であるような点からなる集合であり、これを、\begin{equation*}\bigcap_{v=1}^{+\infty }I_{v}=\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall v\in \mathbb{N} :\boldsymbol{x}\in I_{v}\right\}
\end{equation*}で表記します。また、区間列\(\left\{ I_{v}\right\} \)の和集合とは、\(\left\{ I_{v}\right\} \)の要素である少なくとも1つの区間の要素であるような点からなる集合であり、これを、\begin{equation*}\bigcup_{v=1}^{+\infty }I_{v}=\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists v\in \mathbb{N} :\boldsymbol{x}\in I_{v}\right\}
\end{equation*}で表記します。

演習問題