1変数の凸関数・凹関数との合成関数
区間上に定義された2つの1変数関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset J\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}の間に以下の関係\begin{equation*}
f\left( I\right) \subset J
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
g\circ f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in I\)に対して以下の値\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めます。
\(f\)が凸関数であり\(g\)が単調増加（単調非減少）な凸関数であるならば\(g\circ f\)もまた凸関数になります。
\(f\)が狭義凸関数であり\(g\)が狭義単調増加な凸関数でもあるならば\(g\circ f\)もまた狭義凸関数になります。
- \(f\)が凸関数であり\(g\)が単調増加の凸関数であるならば、\(g\circ f\)もまた凸関数である。
- \(f\)が狭義凸関数であり\(g\)が狭義単調増加の凸関数であるならば、\(g\circ f\)もまた狭義凸関数である。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は狭義凸関数\(x^{2}\)と狭義単調増加な凸関数\(e^{x}\)の合成関数であるため、先の命題より\(f\)は狭義凸関数です。
先の命題において、関数\(g\)が単調増加ないし狭義単調増加であるという条件は重要です。つまり、凸関数どうしの合成関数は凸関数であるとは限らず、狭義凸関数と凸関数の合成関数は狭義凸関数であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =e^{-x}
\end{equation*}を定めるものとします。これらの合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して以下の値\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\\
&=&e^{-x^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。\(f,g\)はともに狭義凸関数である一方で\(g\)は狭義単調減少であるため、先の命題が要求する条件を満たしません。実際、\(g\circ f\)は凸関数ではありません（演習問題）。
凹関数どうしの合成関数に関しても同様の主張が成り立ちます。
- \(f\)が凹関数であり\(g\)が単調増加の凹関数であるならば、\(g\circ f\)もまた凹関数である。
- \(f\)が狭義凹関数であり\(g\)が狭義単調増加の凹関数であるならば、\(g\circ f\)もまた狭義凹関数である。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は凹関数\(2x+1\)と狭義単調増加な凹関数\(\ln \left( x\right) \)の合成関数であるため、先の命題より\(f\)は狭義凹関数です。
凸関数と凹関数の合成関数に関しては以下が成り立ちます。
- \(f\)が凹関数であり\(g\)が単調減少の凸関数であるならば、\(g\circ f\)もまた凸関数である。
- \(f\)が狭義凹関数であり\(g\)が狭義単調減少の凸関数であるならば、\(g\circ f\)もまた狭義凸関数である。
- \(f\)が凸関数であり\(g\)が単調減少の凹関数であるならば、\(g\circ f\)は凹関数である。
- \(f\)が狭義凸関数であり\(g\)が狭義単調減少の凹関数であるならば、\(g\circ f\)は狭義凹関数である。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は\(\ln \left(x\right) \)と\(\frac{1}{x}\)の合成関数です。\(\left( 1,+\infty \right) \)上において\(\ln \left( x\right) \)は狭義凹関数であるとともにその値域は\(\mathbb{R} _{++}\)です。\(\mathbb{R} _{++}\)上において\(\frac{1}{x}\)は狭義単調減少の凸関数であるため、先の命題より\(f\)は狭義凸関数です。
多変数の凸関数・凹関数との合成関数
多変数関数と1変数関数の合成関数に関しても同様の議論が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
凸集合上に定義された多変数関数と区間上に定義された1変数関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}の間に以下の関係\begin{equation*}
f\left( X\right) \subset I
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して以下の値\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =g\left( f\left(
\boldsymbol{x}\right) \right)
\end{equation*}を定めます。
\(f\)が凸関数であり\(g\)が単調増加（単調非減少）な凸関数であるならば\(g\circ f\)もまた凸関数になります。
\(f\)が狭義凸関数であり\(g\)が狭義単調増加な凸関数でもあるならば\(g\circ f\)もまた狭義凸関数になります。
- \(f\)が凸関数であり\(g\)が単調増加の凸関数であるならば、\(g\circ f\)もまた凸関数である。
- \(f\)が狭義凸関数であり\(g\)が狭義単調増加の凸関数であるならば、\(g\circ f\)もまた狭義凸関数である。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は多変数の狭義凸関数\(x^{2}+y^{2}\)と1変数の狭義単調増加な凸関数\(e^{x}\)の合成関数であるため、先の命題より\(f\)は狭義凸関数です。
凹関数どうしの合成関数に関しても同様の主張が成り立ちます。
- \(f\)が凹関数であり\(g\)が単調増加の凹関数であるならば、\(g\circ f\)もまた凹関数である。
- \(f\)が狭義凹関数であり\(g\)が狭義単調増加の凹関数であるならば、\(g\circ f\)もまた狭義凹関数である。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は多変数の凹関数\(2x+2y+1\)と1変数の狭義単調増加な凹関数\(\ln \left( x\right) \)の合成関数であるため、先の命題より\(f\)は狭義凹関数です。
凸関数と凹関数の合成関数に関しても同様の主張が成り立ちます。
- \(f\)が凹関数であり\(g\)が単調減少の凸関数であるならば、\(g\circ f\)もまた凸関数である。
- \(f\)が狭義凹関数であり\(g\)が狭義単調減少の凸関数であるならば、\(g\circ f\)もまた狭義凸関数である。
- \(f\)が凸関数であり\(g\)が単調減少の凹関数であるならば、\(g\circ f\)は凹関数である。
- \(f\)が狭義凸関数であり\(g\)が狭義単調減少の凹関数であるならば、\(g\circ f\)は狭義凹関数である。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は多変数関数\(\ln \left( x\right) +\ln \left( y\right) \)と1変数関数\(\frac{1}{x}\)の合成関数です。\(\left( 1,+\infty \right) \times \left(1,+\infty \right) \)上において\(\ln \left(x\right) +\ln \left( y\right) \)は狭義凹関数であるとともに値域は\(\mathbb{R} _{++}\)です。\(\mathbb{R} _{++}\)上において\(\frac{1}{x}\)は狭義単調減少の凸関数であるため、先の命題より\(f\)は狭義凸関数です。
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